数学模型复习资料7114

数模复习资料第一章1.原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型,按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型等.、城市交通模型直观模型如玩具、照片等形象模型物理模型如某一试验装置思维模型如某一操作模型抽象模型符号模型如地图、电路图数学模型2.数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学Fmd2x来描2结构,称为此实际问题的一个数学模型.例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式dtNt述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口间t自由增长过程的微分dNtrNt.方程dt3.数学建模所谓数学建模是于现实世界的某一特定系统或特定问题,为化,建立一个来解模型,最后将其结果接受实际的指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：数学地、数值地求解模型估计参数实际抽象、简化、假设归结问题确定变量、参数数学模型否检验模型(用实例或有关知符合否？识)是评价、推广并交付使用产生经济、社会效益4.数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用15.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：人口模型交通模型环境模型（污染模型）生态模型a.按模型的应用领域分类数学模型城镇规划模型水资源模型再生资源利用模型b.按建模的数学方法分类初等数学模型几何模型微分方程模型图论模型数学模型组合数学模型概率模型规划论模型描述模型分析模型预报模型c.按建模目的来分类数学模型优化模型决策模型控制模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为nf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD.AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角f();C、D与地面距离之和记为表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为0.g().并旋转180.于是，设f(0)0,g(0)0,就得到g0,f02,有g是上的非负连续函数.若f、0,20,2数学模型：设fg0,且g00,f00,g0,f0,则0,2,使00.0fg0模型求解:令h()f()g().就有h(0)0,h()f()g()0g()0.hg的连续性,得到h是一个连续函数.从而是上的连续函0,再由f,,使数.由连续函数的介值定理：,使.即0,h00,0000.0fg00.g0又因为0,2,有fg0.故f09．（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标，第一天的行程x(t)曲线（）表示，第二天的行程x(t)曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点p(t,d),000两天都在t时刻经过d地点.x00d()方法二：设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同p0)时出发，沿同一路径,必定相遇.d0(t早8t晚50f(t)(即t时刻方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为3走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为为a(a>0).由题意知：f(8)0,f(17)a,g(8)a,g(17)0.令h(t)f(t)g(t),则有h(8)f(8)g(8)a0，h(17)f(17)g(17)a0，由于f(t),g(t)都是h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,t[8,17],g(t),并设山下旅店到山顶的距离时间t的连续函数,因此0h(t)0,即f(t)g(t).00使0（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2n1场，若25轮.n队需赛k1n2k，则需赛轮，32队赛k轮.d、水的密度和重力加速度g有关，试用量纲分析方7.深水中的波速v与波长、水深法给出波速v的表达式.解：设v,,d,，g的关系为[v]=LM-1f(v,,d,,g)=0.其量纲表达式为000T，[]=LMT，[d]=LMT，[]=L-3MT0，[g]=LM0T,其中-2L，M，T是基本量纲.00---------4分量纲矩阵为11131(L)00010(M)A=10002(T)(v)()(d)()(g)齐次线性方程组Ay=0，即yy30yyy12345y04-y1-2y05(1,1,0,0,1),的基本解为y=y=(0,1,1,0,0)22211v2g121P定理得由量纲di12∴vg,,()2d112vg(d)，其中是未定函数.415．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v、S、的关系.f(P,v,s,)0，其量纲表达式为:解:设P、v、S、的关系为[P]=MLT223,[v]=LT1,[s]=L,[]=ML3,这里L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为：2123(L)1001(M)A=3100(T)(P)(v)(s)(齐次线性方程组为：yyyy22301234yy0143yy012它的基本解为y(1,3,1,1)111，其中是无量纲常数.，Pvs31P定理得P1由量纲v3si16．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度是：运动物体在成正比，比例系数为粘滞系给出速度v的表达式.g有关，其中粘滞系数的定义流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积数，用量纲分析方法解：设v,,,g的关系为f(v,,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LMT，[]=LMT，0-1-30[]=MLT-2（LTL）-1-1-1-2L=MLL-2-2TT=L-1MT，-1[g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲.0-2量纲矩阵为1311(L)0110(M)A=1012(T)(v)()()(g)齐次线性方程组Ay=0，即y-3y-yy01234yy023-y-y-2y0134的基本解为y=(-3,-1,1,1)g1g.，其中是无量纲常数.P定理得v3iv由量纲3516、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度．雨滴的速度v与空气密度g有关，其中粘*滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,，g的关系为f(v,,,,g)0.