角【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升 （ 含答案解析 ）

专题15角一、角度计算中的分类讨论【典例】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（）A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，∴∠AOC＝80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM=12∠∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；故选：C．【巩固】水平直线上顺次三点A、O、B，以O点为顶点在直线上方作∠COD＝40°，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，求∠MON的度数．【解答】解：∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠AOM＝∠COM=12∠AOC，∠BON＝∠DON=1分两种情况：①如图1，∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝40°，∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣40°＝140°，∴∠AOM+∠BON=12∠AOC+12∠BOD=12（∠AOC+∠BOD）=12×140°＝70°，∴∠MON＝180°﹣（∠AOM②如图2，∵∠AOC﹣∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝40°，∴∠AOC+∠BOD＝180°+40°＝220°，∴∠AOM+∠BON=12∠AOC+12∠BOD=12（∠AOC+∠BOD∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣110°＝70°．综上所述，∠MON的度数为110°或70°．二、钟表中涉及到的角度问题【典例】（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角；（2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？【解答】解：（1）如图，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30＝135°；（2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度，可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角，列方程得到：135﹣6x+0.5x＝90，解得x＝8211，即10时38211时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角，根据题意得到：30+6y﹣0.5y＝90，解得y＝101011则当在11时101011【巩固】（1）在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒，△OAB的面积第一次达到最大？（2）钟面上从2点到4点有几次时针与分针成60°的角？分别是几点几分？【解答】解：（1）设经过t秒时，OA与OB第一次垂直．∵秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，∴（6﹣0.1）t＝90，解得：t=90059．则当OA与OB第一次垂直的时候，△（2）共有四次时针与分针成60°的角．①第一次正好为2点整；②第二次设为2点x分时，时针与分针的夹角为60°，由题意可知：分针的速度为6°/分，时针的速度为0.5°/分，则分针与时针的速度差为5.5°/分．则5.5x＝60×2，解得：x=240③第三次设为3点y分时，时针与分针的夹角为60°，5.5y＝90﹣60，解得：y=60④第四次设为3点z分时，时针与分针的夹角为60°，5.5z＝90+60，解得：z=300综上所述，钟面上从2点到4点有四次时针与分针成60°的角，分别是2点整、2点24011分、3点6011、3点三、角度的动态类问题【典例】如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）（1）当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．（2）当射线OQ的转速为4°/s，t＝21s时，求∠POQ的值．（3）若射线OQ的转速为3°/s，①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．②当∠POQ＝70°时，求射线OP旋转的时间．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+10°＝70°，∴当射线OP平分∠AOC时，∠AOP＝∠POC＝35°，∴此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP＝20°+35°＝55°，∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，∴旋转的时间：55÷1＝55s．（2）∵射线OQ的转速为4°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，∴t＝21s时，∠COQ＝21×4＝84°，∵射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，∴t＝21s时，∠FOP＝21×1＝21°，如图，∴∠FOQ＝∠FOA+∠AOB+∠BOC﹣∠COQ＝6°．∴∠POQ＝∠FOP﹣∠FOQ＝15°；（3）①当射线OQ和射线OP重合时，t=10+20∴∠COQ=452×②设射线OP旋转的时间为ts，当OP和OQ在未重合之前，90﹣t﹣3t＝70，t＝5；当OP和OQ在重合之后，3t+t﹣70＝90，解得t＝40；∵OQ按题目条件射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，∴t≤90÷3，即t≤30，∴t＝40时（t≤30）早已停止运动，但OP未停止，因此第二种情况t＝70．故当∠POQ＝70°时，射线OP旋转的时间为5秒或70秒．【巩固】已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．（1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；（2）点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC＝∵∠DOE＝80°．∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝20°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°+20°＝140°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°；（2）①∠DOE在∠AOC内部时．令∠AOD＝x°，则∠DOF＝2x°，∠EOF＝80°﹣2x°，∴∠EOC＝120°﹣（x°+2x°+80°﹣2x°）＝40°﹣x°，∴∠EOF＝2∠EOC；②∠DOE的两边在射线OC的两侧时．令∠AOD＝x°，则∠DOF＝2x°，∠DOC＝120°﹣x°，∠EOF＝2x°﹣80°，∴∠EOC＝80°﹣（120°﹣x°）＝x°﹣40°，∴∠EOF＝2∠EOC．综上可得，∠FOE和∠EOC的数量关系不改变，∠EOF＝2∠EOC．巩固练习1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（）A．12° B．24° C．39° D．45°【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，∴∠DAE＝∠EAD′，∵ABCD是长方形，∴DA⊥AB，∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，∴30°+5∠BAD′＝90°，∴∠BAD′＝12°，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2∠BAD′+∠CAD′＝2×12°+15°＝39°，∴∠DAE＝39°．故选：C．2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（）A．480° B．500o C．540o D．600o【解答】解：如图，由四边形的内角和得，∠2+∠3+∠5+∠8＝360°，∠6+∠7+∠9+∠10＝360°，∴∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7+∠9+∠10＝720°，∵∠8+∠9＝180°，∠10＝∠1+∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7＝720°﹣180°＝540°，故选：C．3．如图，已知平面内∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，若OD平分∠AOC，OE⊥OA，则∠EOD＝°．