第十四章-第2讲-坐标系与参数方程

考试要求1.坐标系的有关概念(A级要求)，极坐标及方程的互化，参数方程和普通方程的互化(B级要求)；2.高考中对本讲的考查以解答题为主，难度中等.预计高考中以极坐标、参数方程化为普通方程为主，注重基本运算及极坐标、参数方程的运用.第2讲坐标系与参数方程知

识

梳

理1.平面直角坐标系2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线极径OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的______，θ称为点M的______.由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.极角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程ρ＝r(0≤θ<2π)2rcosθρ＝2rsinθ(0≤θ<π)ρsinθ＝a(0<θ<π)4.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以_____________从参数方程得到普通方程.通过消去参数5.常见曲线的参数方程和普通方程x2＋y2＝r2诊

断

自

测∴过点(0，2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.即为ρsinθ＝2.解因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.所以A为直线l与圆C的一个交点.直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.考点一极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化【例1－1】(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程； (2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，规律方法(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.

①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2.则t1＋t2＝0.故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.规律方法

消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.【训练1】

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；解

(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.考点二求曲线的极坐标方程【例2】

在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程；解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.由于C2的半径为1，则易得△C2MN为直角三角形，规律方法

求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.所以圆C的圆心坐标为(1，0).于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.考点三参数方程的应用(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.解得k<－1或k>1，规律方法(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.所以ρsinθ＋ρcosθ＝4.因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.考点四极坐标方程和参数方程的综合应用解

法一直线l的参数方程化为普通方程得4x