2023届广东省新高考复习：导数解答题专项提分计划解析版

2023届广东省新高考复习

专题6导数解答题专项提分计划

1.(2022•广东湛江•统考二模)已知函数〃x)=lnx+2-x.

⑴当。=-2吐若/(x)在他，赤)上存在最大值，求，”的取值范围；

(2)讨论/(x)极值点的个数.

【答案】(1)(4,+8);

⑵当“6-8⑼时，函数有一个极值点；当4€(0,；)时，函数有两个极值点；

当〃e弓,+8)时，函数没有极值点.

【分析】(1)根据导数的性质，结合函数的单调性和最值的定义进行求解即可；

(2)根据导数的性质，结合极值点的定义、一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可.

(1)

因为。二一2,

所以/(X)=In-Xn/(x)=T4-1=-、?丁=1.产

因为函数〃x)=lnx-：-x的定义域为：(0,竹))，

所以当x>2时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

当0<x<2时，单调递增，所以当x=2时，函数有最大值，

因此要想/(x)在(0,而)上存在最大值，只需而>2n机>4,

所以加的取值范围为(4,+©)；

(2)

/(x)=lnx+--x=>/'(%)=-g-1=-*:一,

XJCJCX

方程，一元+〃=o的判别式为△=(-1)2-4a=\-4a.

(1)当△<()时，即此时方程x2-x+a=0没有实数根，

所以ra)<o,函数单调递减，故函数/(X)没有极值点；

(2)当A=0时，即l-4a=0na=一,

4

此时,，3二('-；)；0,(当x=；时取等号)，所以函数单调递减，故函数/(X)没有极值点；

(3)当△>()时，即l-4a>0na<!，此时方程x?-x+a=0有两个不相等的实数根，

4

设两个实数根为X”三,设占<%,则1+^^,

'22

函数)(x)的定义域为；(0,+°°),显然x,-x2=a,x,+x2=1

当=。>0时，此时方程有两个不相等的正实数根，

此时当xe(0,±)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减，当》€区,々)时，/心)〉。，函数/(x)单调递增，当

xe(x2,+a))Ht/'(x)<0,函数/(x)单调递减，

因此当》=占时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，

所以当ae(0二)时，函数有两个极值点，

当玉/2=。50时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，

当xe(0,x。时，/外)>0,函数单调递增，当xe(%,+⑼时，/'(x)<0,函数〃x)单调递减，所以

当x=x?时，函数有极大值点，

因此当ae(Ho,0］时，函数有一个极值点，

综上所述：当ae(-8,0］时，函数有一个极值点；

当ae(0,全时，函数有两个极值点；

当aeJ,+8)时，函数没有极值点.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根的判别式分类讨论是解题的关键.

2.(2022•广东广州•统考三模)已知函数/(x)=ez+ax+a(aeR).

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵当XN0时，/(x-l)+ln(x+l)>l,求实数。的取值范围.

【答案】⑴见解析；(2)［-2,+00).

【分析】⑴/(x)求导汽X)对。分类讨论4(x)的正负得出“X)的单调性；

(2)〃x-l)+ln(x+l”l变形g(x)=e，+G+ln(x+l)_lNO,利用导数对"的值进行分类讨论，得出函数

g(x)的单调性，由单调性即可得出实数”的取值范围.

【详解】⑴由题知］(X)=*'+©+","X)的定义域为R,

x+

f'(x)=e'+a.

(对函数〃x)求导后，由于y=e"'恒大于0,故对。进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性)

当〃20时，,严卜)>0在口上恒成立，故/(》)在区上是增函数；

当a<0时，令_/《)=0得x=ln(-a)-l

在(-oo,ln(-a)-l)上有<0,在(in(-a)-1,+8)上有/4x)>0

/(x)在(-oojn(-a)-l)上是减函数,在(ln(-a)-l,+8)上是增函数

(2)当xzO时，/(x-l)+ln(x+l)>1,BPex+ax+ln(x+l)-l>0(*).

令g(x)+G+ln(x+1)-1(r20)

贝ijg，(x)=e、+士+a(x20).

①若a々-2,由⑴知,当a=T时,〃力=〃-x-1在(-1,一)上是增函数

故有〃x)N/(T=eT"+1-1=1

即/(x)=e"-x-121,得产6+1+1,故有e'zl+x.

