高中数学联赛培训讲义

高中数学联赛培训讲义全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。第一讲集合、函数、方程例集合一W —1,e的真子集个数为 。 年全国高中联赛丄 2x【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为n—【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。练习①已知集合= ,=3_}_+一L—，贝y与的关系是 。年logi3logi325③若非空集合= +Ww③若非空集合= +Ww—|W3xW则能使€n成立的所有的集合②年若=ny||＋st2n=， =2+2是，贝y m=附：表示的兀素个数 （:年）是 。 （年）例 （e）是以为周期的偶函数，当e时，=盂，则:—） 丄（、丄019 17 15由小到大的排列是 。 年全国高中联赛【分析】利用周期函数、偶函数的性质，将函数自变量转化到区间 ，再比大小。【解】【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性；转化思想。练习①设 是定义在实数集上的周期为的周期函数，且是偶函数，已知当e时，=,则当e[-时， 的解析式是 。年=+.—=—+=++②若，，且 + = +g贝y —+ —的值。 年等于等于 等于 不是与、无关的常数

③设 是定义在实数集上的函数，且满足下列关系： += —（0）=— +，贝y 是 。 年偶函数，又是周期函数 偶函数，但不是周期函数奇函数，又是周期函数 奇函数，但不是周期函数例设与为实数，满足一3+ — =—— — 3+ —贝y+【分析】构造函数【解】（97年全国高中联赛）=3+ 9将两等式变成函数值，再利用函数性质。小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。练习①已知方程+上有两个不相等的实数根，则的取值范围练习①已知方程+上有两个不相等的实数根，则的取值范围（年12（年12n€1以上都不正确②用表示不大于实数的最大整数。方程2②用表示不大于实数的最大整数。方程2——=的实根个数是 ③设函数=对一切实数都满足+ =—，且方程x恰有个不同的根，则这个实根的和为 。 （年）第二讲三角变换、三角不等式例设e—丄，以下三数= n、 = n、 = + ）的大小关系是2年全国高中联赛【分析】先判别符号，再比较同符号的几个。【解】【小结】比大小，可以先与0、—比较，先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法。练习①已知，a＜则下列三数=alogbcosa、=alogbcosa、4=alogb血,的从小到大排列为 。 （年）

②设a丘—生，贝9a cosa、42acosa、asinaacosa、asina从小到大的排列③四个数g,sin1为 sin1cos1（年）从小到大的排列cos1例在厶中，角、、的对边边长分别是、、，若一等于边上的高贝y —+23的值等于 。 年全国高中联赛2【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，通过三角变换解决问题。【解】【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。TOC\o"1-5"\h\z练习①2 °+ 2o- ° °= 。（年）在△ 中，角、、的对边边长分别是、、，已知三内角成等差数列，且一等于边上的高则—的值等于 。（年）2在△中，角、、的对边边长分别是、、工，且C、泌都是方程 厂=AsinA b—的根，则△ 。 （年）是等腰三角形，但不是直角三角形是直角三角形，但不是等腰三角形是等腰直角三角形 不是等腰三角形，也不是直角三角形的最大值和最小值。 年例设三三三—，且++=€，求的最大值和最小值。 年122【解】小结】积化和差；放缩法。

