概率论第一章第三节

第1页，课件共23页，创作于2023年2月I.什么是古典概率模型如果试验E满足

(1)试验结果只有有限种，

(2)每种结果发生的可能性相同。则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。第2页，课件共23页，创作于2023年2月II.古典概率模型中事件概率求法

因试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个:1,2,…,n

，其中

S={1}∪{2}∪…∪{n}，{i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。于是，有1=P(S)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…n。从而，P({i})=1/n，i=1,2,…n。第3页，课件共23页，创作于2023年2月因此，若事件A包含k个基本事件，有

P(A)=k(1/n)=k/n。III.古典概型的例例1：掷一颗均匀骰子，设:A表示所掷结果为“四点或五点”；

B表示所掷结果为“偶数点”。求:P(A)和P(B)。解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。第4页，课件共23页，创作于2023年2月例2：解:货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲,3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自同一产地的概率。

从15件商品中取出2商品,共有C215=105种取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。令A={两件商品都来自产地甲},kA=C212=66,B={两件商品都来自产地乙},kB=C23=3，而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。第5页，课件共23页，创作于2023年2月例3

：有外观相同的三极管6只,按电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只,(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样);(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽到两只不同类三极管}。求：P(A),P(B),P(C),P(D)。第6页，课件共23页，创作于2023年2月解:

(1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管共有66=36种可能的取法。从而,n=36。注意:这种分析方法使用的是中学学过的

乘法原理第7页，课件共23页，创作于2023年2月

因每个基本事件发生的可能性相同,第一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。所以,取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即kA=16。故P(A)=16/36=4/9；令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4。故

P(E)=4/36=1/9;因C是E的对立事件，故P(C)=1-P(E)=8/9；因B=A∪E,且A与E互斥,得

P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件,得P(D)=1-P(B)=4/9。第8页，课件共23页，创作于2023年2月(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30种可能的取法。由乘法原理,得kA=43=12,P(A)=12/30=2/5;kE=21=2，P(E)=2/30=1/15;由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15；由B=A∪E,且A与E互斥,得

P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的对立事件,得P(D)=1-P(B)=8/15。教材例2第9页，课件共23页，创作于2023年2月解:例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球”的概率。

因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放入N个盒子中共有Nn种不同的放法。每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法原理得):N(N-1)…(N-n+1)=ANn种。故，

P(A)=ANn/Nn。第10页，课件共23页，创作于2023年2月

设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365)个人,则他们生日各不相同的概率为

A365n/365n。于是,n个人中至少有两人生日相同的概率为1-A365n/365n。

许多问题和上例有相同的数学模型。例如(生日问题):

某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？第11页，课件共23页，创作于2023年2月

此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：

“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997

经计算可得下述结果：第12页，课件共23页，创作于2023年2月

把n个物品分成k组,使第一组有n1个,第二组有n2个,…,第k组有nk个,且n=n1+n2+…+nk

。则:不同的分组方法有

公式种。第13页，课件共23页，创作于2023年2月解:例5:某公司生产的15件产品中,有12件正品,3件次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件，设:A={每箱中恰有一件次品},B={三件次品都在同一箱中}。求:P(A)和P(B)。

15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有种等可能的装法。故,基本事件总数有个。第14页，课件共23页，创作于2023年2月续:

把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种装法。这样的每一种装法取定以后,把其余12件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有个基本事件。再由乘法原理,可知装箱总方法数有即A包含从而，第15页，课件共23页，创作于2023年2月续:

把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有个基本事件。故，由乘法原理，知装箱方法共有即B包含第16页，课件共23页，创作于2023年2月

例6设有N件产品，其中有M件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?又

在M件次品中取k件，所有可能的取法有在N-M件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件产品中抽取n件，取法共有考虑不放回抽样:第17页，课件共23页，创作于2023年2月于是所求的概率为：此式即为超几何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有第18页，课件共23页，创作于2023年2月例7

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周内接待12次来访共有第19页，课件共23页，创作于2023年2月小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为第20页，课件共23页，创作于2023年2月例8

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件