【解答】解：根据题意画图，①当OE与OD在OA两侧时，如图1，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+20°＝70°，∴∠AOD=∵OE⊥OA，∴∠EOA＝90°，∴∠EOD＝∠EOA+∠AOD＝90°+35°＝125°；②当OE与OD在OA同侧时，如图2，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+20°＝70°，∴∠AOD=∵OE⊥OA，∴∠EOA＝90°，∴∠EOD＝∠EOA﹣∠AOD＝90°﹣35°＝55°；综上所述：∠EOD的度数是125°或55°．4．如图，要用一张长方形的纸片折成一个纸袋，两条折痕的夹角为80°（即∠POQ＝80°），将折过来的重叠部分抹上胶水，就可以做成一个纸袋，那么粘胶水部分所构成的这个角∠A'OB'＝．【解答】解：由折叠的性质可知∠AOP＝∠A'OP，∠BOQ＝∠B′OQ，∵∠POQ＝80°，∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣80°＝100°，∴∠A'OP+∠B′OQ＝100°，∴∠A'OB'＝∠AOP+∠A'OP+∠BOQ+∠B′OQ﹣180°＝100°+100°﹣180°＝20°，故答案为：20°．5．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝°；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，∴∠EFH=12∠AFH，∠IFH=1∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG=12（∠AFH+∠BFH）=12∠∴∠EFI=12∠AFB＝故答案为：90．（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，∵∠HFG＝30°∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，即2x+2y＝90°，∴x+y＝45°，∴∠EFI＝x+y+30＝75°，∴∠EFI＝75°．（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，又∵∠EFQ=∴∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）-[180°-(α+β)∴∠PFQ|＝|α-β26．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系：．【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM=12∠AOB=12∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON=12∠COD=12∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；②当∠MON＝90°时，n+25＝90，∴n＝65．（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°-12m°）=12当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+12m°﹣40=12综上所述，∠MON=12m°+故答案为：∠MON=12m°+7．阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．解决问题：（1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数；（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针；（3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？【解答】解：（1）∵8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，∴夹角是30°×2.5＝75°，∴分针与时针所夹的锐角的度数是75°；（2）设x分钟后分针第一次追上时针，6x﹣0.5x＝240，解得x=480答：8：00开始48011（3）设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线，分三种情况：如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB＝∠POB，∴0.5m＝240﹣6m，解得m=480如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB＝2∠POB，∴0.5m＝2（6m﹣240），解得m=960如图③，当OQ平分∠BOP时，∠POB＝2∠QOB，∴6m﹣240＝2×0.5m，解得m＝48．综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，8．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为度．（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：∠NOB＝90°；故答案为90．（2）∵∠AOM+∠AON＝90°，∠AON+∠NOC＝∠AOC＝45°，∴∠AOM﹣∠NOC＝45°；（3）∵ON所在直线恰好平分∠AOC，∴∠AON＝∠AOC÷2＝45°÷2＝22.5°，此时旋转角为：90°+22.5°＝112.5°112.5÷5＝22.5（秒），或（112.5+180）÷5＝58.5（秒）所以直角△MON绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．9．已知如图1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC＝（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．【解答】解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，∵∠AOC=13∠∴∠BOC=34∠AOB=34②OC在∠AOB外部时，如下图，∠AOC=13∠∴∠BOC=32∠AOB=32综上所述：∠BOC＝30°或60°；故答案为：30°或60°．（2）解：设∠CON＝x，∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，又∵∠AOC＝20°，∴∠AOM＝4x﹣20°，∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，∴4∠AON+∠COM＝80°．（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，∴∠CON=14∠∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA-14∠COM＝20°-14（60°﹣5t°）＝5∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝20°+10∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，∵∠MOB＝5t°，∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，∵∠CON=14∠∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+14∠COM＝20°+14（5t°﹣60°）＝5∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝10t°+∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，∴∠AON＝∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°﹣60°）+20°＝5∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+360°﹣5t°＝∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，∴∠AON＝∠CON﹣∠COA=14∠COM﹣∠COA=14（420°﹣5t°）﹣20°＝85∴4∠AON+∠BOM＝4（85°-54t°）+360°﹣5t°＝700°﹣10∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA-14∠COM＝20°-14（420°﹣5t°）=54t°﹣85°，∴4∠AON+∠BOM＝4（54t°﹣85°）+∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．10．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝°；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠M