材料力学应力状态与强度理论及其工程应用

材料力学应力状态与强度理论及其工程应用第1页，课件共156页，创作于2023年2月

第9章

应力状态与强度理论及其工程应用(A)

材料力学第2页，课件共156页，创作于2023年2月

前面几章中，讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度问题，这些强度问题的共同特点是，一是危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力；二是都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度设计准则。

工程上还有一些构件或结构，其危险截面上危险点同时承受正应力和剪应力，或者危险点的其他面上同时承受正应力或剪应力。这种受力称为复杂受力。复杂受力情形下，由于复杂受力形式繁多，不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因而，必须研究在各种不同的复杂受力形式下，强度失效的共同规律，假定失效的共同原因，从而有可能利用单向拉伸的实验结果，建立复杂受力时的失效判据与设计准则。第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第3页，课件共156页，创作于2023年2月

为了分析失效的原因，需要研究通过一点不同方向面上应力相互之间的关系。这是建立复杂受力时设计准则的基础。

本章首先介绍应力状态的基本概念，以此为基础建立复杂受力时的失效判据与设计准则，然后将这些准则应用于解决承受弯曲与扭转同时作用的圆轴，以及承受内压的薄壁容器的强度问题。第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第4页，课件共156页，创作于2023年2月应力状态的基本概念平面应力状态任意方向面上的应力应力圆及其应用

结论与讨论(1)应力状态中的主应力与最大剪应力广义胡克定律应变能与应变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第5页，课件共156页，创作于2023年2月应力状态的基本概念第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第6页，课件共156页，创作于2023年2月应力状态的基本概念

什么是应力状态？

描述一点应力状态的方法

为什么要研究应力状态第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第7页，课件共156页，创作于2023年2月

什么是应力状态？应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第8页，课件共156页，创作于2023年2月应力的点的概念——同一截面上不同点的应力各不相同应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第9页，课件共156页，创作于2023年2月FNxFQ

横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第10页，课件共156页，创作于2023年2月

应力的面的概念——过同一点不同方向面上的应力各不相同应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第11页，课件共156页，创作于2023年2月FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第12页，课件共156页，创作于2023年2月受力之前,表面斜置的正方形

受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。FPFP应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第13页，课件共156页，创作于2023年2月

受扭之前，圆轴表面为正圆。

这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。MxMx

受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第14页，课件共156页，创作于2023年2月拉中有剪根据微元的局部平衡应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第15页，课件共156页，创作于2023年2月剪中有拉根据微元的局部平衡MxMx应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第16页，课件共156页，创作于2023年2月

微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第17页，课件共156页，创作于2023年2月

不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第18页，课件共156页，创作于2023年2月应力指明哪一个面上？

哪一点？

哪一点？

哪个方向面？应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第19页，课件共156页，创作于2023年2月应力状态的概念——过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第20页，课件共156页，创作于2023年2月

为什么要研究应力状态应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第21页，课件共156页，创作于2023年2月请看下列实验现象：

低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢和铸铁的扭转实验应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第22页，课件共156页，创作于2023年2月低碳钢拉伸实验

韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸实验应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第23页，课件共156页，创作于2023年2月

为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢扭转实验铸铁扭转实验应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第24页，课件共156页，创作于2023年2月

不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。

不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第25页，课件共156页，创作于2023年2月

描述一点应力状态的方法应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第26页，课件共156页，创作于2023年2月

微元及其各面上的应力即可描述一点的应力状态

dxdydz微元（Element）描述一点应力状态的基本方法应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第27页，课件共156页，创作于2023年2月(Three-Dimensional

State

of

Stresses)三向（空间）应力状态yxz应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第28页，课件共156页，创作于2023年2月

(

Plane

State

of

Stresses)平面（二向）应力状态xy应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第29页，课件共156页，创作于2023年2月xyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第30页，课件共156页，创作于2023年2月FPl/2l/2S平面

例题

1应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第31页，课件共156页，创作于2023年2月123S平面

例应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第32页，课件共156页，创作于2023年2月例题2FPlaS应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第33页，课件共156页，创作于2023年2月xzy4321S平面例题2应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第34页，课件共156页，创作于2023年2月yxzxyzMzFQyMx4321143应力状态的基本概念

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第35页，课件共156页，创作于2023年2月平面应力状态任意方向面上的应力第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第36页，课件共156页，创作于2023年2月

方向角与应力分量的正负号约定

微元的局部平衡平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第37页，课件共156页，创作于2023年2月拉为正压为负正应力

方向角与应力分量的正负号约定平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第38页，课件共156页，创作于2023年2月

使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。剪应力平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第39页，课件共156页，创作于2023年2月yxq方向角q

由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第40页，课件共156页，创作于2023年2月平衡对象平衡方程tyx

参加平衡的量dAqx´y´——用

斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积

微元的局部平衡xs平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第41页，课件共156页，创作于2023年2月tyxx´dAqxs平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第42页，课件共156页，创作于2023年2月τyxｙdAqxσ平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第43页，课件共156页，创作于2023年2月用

斜截面截取x´y´平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第44页，课件共156页，创作于2023年2月

利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：

平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第45页，课件共156页，创作于2023年2月例题

3

分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。

杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第46页，课件共156页，创作于2023年2月

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式在本例的情形下，y＝0，yx＝0。

平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第47页，课件共156页，创作于2023年2月

根据这一结果，当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力，其值分别为

不难看出，在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值，而剪应力却是最大值。

这表明，轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45º角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第48页，课件共156页，创作于2023年2月例题

4

分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。

圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯剪应力状态。

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第49页，课件共156页，创作于2023年2月根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式在本例的情形下，x＝y＝0。

平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第50页，课件共156页，创作于2023年2月

可以看出，当θ＝45º或θ＝－45º时，斜截面上只有正应力没有剪应力。θ＝45º时(自x轴逆时针方向转过45º)，拉应力最大；θ＝－45º时(自x轴顺时针方向转过45º)，压应力最大：

进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即－45º螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。平面应力状态任意方向面上的应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第51页，课件共156页，创作于2023年2月应力状态中的主应力与最大剪应力第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第52页，课件共156页，创作于2023年2月

主平面、主应力与主方向

平面应力状态的三个主应力

面内最大剪应力

过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第53页，课件共156页，创作于2023年2月

主平面、主应力与主方向

剪应力xy＝0的方向面，称为主平面（principalplane），其方向角用p表示。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第54页，课件共156页，创作于2023年2月

主平面上的正应力称为主应力（principalstress）。主平面法线方向即主应力作用线方向，称为主方向（principaldirections）.主方向用方向角p表示。

主平面、主应力与主方向应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第55页，课件共156页，创作于2023年2月

将上式对求一次导数，并令其等于零，有

由此解出的角度角度与P具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第56页，课件共156页，创作于2023年2月

根据剪应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面(＝P＋π/2)，其上之剪应力也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应力。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第57页，课件共156页，创作于2023年2月

需要指出的是，对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有剪应力作用，这种平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第58页，课件共156页，创作于2023年2月

平面应力状态的三个主应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第59页，课件共156页，创作于2023年2月

以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用表示，即应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第60页，课件共156页，创作于2023年2月

根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第61页，课件共156页，创作于2023年2月x-y坐标系x´-y´坐标系xp-yp坐标系

因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第62页，课件共156页，创作于2023年2月

根据上述结果，原来用x、y、xy和yx表示的应力状态，现在可以用主应力表示。

显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表示的应力状态简单。用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同的，但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第63页，课件共156页，创作于2023年2月由此得出另一特征角，用s表示对求一次导数，并令其等于零，得到

与正应力相类似，不同方向面上的剪应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值．为求此极值，将

面内最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第64页，课件共156页，创作于2023年2月得到xy

的极值

需要特别指出的是，上述剪应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力（maximumshearingstressesinplane）与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。

面内最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第65页，课件共156页，创作于2023年2月

为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（σ1、σ2、σ3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。

考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ3

0）的应力状态。

过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第66页，课件共156页，创作于2023年2月

考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ30）的应力状态。

过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第67页，课件共156页，创作于2023年2月σx=σ3,σy=σ2，τxy＝0这就是Ⅰ组方向面内的最大剪应力。

在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和剪应力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第68页，课件共156页，创作于2023年2月

在平行于主应力σ2方向的任意方向面Ⅱ上，正应力和剪应力都与σ2无关。因此，当研究平行于σ2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：σx=σ1,σy=σ3，τxy＝0。

这就是Ⅱ组方向面内的最大剪应力。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第69页，课件共156页，创作于2023年2月σx=σ1,σy=σ2，τxy＝0。

