初中数学-5 一元二次方程根与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计教学目标：知识技能目标：发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，能由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数。过程方法目标：探索、运用一元二次方程的根与系数关系，在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想。情感态度价值观目标：培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯促进学生数学思维的养成，提升学生的合作意识和团队精神。教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。教学过程设计：一、复习回归课前热身【师生活动】：1.解一元二次方程的方法有哪些？2.师生比赛：在不计算的前提下，教师快速说出下列一元二次方程的两根之和与两根之积，同时让学生选择适当的方法解方程，并验证教师的答案。3.学生出题，教师快速说出方程的两根之和与两根之积，并利用计算器进行验证。对于第一部分，选取学生采取口答的形式完成，其余同学认真听，随时准备纠错，多叫几名学生回答，加深印象；对于第二部分，就要选三名学生在黑板上展示，充分暴露问题。同时，让学生自己讲这样的题有哪些易错点，应注意哪些方面。【设计意图】：通过第一部分让学生回顾一元二次方程的解法，做到温故知新；而第二部分主要查看学生实际解题的掌握情况，让学生自己说易错点可以减少错误的发生。第三部分的设计主要为了提升学生的学习兴趣，也为进一步探究两根和与两根积做铺垫。二、自学互研探索发现【师生活动】：学生利用刚刚求得的方程的根完成表格，可以两两合作完成，完成后对照PPT进行修改。教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生问题完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。教师主要的工作就是巡视，积累学生出现的问题。学生通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。【表格内容】：三、合作求证生成新知【师生活动】：提问：上表中反映了一元二次方程两个根的和、两个根的积分别与它的系数有什么关系？这个结论是偶然吗？你能否进行验证？学生再随意说出几个一元二次方程，利用计算器求出方程的根，验证刚刚的猜想。与所想的结论吻合后再进一步地进行推理验证。教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生的推导情况并点拨；鼓励学生参与合作学习，调动学生合作交流的主动性和积极性。学生可尝试先自行推导结论，然后小组合作，实现一元二次方程的根与系数的关系感性认识到理性认识的转变；两个小组为代表上台展示推理过程。最后，教师进行点拨，为学生作进一步的重点强调。【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的证明过程，即理性认识过程。让学生自己发现问题、探求规律，从理论角度加以验证，经历从特殊到一般的科学探索过程，培养学生科学、严谨的求学态度，团队精神和合作意识，促进学生的相互交流、学习。【教师点拨】：当b2-4ac≧0时，它的两个根是：四、形成概念应用新知【师生活动】：1.得出结论：如果方程有两个实数根，那么X1+X2=，X1·X2=2.例题：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：先让学生采取口答的形式，然后教师给出范例。需要强调的是，对于第（3）题属于无实数根的情况，很多学生可能会不假思索就说出两根之和与两根之积，此时教师要进行启发。教师给出第（1）题的范例时，再一次强调b2-4ac的重要性，让学生明白为何最前面要先判断b2-4ac的值。适时评价、鼓励学生能多种方法解决问题，促进发散思维的培养。对于第（2）（3）题就可以让学生独自完成，体现“教结构”“用结构”的教学思想。【设计意图】：教师先给出学生板书，帮学生规范了书写步骤以及注意事项，起到了教师示范作用。将“结构”教给学生，然后学生再讲所学进行应用，及时巩固，达到了“用结构”的目的。同时第（3）题的设计，又恰到好处地提醒学生要考虑周全，体现了数学的严谨性。【师生活动】：基础练习：1.已知方程的一个根是3，求它的另一个根.2.设关于x的方程的两个实数根是，若，则k的值为.这两道题目充分放手给学生，并选出两个两个学生回答问题。教师在教室里进行巡视，及时对学生的情况进行批改掌握，同时发现课堂上的生成性资源，对于好的资源可以请学生在黑板上进行展示。黑板上的学生完成后，请下面的同学上台批改，实现生生对话。【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的实践过程，即教学目标的达成、检测过程。设计了两个不同难度且有梯度的题目，让学生由易到难、由浅入深，加深对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用，强调学生对科学的严谨性和书写的规范性，培养学生对所学知识的应用意识和应用能力，以及合作学习意识与数学语言的表述能力。六、拓展延伸变式练习【师生活动】：1.已知两个正方形的边长分别是一元二次方程的两个根，你能求出这两个正方形的面积和（）吗？2.你能求出类似的、的值吗？这两道题目仍然是让学生完成，先独立思考，再小组讨论，完成的小组展示在黑板上，并说明思路。教师根据学生的实际情况适当进行点拨，为学生理清思路。学生讨论期间教师进行巡视，及时给出指导，帮学生解疑。【中考链接】：1.（淄博）已知是方程的两个实数根，则的值为.2.（烟台）若是方程的两个根，且，则m的值为（）A.-1或2B.1或-2C.-2D.13.（西宁）若是一元二次方程的两个根，则的值是.