(由(1)可判断/N1+X,此不等式为常见不等式，熟记更利于解题)

g'(x)=ex+—^—+a>(x+1)+-^—+a>2j(x+l)----+a=2+a>0

x+1x+1Vx+1

(当且仅当x+l=—!—，即x=0,且a=-2时取等号)

x+\

(根据ex>l+A-及基本不等式可知需对。和-2的大小分类讨论)

.♦・函数g(x)在区间［0,+8)上单调递增，.)(到^(。卜。，；.(*)式成立.

②若。<-2,令p(x)=e、+」7+“

X+1

1h+iW-l

贝lj"(x)=，--一/1J、220，当且仅当x=0时等号成立.

(x+1)-(x+1)

函数3(x)在区间[0,+向上单调递增.

*/0(0)=2+Q<0

=e~a+―--+a>1-4Z+——+a=1+--—>0

\-a\-a\-a

：.3x0e(O,-a),使得3卜)=0

则当Ooe/吐0(x)<0(Xo)=O,即g4x)<0.

.•・函数g(x)在区间(O,x。)上单调递减

(构造函数9(x),对其求导并根据零点存在性定理判断g(x)的单调性)

・•・g(x。)<g(O)=O,即(*)式不恒成立.

综上所述，实数。的取值范围是卜2,+a)).

【点睛】本题主要考查了利用导数分类讨论求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于

中档题.

3.(2022•广东惠州•统考一模)已知函数/'(x)=e'+wsinx-；x2-l(meR).

⑴当m=0吐讨论/(x)的单调性；

(2)若不等式对X€恒成立，求机的取值范围.

【答案】⑴函数/(X)在R上单调递增；

⑵[T+8).

【分析】(1)求得/'(X),再求二阶导数，根据二阶导数的正负判断了'(x)的单调性，从而求得其正负，即

可判断原函数的单调性；

(2)根据(1)中所求，对/'(x)进行适度放缩，对参数"，与-1的大小关系进行分类讨论，利用导数研究

函数单调性和最值，即可证明.

【详解】⑴当加=0时，〃x)=e=gx2-1,则/(x)=e、—x

令g(x)=/'(x),则g'(x)=e*-l

因为x<0时，g'(x)<0；x>0时，g'(x)>0

所以函数g(x)在区间(9⑼单调递减，在(0,+8)单调递增

所以/'(x)=g(x"g(O)=l>O,

所以函数/(x)在R上单调递增.

(2)因为疗(力20对Vxe恒成立，且/(0)=e°-l=0

所以当xe0,^时，有〃x”0；当xe-y,0时，有/(x)*。

由(1)知e'-xNl,所以/'(x)=e、+〃?cosx-xNl+MCOSx

由~W，得cosxe[0』

r

①当tn>-1时，/(x)>1+mcosx>1-cosx>0,

所以函数〃x)在单调递增

所以当xe0,y时，/(%)>./-(0)=0；当xe-y,0时，〃x)v/(0)=0

所以当机2-1时，必1(X"。对Wxe-y.y恒成立.

②当tn<-\时，令〃(x)=/'(x),则〃(x)=e，一加sinx-l

令m(x)=h'(x),则加⑴=ex-incosx

因为rw,有cosxw[0,l],所以"(x)=e*-〃zcosxne”>0

所以函数l(x)在区间单调递增，且有"(o)=e°-l=o

所以当xw-^,0)时，A'(x)<0；当xw(0,5时，/?'(x)>0

所以函数/'(x)在-、,0)单调递减，在卜弓单调递增

因为/'⑼=1+，"<0,7'(-、)=+y>0

所以存在x°e(-1■,())使得/"(％)=0,且xe(x°,0)时，/'(x)<0

所以函数/(x)在区间仇,0)上单调递减，即/(x°)>/(O)=O,

则有x0/(x0)<0与条件0•("？0矛盾，即机<-1不合题意.

综上①②，可得实数m的取值范围是[-1,+8).

【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，以及利用导数由恒成立问题求参数范围的问题；其中解决第

二问的关键是利用第一问中的结论e<-X21对导数进行放缩，同时利用零点存在定理找到当机<-1时的矛盾

点%,也是重中之重，属综合困难题.

4.(2022•广东潮州・统考二模)已知函数〃x)=Inx-£^,aeR.

⑴若函数在区间(0』内单调递增，求实数”的取值范围；

⑵若f"2eR,且4<3求证：产

e1-e2e'+2e-

【答案】(l)(-~,3]

(2)证明见解析

【分析】⑴根据条件将问题转化为3。：+x+4在(0,1]上恒成立问题然后根据函数的单调性求出”的范围;

五_]

(2)根据条件将问题转化为In五(上一成立问题，令”五e(0，D,即3-二<0成立，再利用函数的单

9土+2%f+2

x2

调性证明即可.

(1)

解：因为〃x)=inx-若/的定义域为(0,欣),

所以/'(x)=1-3ax~+(4-3a)x+4

(x+27x(x+2)-

若函数/(x)在区间(0』递增,

则/+(4-3°卜+420在(0,1］上恒成立，

即％q+x+4在(0』上恒成立，

4

则只需3人(—+x+4)mm，

x

令g(x),+x+4,则g，(x)=_g+i=(x+2),2),

X'/fx2

当xw(O,l]时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

4

即g(x)=—+x+4在x=l时取得最小值9,

X

4

所以30v(—+x+4焉=9,

X

所以“的取值范围为(-8,3].

(2)

，2

解：令e"=X[,e=x2,

则6=lnX|,t2=lnx2.

由且得0<玉<々,

所以占一工2<0,0〈土V1,

所以要证-^->7丁成立,

e'-e/2e“+2e'2

ln$-In/1

只需证一!——,

x,-x2玉+2X2

_%-1

即In土<士白，即In土<上一成立即可,

X2x,+2X2X2%+2

令"五e(O,l),则需证in-上1<0,

X2t+2

由(1)可知a=1时，函数/(x)在(0,1)单调递增,

所以/(x)</(l)=0,所以Inr-号<0成立,

”fInx.-Inx,1

所以:丁>E.

【思路点睛】1,一般地，若/(x)在区间(。⑼上可导,且/'(x)>0(/'(x)<0),则在(a,b)上为单调

增(减)函数；反之，若/(x)在区间(。力)上可导且为单调增(减)函数，则/'('"0(/'(幻50开亘成立.

2,对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的

最值，最后由最值的正负得到不等式成立.

5.(2022・广东深圳・深圳市光明区高级中学校考模拟预测)已知函数/(x)=e*-ax+sinx-l.

⑴当。=2时，求函数/(x)的极值点；

(2)当1v”2时,试讨论函数fix)的零点个数.

【答案】(l)x=O

(2)有2个零点

【分析】⑴当4=2时求出了'(X),令〃(x)=/'(x)求得〃'(X),分xw(-8,0］、x£(0,+8)讨论可得单调性

和极值点；

⑵由/'(x)=e*-a+cosx，设g(x)=/'(x),得到g'(x)=e*-sinx,分xw(0,+8),》€(一,-可和工€(-兀,0)

三种情况讨论，分别求得函数的单调性与极值，进而求得结论.

(1)

当a=2时，/(x)=e*-2x+sinx-l,则/'(x)=e*-2+cosx,

令g(x)=ev-2+cosx,贝=e*—sinx.

x

当xe(0,+co)时，e>l,Ag'(x)>1-sinx>0,

/'(x)=g(x)在(0,4W)上单调递增，

."./'(x)>/((0)=0,

•・J(x)在(0,做)上单调递增.

当xe(-oo,0］时，可得eJl,

/'(x)=ev-2+cosxs-1+cosxs0,

••・/(x)在(-8,0］单调递减;

综上，函数/(x)的极值点为x=0.

⑵

当x=o时，/(0)=e°-0-l+sin0=0,.”=0是〃x)的一个零点，

令“(x)=/、’(x)=e*-a+cosx,可得力'(x)=e*-sinx.

因为lwa<2,

①当xe(0,+8)时，e，>l,.」'(x)>l-sinxN0,.•/(x)在(0,+w)单调递增，.•./卜)>/,(0)=2-4>0,

，/(x)在(0,3)单调递增，・•・/(x)>〃0)=0,此时/(x)在(0,+8)无零点.

②当xe可时，-axsn,有/(x)=e*-ax+sinx-1Ne*+兀+sinx-1>0,此时/(x)在(-co,-兀］无零

点.

③当xe(-兀,0)时，sinx<0,A'(x)=e1-sinx>0,.,./'(x)在(-兀,0)单调递增，又尸(0)=2-a>0,

/'(-7c)=e-"-a-l<0,

由零点存在性定理知，存在唯一修«-兀,0),使得/'(x0)=0.

当xe(-7i,x(,)时，/(x)在(-兀,/)单调递减；

当xe(%,0)时，./(x)>0,/⑺在(％,0)单调递增；

又/(-")=尸+叫-1>0,/(xo)</(O)=O,所以/*)在(f,0)上有1个零点.

综上,当IV”2时，/(x)有2个零点.

【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从/(x)中分离

参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通

过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数

的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各

个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

6.(2022•广东广州•校联考三模)已知函数/(x)=e、-“«(aeR).

⑴若/("在(0,+。)上是增函数，求“的取值范围；

⑵若占,％是函数的两个不同的零点，求证：l<X1+X2<21na-ln2.

【答案】0]

(2)证明见解析

【分析】(1)对函数"X)求导，利用导数值恒大于等于0,再分离参数，构造函数并求最值即可作答.

(2)根据给定条件可得X1=ln“+；lnx-x2=Ina+|lnx2,再分别作差、求和分析推理构造函数，利用导

数探讨最值作答.

⑴

(1)函数〃x)=e*-aW,所以/(x)=e*-^^,

①若屋0,则Vx>0都有〃力>0,所以/(x)在(0,+8)为增函数，符合题意.

②若。>0,因为在(0,+8)为增函数,所以Vx>0,〃x”0恒成立,

令0（x）=2y[x-e',

即Vx>0,45恒成立,则”（x）=2e'（石++）>0,

所以函数9(力在(0,+e)上单调递增，p(x)>9(0)=0,所以asO,

这与4>0矛盾，所以舍去.

综上，a的取值范围是(-8,0].

(2)

证明：芭,2是函数/⑺的两个不同的零点，所以铲=。北，e'?=a后,

显然*>0,x2>0,则有玉=ln〃+；lnX],x2=InInx2,

所以X-工2=：lnx,-Inx2=』In—,

222x2

不妨令X|>X2>0,设，=±>1,

t\ntIn/

「是得*=2«_]),/-2”i)-

（r+l）lnz

要证…=可可>1,

只需证In”"二D,即in-亚R>o,令g⑺=Inf一^^~~,z>l,

t+lz+1't+l

贝iJg'（r）」-二工7=¥2%>0,所以函数g（。在（1，+8）上单调递增，

t（r+1）z（z+l）-

所以g0）>g⑴=o,于是得』+巧>1,

又玉+/=2111。+；111（西工2），要证石+x2<2Ina-In2,

只需证;也（再工2）<Tn2,即占马V；，

而中2='，仆,即证‘Jn'）妻vJ即[n/v〃一；即In/+；<0

4（/-1）4（r-l）4y/ty/t

令=+/>1,则"""I__1__==<o,

“t14t2t&2tyft

所以函数2）在（1,+8）上单调递减，

所以〃（，）</!（1）=0,即有X1+X2<21na-In2,

综上，I<%+X?<21na-ln2.

【思路点睛】利用导数证明不等式成立，可以将不等式的一边化为0,对另一边进行构造函数，结合导数研

究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而证得不等式成立.

7.（2022・广东肇庆•校考模拟预测）已知函数/（x）=2x+2r.

（1）讨论函数/（x）的单调性；

⑵若函数/（x）有两个零点芭,，求证：x,x2<l.

【答案】（1）答案见解析.

（2）证明见解析

【分析】（1）求导广（x）=2（e：-“）,再分“V0和。>0两种情况讨论求解即可;

⑵结合⑴得0<”1时，/（X）有两个零点，不妨设出马是函数/（x）的两个零点，进而得=%

ex2

汽2,

再设芭<々,t=x-x>0,进而得上•%=y<l,再等价转化后，构造函数，利用导数证明不等式即

2]l-e2/

可.