在平行于主应力σ3方向的任意方向面Ⅲ上，正应力和剪应力都与σ3无关。因此，当研究平行于σ3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：这就是Ⅲ组方向面内的最大剪应力。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第70页，课件共156页，创作于2023年2月

一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的，即过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第71页，课件共156页，创作于2023年2月例题

5

薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩Me＝600N·m，轴向载荷FP＝20kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为

求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30º的斜截面上的应力；

2.D点主应力和最大剪应力。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第72页，课件共156页，创作于2023年2月

解：1．取微元，确定微元各个面上的应力

围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。

利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第73页，课件共156页，创作于2023年2月

解：1．取微元，确定微元各个面上的应力

利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第74页，课件共156页，创作于2023年2月

解：2．

求斜截面上的应力

在本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，θ＝120º。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第75页，课件共156页，创作于2023年2月

解：2．

求斜截面上的应力

在本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，θ＝120º。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第76页，课件共156页，创作于2023年2月

解：3．确定主应力与最大剪应力

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第77页，课件共156页，创作于2023年2月

解：3．确定主应力与最大剪应力

根据主应力代数值大小顺序排列，D点的三个主应力为D点的最大剪应力为

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第78页，课件共156页，创作于2023年2月例题

6已知:应力状态如图所示。解：1.确定主应力

应用平面应力状态主应力公式试求：1．写出主应力1、2、3的表达式；

2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4MPa，当坐标轴x、y反时针方向旋转=120后至x′、y′

，求:

x′、τx′y′

。

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第79页，课件共156页，创作于2023年2月解：1.确定主应力

应用平面应力状态主应力公式因为y＝0，所以有又因为是平面应力状态，故有应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第80页，课件共156页，创作于2023年2月于是，根据1＞2＞3的排列顺序，得

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第81页，课件共156页，创作于2023年2月解：2.计算方向面法线旋转后的应力分量

将已知数据x＝63.7MPa，y＝0，xy＝－yx=76.4MPa，=120等代入任意方向面上应力分量的表达式

，求得：

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第82页，课件共156页，创作于2023年2月

已知:三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。例题

7

试求：主应力及微元内的最大剪应力。应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第83页，课件共156页，创作于2023年2月故微元上平行于的方向面上的应力值与无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力和时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。

解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第84页，课件共156页，创作于2023年2月这与例题1中的平面应力状态相类似。于是，例题1中所得到的主应力和公式可直接应用解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第85页，课件共156页，创作于2023年2月

本例中x=－20Mpa，xy=－40MPa。据此，求得

应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第86页，课件共156页，创作于2023年2月根据123的排列顺序，可以写出微元内的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第87页，课件共156页，创作于2023年2月应力圆及其应用第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第88页，课件共156页，创作于2023年2月

应力圆方程

应力圆的画法

应力圆的应用应力圆及其应用

三向应力状态的应力圆第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第89页，课件共156页，创作于2023年2月

应力圆方程应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第90页，课件共156页，创作于2023年2月ROC应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第91页，课件共156页，创作于2023年2月

二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；

应力圆的画法应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第92页，课件共156页，创作于2023年2月点面对应CaA应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第93页，课件共156页，创作于2023年2月CaDndxA2转向对应二倍角对应应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第94页，课件共156页，创作于2023年2月

二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；

应力圆的画法应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第95页，课件共156页，创作于2023年2月Oca(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第96页，课件共156页，创作于2023年2月Oca(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB再将上述过程重复一次应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第97页，课件共156页，创作于2023年2月

在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。

应力圆的应用应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第98页，课件共156页，创作于2023年2月sxsxtx'y'sx'o2×45º2×45ºBEADadcbeEEBB45º45º应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第99页，课件共156页，创作于2023年2月ctx'y'sx'o2×45º2×45ºadbesxsxEBEBsxsx应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第100页，课件共156页，创作于2023年2月EBsxsx

轴向拉伸时45º方向面上既有正应力又有剪应力，但正应力不是最大值，剪应力却最大。应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第101页，课件共156页，创作于2023年2月otx'y'sx'2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第102页，课件共156页，创作于2023年2月sy'＝tsx'＝－tBEDAttsy'＝tsx'＝－tBE应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第103页，课件共156页，创作于2023年2月

在纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第104页，课件共156页，创作于2023年2月txysxsytyxtx'y'sx'oadAD

主平面（principalplane）：t

=0,与应力圆上和横轴交点对应的面。cbePBPE2qp应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第105页，课件共156页，创作于2023年2月sxsytyxADtxyPEPBsstx'y'sx'oadcbe2qpss主应力（principalstresses）：主平面上的正应力。应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第106页，课件共156页，创作于2023年2月

应力圆在坐标轴xy的右侧，因而′和″均为正值。这种情形不具有普遍性。当x＜0或在其他条件下，应力圆也可能在坐标轴xy的左侧，或者与坐标轴xy相交，因此′和″也有可能为负值，或者一正一负。应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第107页，课件共156页，创作于2023年2月tx'y'sx'oadcbessadcbessadcbess主应力（principalstresses）：主平面上的正应力。应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第108页，课件共156页，创作于2023年2月

有几个主应力？tx'y'sx'oadcbess应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第109页，课件共156页，创作于2023年2月tx'ysxoadcbess

有几个主应力？应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第110页，课件共156页，创作于2023年2月

主应力排序

s1s2

s32qptx'y'sx'ocbeadss应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第111页，课件共156页，创作于2023年2月

对应应力圆上的最高点的面上剪应力最大，称为“面内最大剪应力”

（maximumshearingstressinplane）。tx'y'sx'ocsst应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第112页，课件共156页，创作于2023年2月

三向应力状态的应力圆

考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1>σ2>σ30）的应力状态。

应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第113页，课件共156页，创作于2023年2月txysx由s2

、s3可作出应力圆

Is3s2IIs1s2s3

三向应力状态的应力圆应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第114页，课件共156页，创作于2023年2月由s1

、s3可作出应力圆IIIIs1

s3IIIs2s3txysxOs2s3s1应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第115页，课件共156页，创作于2023年2月IIItxysxOs3由s1

、s2可作出应力圆

IIIIIIs2s1IIIs2s1s3应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第116页，课件共156页，创作于2023年2月s1IIIs3IIIs2Otxysx

微元任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第117页，课件共156页，创作于2023年2月平面应力状态作为三向应力状态的特例应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第118页，课件共156页，创作于2023年2月

例题

8obatmax20030050(MPa)

求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。AB应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第119页，课件共156页，创作于2023年2月Ob2005030050(MPa)tmax

例题

9

求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大剪应力tmax。aAB应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第120页，课件共156页，创作于2023年2月O300100(MPa)tmax例题

10

求：平面应力状态的主应力1、2

、3和最大切应力tmax。baAB应力圆及其应用

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第121页，课件共156页，创作于2023年2月广义胡克定律第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第122页，课件共156页，创作于2023年2月11横向变形与泊松比——泊松比1＋xyx1－x广义胡克定律

广义胡克定律第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第123页，课件共156页，创作于2023年2月三向应力状态的广义胡克定律——叠加法广义胡克定律

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第124页，课件共156页，创作于2023年2月yzx对于平面应力状态，广义胡克定律为广义胡克定律

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第125页，课件共156页，创作于2023年2月

这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。

各向同性材料各弹性常数之间的关系广义胡克定律

第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第126页，课件共156页，创作于2023年2月应变能与应变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

第127页，课件共156页，创作于2023年2月

总应变能密度

体积改变能密度与畸变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第128页，课件共156页，创作于2023年2月

总应变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第129页，课件共156页，创作于2023年2月微元应变能(strainenergy)dydxdz力的作用点所产生的位移

总应变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第130页，课件共156页，创作于2023年2月dW=力在位移上所做的功转变为微元的应变能=dV第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第131页，课件共156页，创作于2023年2月应变能密度(strain-energydensity)第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第132页，课件共156页，创作于2023年2月

体积改变能密度与畸变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第133页，课件共156页，创作于2023年2月+将一般应力状态分解为两种特殊情形

体积改变能密度与畸变能密度第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第134页，课件共156页，创作于2023年2月不改变形状，但改变体积不改变体积，但改变形状第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第135页，课件共156页，创作于2023年2月第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）

应变能与应变能密度

第136页，课件共156页，创作于2023年2月不改变形状，但改变体积V为体积改变能密度（strain-energydensitycorrespondingtothechangeofvolume）第9章应力状态与强度理论及其工程应用（A）