2022年山西省太原市古交第九中学高三数学文月考试卷含解析

2022年山西省太原市古交第九中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，则下列关系正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C详解：由题意，，∴，只有C正确.故选C.

2.在区间和分别取一个数,记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（

）.

.

.

.参考答案：B【知识点】椭圆的简单性质H5K3解析：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．3.已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用直角三角形斜边上中线的性质，以及离心率公式和弦长的性质，考查运算能力，属于中档题．4.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则的面积为（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：C试题分析：不妨设，则，又，所以，，而，所以，即，所以．考点：双曲线的定义．【名师点睛】圆锥曲线问题中出现焦点三角形或与圆锥曲线上的点到焦点的距离时，常常考虑利用圆锥曲线定义，把问题转化为解三角形问题，如本题利用定义得出三角形的两边之差，再由已知两边之和，可求得两边长，从而确定三角形的形状，并求出面积，比纯粹的设点的坐标，求出点的坐标来得简单，计算量也在为简化．5.已知向量，，则的充要条件是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知定义在R上的函数的图象关于点（－,0）对称，且满足

,的值为(

)

A．－2

B．–1

C．1

D．2参考答案：D7.如图所示，某几何体的三视图中，正视图和俯视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C．1 D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1，即可求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1，所以它的体积，故选A．8.设是三条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题正确题是（

）①若，，则；②若异面，，，，，则；③若，，，且，则；④若为异面直线，，，，，则．(A)①②④

(B)②④

(C)②③④

(D)③④参考答案：C略9.设互不相等的平面向量组，满足①；②．若，则的取值集合为 A．

B． C． D．

参考答案：D略10.等差数列的前项和是，若，，则的值为（

）A.55

B.65

C.60

D.70参考答案：B由，得，由得，解得，所以，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体ABCD的棱长为．参考答案：【考点】LR：球内接多面体．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为a，正方体的对角线长为a，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为a．，∴a=，则正四面体的棱长为=，故答案为：12.已知函数f（2x﹣1）的定义域是[﹣2，3]，则函数f（x+1）的定义域是t．参考答案：[﹣6，4]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：∵f（2x﹣1）的定义域是[﹣2，3]，∴﹣2≤x≤3，﹣4≤2x≤6，﹣5≤2x﹣1≤5，由﹣5≤x+1≤5，得﹣6≤x≤4，即函数f（x+1）的定义域为[﹣6，4]，故答案为：[﹣6，4]点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系，比较基础．13.已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于

．参考答案：400π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△ABC所在圆面的半径为，则由得三棱锥的高h=5，设球O的半径为R，则由h2+52=R2，得R=10，【解答】解：依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O﹣ABC的高为h，则由得h=5，设球O的半径为R，则由h2+52=R2，得R=10，故该球的表面积为400π．故答案为400π．14.用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2+an，则[++…+]=

．参考答案：2015【考点】数列递推式．【分析】a1=1，an+1=an2+an＞1，可得=﹣，于是+…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．可得++…+=2016﹣．即可得出．【解答】解：∵a1=1，an+1=an2+an＞1，∴==﹣，∴=﹣，∴+…+=++…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．∴++…+=2016﹣．∴[++…+]=2015．故答案为：2015．15.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(秒)的函数，则d=______________其中．参考答案：．试题分析：由题意知，秒针转过的角度为，连接AB，过圆心向它作垂线，把要求的线段分成两部分，根据直角三角形的边长求法得到．故应填．考点：在实际问题中建立三角函数模型．16.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为__________．参考答案：17.已知复数z满足（i是虚数单位），则__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意得解得，.所以椭圆的方程为.………………4分（Ⅱ）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以.

…………6分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.由得.设,则.

直线，的方程分别为：，令，则.所以，.

……10分所以

.

……………12分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是.略19.已知等差数列的前项和味，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列求数的前项和.参考答案：（1）由条件可得：消去得：，解得或（舍），所以所以.（2）由（1）得：所以数列的前项和为：20.(本小题满分14分)已知函数，若曲线在点处的切线平行于轴．(Ⅰ)求实数的值；（Ⅱ）函数恰有两个零点．

（i）求函数的单调区间及实数的取值范围；

（ii）求证：．参考答案：解法一：（Ⅰ）由，且，………………2分

解得．…………3分（Ⅱ）（i），.

令,…………4分当即时，，所以在上单调递减，此时只存在一个零点，不合题意；………5分当时，令，解得.当变化时，和变化情况如下表：极小值…………6分由题意可知，.设，当时，即，此时恰有一个零点，不合题意；……………7分当且时，，………………8分当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时恰有两个零点．综上，的取值范围是.…………9分（ii）证明：函数有两个零点，，两式相减得，．…………10分要证，只要证，只要证，只要证，……………11分只要证．…………12分ks5u设，则，在（1，+∞）上单调递增，………………13分，．…………14分解法二：（I），（II）（i）同解法一．（ii）显然，故是函数的一个零点，不妨设．…10分由是函数的另一个零点，所以，即.……………11分又，…12分设，且，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，…………13分所以的单调递增区间为和．又，当时，，当时，,所以，即.…14分21.

如图，在矩形ABCD中，已知AB=l0，BC=6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．(I)求证：BC；(II)求证：平面平面；(III)求三棱锥的体积．

参考答案：略22.（2015秋?大理州校级月考）设a，b，c为正实数，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．参考答案：【考点】不等式的证明．

【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用综合法以及基本不等式直接证明；