2022年湖南省郴州市汝城县城关中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年湖南省郴州市汝城县城关中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设奇函数在上为增函数，且，则不等式

的解集为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知F是双曲线：右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(0,8)，则△PAF的面积为（

）A．6

B．8

C.12

D．16参考答案：B由题意可得，则焦点坐标为，由通径公式可得：，且点A到直线PF的距离，据此可得△PAF的面积为：.本题选择B选项.

3.函数的部分图像如图，则=A．

B．

C．

D．参考答案：.试题分析：由图可知，，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，故应选.考点：1、函数的图像及其性质；4.已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：因为复数z=1+i，所以===﹣=2i．故选A．5.若2cos2α=sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣ B．﹣ C．1 D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=﹣，或cosα﹣sinα=0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα=﹣，则有1+sin2α=，sin2α=．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．6.已知是实数，则“且”是“且”的

(

).（A）充分而不必要条件

（B）充分必要条件

（C）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B7.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（

）

参考答案：C8.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出m的值为(

)A.148 B.37 C.333 D.0参考答案：B由题意得，，则；，则；，则；，则；，则；，则余数.故选B.

9.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A． B． C． D．参考答案：D考点： 程序框图．专题： 图表型．分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.设集合M={x|}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?南昌校级模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，＜，＞=60°，则=．参考答案：【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，利用向量的中点坐标公式表示出向量，求模长即可．解：如图所示，根据题意，O为BC中点，∴=（+），=（+2?+）=（12+2×1×3×cos60°+32）=；∴||=．故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是利用中点表示出向量，是基础题．12.满足约束条件的目标函数的最小值为_______.参考答案：略13.观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N*，则m﹣n=．参考答案：﹣6【考点】类比推理．【分析】裂项相消，求出m，n，即可得出结论．【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++∴+=∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N*，∴m=6，n=12．∴m﹣n=﹣6．故答案为：﹣6．14.数列满足,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足

．参考答案：1015.复数在复平面上对应的点在第

象限．

参考答案：四略16.如图，互不相同的点A1、A2、…An、…，B1、B2、…Bn、…，C1、C2、…、Cn、…分别在以O为顶顶点的三棱锥的三条侧棱上，所有平面AnBnCn互相平行，且所有三棱台AnBnCn﹣An+1Bn+1Cn+1的体积均相等，设OAn=an，若a1=，a2=2，则an=．参考答案：【考点】数列与立体几何的综合．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】利用采取特殊法解答，不妨令OA1⊥平面AnBnCn，并且AnBn⊥AnCn，然后求解几何体的体积，推出an即可．【解答】解：不妨令OA1⊥平面AnBnCn，并且AnBn⊥AnCn，∵OAn=an，若a1=，a2=2．∴==．∴==1，=+（n﹣1）×1=n﹣．又=×an3=n﹣．解得：an3=6n﹣4．即an=，故答案为：，【点评】本题考查特殊值法求解几何体的体积，棱长的求法，如果利用一般法求解，难度比较大，考查了推理能力和计算能力．17.考察下列一组不等式：23+53＞22?5+2?52，24+54＞23?5+2?53，25+55＞23?52+22?53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是

．参考答案：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中的式子变形得22+1+52+1＞22?51+21?52（1）23+1+53+1＞23?51+21?53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n＞2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n【解答】解：22+1+52+1＞22?51+21?52（1）23+1+53+1＞23?51+21?53（2）观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n故答案为：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?乐山二模）已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得：a=1，b=e﹣2；（2）由（1）得：f（x）=ex﹣x2，f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=e﹣1；（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，∴g′（ln2）＜0，∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，故≥x，x＞0，由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，∴≥x≥lnx+1，即≥lnx+1，∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，当且仅当x=1时“=”成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．19.的内角、、的对边分别为、、,已知,求的内角.参考答案：由,由正弦定理及可得所以故由与可得而为三角形的内角且,故,所以,故.略20.在数列中，是与的等差中项，设，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项的和为，若数列满足，试求数列前项的和.

参考答案：（1）（2）

数列是以公比为2的等比数列又是与的等差中项，

即(2)由

略21.（本小题满分12分）解关于X的不等式：

。(K∈R)参考答案：当k=0时，不等式的解为：x>0；当k>0时，若△=4–4k2>0，即0<k<1时，；若△￡0，即k>1时，不等式无解；当k<0时，若△=4–4k2>0，即–1<k<0时，或若△<0，即k<–1时，不等式的解为R；若△=0，即k=–1时，不等式的解为：x≠–1。综上所述,k>1时，不等式的解为?；0<k<1时，不等式的解为x|；k=0时，不等式的解为x|x>0；–1<k<0时，x|或；k=–1时，不等式的解为x|x≠–1；k<–1时，不等式的解为R。22.（本小题共14分）

如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

参考答案：（Ⅰ）证明：在△中，.又