②已知练习①已知…，则|（+ 6）的最大值是 。年②已知=，则x+XX+ 、为实数）且=，则随、取不同值而取不同值 年③设、、是实数，那么对任意实数，不等式年与同时为，且 对a③设、、是实数，那么对任意实数，不等式年与同时为，且 对a2+b2=+ + 都成立的充要条件是 Va2+b2 Ja2+b2④已知造函数法）94年）④已知造函数法）94年）_口x3+sinx一2a=0 .丘，且… ,则 +4y3+sinycosy+a=0第三讲数列、数列递推、数学归纳法提示：构例等比数列首项=公比=—例等比数列首项=公比=—1。用n表示它的前n12n。n n n n 年全国高中联赛9 11 12 13【分析】先求出n的表达式，再讨论该式的最大值问题。n【解】项之积，小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。练习①设工，且两数列，1练习①设工，且两数列，1，2,3，和1（年）234均为等差数列，那么a2-a1②设（年）是实数,②设（年）是实数,成等比数列，且1、1、1成等差数列，则-+三的值是 xyz zx③设等差数列n满足8③设等差数列n满足8= 13，且110112021为前项之和。则 e中最大的是 n n年例2.已知数列满足随、＋n例2.已知数列满足随、＋n+1三，且］=，其前项之和为则满足不等式 一—丄的最小整数是 。 （年全国高中联赛）125【分析】先求n【解】【小结】构造法。数列前项和公式。练习①设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于且各项的和为2则这样的数列共有 个 个 个 个 年②对于每个自然数，抛物线=n2＋该两点间距离，贝y]]+轴交于n年两点，以 表示nnn②对于每个自然数，抛物线=n2＋该两点间距离，贝y]]+轴交于n年两点，以 表示nnn③一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 年9， ，…满足Jaa—%'aa=n nn一2 n一1n-2 n-1例设正数列a，a，a，012求 的值。100 99【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化。【解】），【小结】构造法。练习①将正奇数集合 …由小到大按第组有一个奇数进行分组：第一组、第二组第三组 3…。则位于第 组中。（年）②已知数列n论正确的是 。｝满足（n+1 n n-1年）2 ， =a1=，记=+ -1 H。则下列结2 n 1 2 n=——=——100100100100=——=—100100100100③已知集合= ,= ，并且=，那么+丄+（2+丄）+（3+丄）y y2 y3+•••+（2001+^_）的值等于 。 （年）y2001第三讲数列、数列递推、数学归纳法例等比数列 年全国高中联赛n【分析】【解】【小结】练习①.例2.【分析】【解】【小结】练习①.②③.实用文档【解】【小结】练习①.第三讲数列、数列递推、数学归纳法例等比数列 年全国高中联赛n【分析】【解】【小结】练习①.例2.【分析】【解】小结】实用文档练习①②③.例3.【解】【小结】练习①.200年1全国高中数学联合竞赛试题第一试（2001年10月14日8:00—9:40）一、选择题（每小题6分，满分36分）已知a为给定的实数，那么集合M={xlx2—3x—a2+2=0,x^R}的子集的个数为（）A.l B.2 C.4 D.不确定命题 1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题 2 长方体中，必存在到各棱离相等的点；命题 1 长方体中，必存在到各面离相等的点；TOC\o"1-5"\h\z以上三个命题中正确的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个在四个函数y=sinlxl,y=coslxl,y=lctgxl,y=lglsinxl中以n为周期、在（0,匹）上单调递增的偶函数是（ ）2A.y=sinlxl B.y=coslxl C・y=lctgxl D.y=lglsinxl如果满足ZABC=60°,AC=12,BC=k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是（ ）5.6. *.、7.8.9.10.11.12.三、13.14.实用文档A.k=8A.k=8、；3B.0VkW12C.k212 D.0VkW12或k=8\3若（1+x+x2）1000的展开式为aQ+a1x+a2x2+ +a2000x2000,则aQ+a3+a6+a9+ +a1998的值为（ ）A.3333 B.3666 C.3999 D.32001已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）A.2枝玫瑰花价格高 B.3枝康乃馨价格高C.价格相同 D.不确定填空题（每小题9分，满分54分）椭圆p椭圆p土的短轴长等于3TOC\o"1-5"\h\z右复数Z],、满足％1=2,lz°l=3,3z〔一2z°= —i,则Z]Z°= ,121212212正方体ABCD-A1B1C1D]的棱长为1,则直线与BD1的距离是 不等式+2,3的解集为 .log1x 2I2 函数y=x+（x2-3x+2的值域为 .种植物,在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图）,要求同一块种种植一相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有种栽种方案.种植物,解答题（每小题20分，满分60分）设｛an｝为等差数列’｛%｝为等比数列’且b]=a]2, »2=&22,b3=a32（a]Va?）,又lim（b]+b2+ +bn）=丁2+1,试求｛an｝的首项与公差.设曲线G：