其量纲表达式为[v]=LMT，[]=L-3MT0，[]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[]=LM0T0，[g]=LMT0-1-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为11311(L)00110(M)A=10012(T)(v)()()()(g)齐次线性方程组Ay=0即yyyyy3012345yy034yy2y0145的基本解为y(1,1,0,0,1)22131y(0,,1,1,)222得到两个相互独立的无量纲量v1/2g1/213/21g1/223/2g1/2)12vg,.由(,)0,得(1即111212g(3/2g1/21),其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)0其量纲表达式为：[t]L0M0T,[l]LM0T0,[m]L0MT0,[g]LM0T2,[k][f][v]1MLT2(LT1)1L0MT1LMT，其中，，是基本量纲.6量纲矩阵为01010(L)00101(M)A=10021(T)(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组0yy24yy035y2yy0145的基本解为11Y(1,,0,,0)221Y(0,1,1,1,1)222得到两个相互独立的无量纲量tl1/2g1/21lm1g1/2k1/22lkl1/2mg∴t,(),21/2g112lkl1/2∴t()，其中是未定函数.gmg1/2考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为lkl1/2gmg1/2t()t,t'；l,l';m,m'.又当无量纲量lltlggllm时，就有.mtl第四章（2008年10月28日）5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种甲原材料能源消耗(百元)劳动力(人)利润(千元)23164245乙现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为7maxS4x5ys.t.2x3y140062400xy4x2y2000x0,y0,x,yZ模型的求解：用图解法.可行域为：由直线l:2x3y14001l:x6y24002:l:4x2y20003及x0,y0组成的凸五边形区域.:45lxyC在此凸五边形区域内平行移动.易知：当过的交点时，S取最ll与l13直线xy231400x大值.由解得：400,y2004x2y2000S440052002600（千元）.max故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.6.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：体积重量利润货物（立方米/箱）（百斤/箱）（百元/箱）甲5乙4252010已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润..解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x,x,所获利润为z则问题的数学模型可表示为12maxz20x10x1254x24x12st2x5x1312x,x0,x,yZ12这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线l:5x4x24112l:2x5x13及x0,x0组成直线l:20x10xc在此凸四边形区域内1212212x28l1平行移动.易知：当1l过l与l的交点时，2z取最大值54x24x4x由解得12x112x5x13122z20410190.max、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克,原料5千克；一件乙产品用A原料2千AB1.某厂生产甲BAB克,原料4千克.现有原料20千克,原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：maxS=20x+30yx2y205x4y70s.t.x,y0,x,yZ这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线l：x+2y=20,l:5x+4y＝7012ly2以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.直线l：20x+30y=c在可行域内l平行移动.易知：当l过l与l的交点时，12l1xS取最大值.xy2205x4y7010x由解得y59此时S＝2010305＝350（元）max2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：体积重量货物利润（立方米/箱）（百斤/箱）（百元/箱）甲5252010乙4已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x,x,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为12maxz20x10x125x4x2412st2x5x131x,x0,x,yZ212这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线l:5x4x24112l:2x5x13及x0,x0组成直线l:20x10xc在此凸四边形区域内2121212平行移动.x2l1l2x1l易知：当l过l与l的交点时，2z取最大值15x4x244x解得由12x112x5x13122z20410190.max3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润10分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和,所需工时分别为4和2,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12数学模型,确定生产甲型3个单位个单位.若允许使用原料为100个单位台.试建立一个、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S.则此问题的数学模型为：maxS=3x+2y2x3y1004x2y120s.t.x6,y12,x,yZ这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线l：2x+3y=100,l:4x+2y＝12012及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l与l的交点时,S取最大值.122x3y100由解得4x2y120x20y20.S＝320220＝100.max112．已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和y，其中k1个时段相当于商品的一个生xxk)和xg(y).