【设计意图】：通过学生对这两个难度稍大的题目的思考，加深对本节课知识点的理解与掌握，并感受到数学的灵活性与多样性，提高学习数学的兴趣。中考链接，让学生感受到本部分内容在中考题中的难度，并在攻破中考题的过程中增长信心。七、畅谈收获作业布置提问：本节课你有怎样的收获？教师鼓励学生谈所学所想所获，集体分享学习成果，归纳课堂所学知识点，解决学习中仍然存在的问题和困惑。课后作业：必做：习题8.10，第1题，第2题选做：习题8.10，第4题【设计意图】：本环节为本节课的总结提高过程。目的是帮助所有学生总结回顾、查漏补缺，形成知识体系，培养学生及时小结、善于归纳梳理的学习习惯，提高学生运用数学语言的能力和口头表达能力。作业分为必做和选做，可以让不同层次的学生都能得到充分的训练，获得不同的收获。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。进入了初三下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上所执教的学生有着较强的认知力与求知欲，

基于以上思考，在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。实践证明，只要教学语言使用得当，问题情境设计得好，学生是能够从题目中去获得发现的。经过本节课的学习，学生初步掌握了一元二次方程的根与系数的关系，即两根之和等于，两根之积等于，也能初步运用该结论进行一元二次方程的有关计算。在课堂的探究活动中，学生意识到了与他人合作的重要性，提高了语言表达能力，师生之间、生生之间的对话得以充分进行。在对本节课结论的推导中，学生意识到数学的严谨性与严密性，端正了追求数学真理的科学态度。同时，在围绕本节知识点的练习中，学生的计算能力得以加强，对于中考题的畏惧心理得以减轻。但另一方面，由于缺乏良好的计算习惯，学生在简单的计算时还出错较多，不能得到想要的结果。又出于缺乏对数学运用的灵活性的原因，学生在遇到稍有难度的题目时还不能很好地进行独立思考，给出较好的解决方案，对学生的训练还有待加强。《一元二次方程的根与系数的关系》是鲁教版教材八年级数学（下）第八章第五节的选学内容，学生是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。在旧教材中是一个基本知识点，称“韦达定理”，而新教材将它处理成为一个探究性的选学内容。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分。一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，也常与几何、二次函数等问题结合，利于数学问题的解决。本节知识强调在不解方程的情况下来解决与一元二次方程有关的问题。因此，本节教学内容是本章前面内容的发展、深入和完善，是“二次三项式的因式分解，二次方程组的解法，二次函数”等知识的基础。教材的编排意图是：意识渗透从未知转化为已知，由特殊到一般的数学思想；二是培养学生观察、比较、归纳和推理的能力，以及解决问题的能力，使学生今后在处理有关一元二次方程的问题时多一些思路和方法。教学要面向全体学生，并兼顾学有困难和学有余力的学生，对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能。1.选取合适的方法解决下列一元二次方程：2.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：3.基础练习：（1）已知方程的一个根是3，求它的另一个根.（2）设关于x的方程的两个实数根是，若，则k的值为.4.已知两个正方形的边长分别是一元二次方程的两个根，你能求出这两个正方形的面积和（）吗？你能求出类似的、的值吗？5.（淄博）已知是方程的两个实数根，则的值为.6.（烟台）若是方程的两个根，且，则m的值为（）A.-1或2B.1或-2C.-2D.17.（西宁）若是一元二次方程的两个根，则的值是.一元二次方程的根与系数的关系，体现“做数学”的理念，充分展现知识的形成过程，从而突破本节课教学设计中，我始终把对知识的学习与师生的共同活动与交流相结合，为学生提供自主学习的空间和活动机会，让学生动手、动口、动眼、动脑进行探索，鼓励学生主动探索，大胆地猜想，大胆地表述，在合作交流中获取的难点。在构思这节课时，我首先以师生比赛的形式，说出方程的两根之和与两根之积，引起学生的兴趣及探索欲望，然后引导学生观察并发现数字系数的一元二次方程的根与系数的关系。此时所得出的恰好是二次项系数为数字系数的方程，这种方程有这种规律，是不是对二次项系数不为数字系数的方程也同样有这种规律呢？于是引出下文，并推及到一元二次方程根与系数的关系的出现与证明。期间，为了说明猜想的结论不是偶然，也为了节省课堂时间，我用计算器帮学生计算几道一元二次方程的题目，为学生的进一步探索做准备。结论得出后关键是应用，于是我不仅带领学生做基础性的练习，还带领学生进行深层次的挖掘，提高了本节课内容的深度。最后进行中考链接，让学生提前接触中考题，揭开中考的神秘面纱。本节课也存在一定的缺憾，那就是对于一些细节方面，没有充分让学生展示，使得部分学生有些思维混乱。同时，课堂稍有些前松后紧，在处理后面习题时时间就稍显紧张。方程不仅是现实生活中建立模型的重要方法，也是数学课程中相当重要的一部分。而一元二次方程作为方程的重要组成部分，又是学生学习、教师教学的重点。一元二次方程在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的改变，成为当今数学教师研究的重点。本章内容基于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》与《新课标》的要求，进行了内容编排。首先，阐述了一元二次方程的价值：一元二次方程不仅是一元一次方程与数的二次开方的延续，也是二次函数、一元二次不等式和二次曲线等的基础。同时，一元二次方程还是解决实际问题的重要途径。接着，分析了一元二次方程在《新课标》中的内容与理念的变化。（1）在内容上增加了“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等