试建yf(产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为k12k1k1k立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.xxk)和xg(y).yf(解：已知商品的需求函数和供应函数分别为k12k1k1k设曲线f和g相交于点0P(x,y)，在点P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：000xxyk1y(0k1kx),00--------------------（1）2x(),yy00x-------------------（2）--------------------（3）k10kxx(yy)由（2）得k20k10xxk1xx(kx)0（1）代入（3），可得2k2002xxx2x2x,k1,2,k，--------------（4）线性非齐次差分方程.为了寻求P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的k2k10上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数齐次差分方程的特征方程：0022容易算出其特征根为---------------()281,2（5）4当8时，显然有4-----------（6）()282421,28从而2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出2212，必须．要使特征根均在单位圆内，即1,2故P点稳定平衡条件为．20126.模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，线的图形.滴注（并画出血药浓度曲ft,中心室药量为xt,血药浓度为Ct,容积为V,解:设给药速率为中心室0ft0,Ctxt排除速率为常数k,则x/tkxtft,xtVCt.0V(1)快速静脉注射:设给药量为D,则ft0,C0D0,解得CtD0ekt.排除k00VVk，则ftk,C00,解得(2)恒速静脉滴注(持续时间为):设滴注速率为000k1e,0tkt0CtVkkt1ektekt,0VkftkDe口服或肌肉注射:0见5.4节（13）式，解得(3)k01t010kDeekt01,kk010ktVkk0101Ct3种情况下的血药浓度曲线如01kDtekt,kkV下：13a4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为4.b与xy相同.初始兵力00(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.,解:用xtyt表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:dxaydt1dybx,dtx0x,y0y000a现求(1)的解:(1)的系数矩阵为Ab0EAbaba2ab0.1,222,对应的特征向量分别为，111222xt1的通解为CeabtCeabt.yt1112再由初始条件，得2xyex0xt0yeabtabt22001可得dybx.dxay又由143,而其解为2aybxk2kaybx2200aybx3当xt0时，ytk2020y1by.0(1)11aa0a23即乙方取胜时的剩余兵力数为y.02xt0,由（2）得x0yeabt10yeabt10.x又令22010x2y0.etln3.xy,得e2abt13,注意到0yx2abt124b00100(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则dxayrbxdtdydt4x(0)x,y0y00由4得dxayr,即bxdxaydyrdy.dyay2rybx2k,相轨线为2bx或r2bx2r2k.此相轨线比书图kay2rybxay11中的轨线上移了202.00aa亦即rb2r22r.a0,条件为y0xa0.乙方取胜的kaa215第六章（2008年11月20日）dx(t)3．设某渔场鱼量t渔场中鱼的数量r为固有增长率)的自然增长规律为：rx(1x)x(t)(时刻dtNN`为环境容许的最大鱼量,.而单位时间捕捞量为常数h.其中（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度mE,使渔场单位时间内具有最大持续产量Q,并求此时渔场鱼量水平mx*.0x(t)变化规律的数学模型为dx(t)1）.rx(1x)hN解：（dt记f(x)rx(1x)h,令rx(1x)h0rx2rxh0----（1），即NNNN14hNrN2r2r(r4h)4rhx，（1）的解为：NN1,20①当时，（1）无实根，此时无平衡点；N实根，平衡点为②当0时，（1）有两个相等的.x202rxf(x)0不能断定其稳定性.f'(x)r(1x)rxr，'NNN0xrNdx但xx及均有xx)0，即0不稳定；x0f(x)rx(1N4dt000③当时，得到两个平衡点：NN14hrN2NN14hrNx1，x22N易知x，N'()0xfx，fx'()0221212xx2平衡点不稳定，平衡点稳定.1maxh（2）．最大持续产量的数学模型为：s.t.f(x)0即maxhrx(1x)，易得x*NhrN此时，但xN*0这个平衡点不稳定.N0242N应使渔场鱼量NN要获得最大持续产量，x,且尽量接近,但不能等于.2221.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞16量为常数h．hrN(1)分别就/4，hrN/4，hrN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：变化规律的数学模型为xtxtdx(t)rx(1x)hNdtFxrx()(1x)h记N(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由0Fxrx(1x)h0．，得N1r即xrxh02N4rh4hr2r(r)，NNN14hNrNx(1)的解为：21,2①当hrN②当hrN0/4，，(1)无实根，此时无平衡点；N两个相等的实根，平衡点为x2.0/4，，0(1)有xrx2rx(x)r(1)r'F(x)0不能断定其稳定性.，'F0NNNdx，即．不稳定；xrN但xx及均有xxF(x)rx(1)40N0x00dt0③当hrN/4，0时，得到两个平衡点：N14hNrNN14hNrNx1，x222NNx22易知：F(x)0，F(x)0x1，，''212x1x2.平衡点不稳定，平衡点稳定(2)最大持续产量的数学模型为hrN/4maxhs.t.F(x)0hrN/4hrN/4rx1x/N17x1N/2x2xx即maxhrx(1)，NNrNh4易得x*0此时，2N2这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．但x*0NNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量，且尽量接近，但不能等于．x222第八章（2008年12月9日）1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层越海方案的最优经济效益准则层方案层省收岸间当地建筑时入商业商业就业建桥梁修隧道设渡轮2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致