【详解】⑴解：函数定义域为R,/5）=2_乌=2匕：二）

当30时，/心）>0恒成立，函数/（X）在R上单调递增;

（半，+°°）时,/心）>0,

当a>0时,吐/'(x)<0,xe

（殍,+8）上单调递增.

上单调递减，在

综上，当。V0时，函数/（X）在R上单调递增;

当a>0时，函数/0）在卜》,殍）上单调递减，在（等,+[上单调递增.

(2)解：由(1)知，若函数/(x)有两个零点不多，

则a>0,且/(殍)=ln“+l<0,即0<a<［时，/(x)有两个零点，

不妨设再，%是函数/(x)的两个零点，

则京=-2x„忘=一2々，两式相除得』)=£,

不妨设3Vx2,设，=々一芭>0,

2，x^-t.ttttQ21Z2e2/

所以e-=k=1一f，七=中，%=中一=中，玉以=77^¥.

人,人21v1vIvIIe1

?e2/1

所以，要证再只需证7；一汴<］，即证：e4,-2e2,-?e2,+l>0,/>0,

(l-e-)

设g(f)=e"-2e"-f2e2，+i,

则g'(f)=4e"-4e"-2(t+*)e*=4e"e2'_1^(

令夕=e"-x-l,x>0,则y'=炉一1,

所以，当x«0,+8)时，y=eY-l>0,y=e'—x—l单调递增，

所以歹=。丫7-1>0,在(o,+8)恒成立，即e'>x+l,x>0,

令〃(/)=e2Jl—；9+£2),

11Q

则〃(r)=2e2'_5(l+2f)>2(2f+l)-5(l+2f)=3f+5>0,

所以，/?(，)在f«0,+8)上单调递增，

所以，咐)>万(0)=0,

所以g'⑺>0在fe(0,欣)上成立，即g⑺在fe(0,+8)上单调递增，

所以g(f)>g(o)=o,即以-2e"-de2'+l>0,f>0.

所以，士*2<1.

t2e21

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设王〈马，设”/-玉>0,进而将得到』仁二『7,2,

再结合要证结论，将问题转化为证明e”-2e2，T2e2、l>0,f>0,再利用导数证明不等式即可.

8.(2023•广东肇庆•统考二模)已知函数/(同=4.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)设a,b是两个不相等的正数,且a+lnb=b+lna,证明:a+b+\nab>2.

【答案】⑴/(x)在(e,0),(0,1)上单调递减；在(1,叱)上单调递增.

(2)证明见解析

【分析】(D先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0,解出x,然后在定义域范围内分析即可.

(2)利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.

【详解】⑴〃x)=?的定义域为(f,0)U(0,+oo),

(>1)尸

/'(x)=

X2

令/'(x)=0,得：x=l,

当x变化时/'(x)J(x)的关系如下表:

X(f,0)0(0,1)1(1,+00)

/'(X)-无意义-0+

/(X)无意义/

/(X)在(9,0),(0,1)上单调递减；在(1,+8)上单调递增.

(2)证明：要证a+6+lnab>2,

只需证：(。+Inb)+他+\na)>2

根据〃+1m=力+m〃，只需证：h+\na>\

不妨设a<b,由〃+Inb=6+Ina得：a-\na=b-\nb；

两边取指数，e"F"=e"F〃，化简得：

ah

令：g(x)=(，则g(a)=g(，)，g(x)=*?—=^(x)，

根据⑴得g(x)在(e,0),(0,1)上单调递减；

在(1,+8)上单调递增(如下图所示),

由于g(M在(0,1)上单调递减，在(1,+©)上单调递增,

要使g(a)=g(6)且小6,

则必有0v4V1,6>1,即0<Q<1<6

由0V4vlvb得：b>1,1—Ina>1.

要证6+lna>l,只需证：b>\-\na,

由于g(x)在(1,+向上单调递增，要证：b>l-lna,

只需证：g(*)>g(l-lna),

又g(a)=g(b),只需证：g(a)>g(l-lna),

只需证：e"e'-|M_:,

)—"

a1-lna1-\na

<,

只需证：e(l-lna)>e,

只需证：匕也>二，

ee

只需证：匕墨-5>0,

即证匕呵一e-“>0,

e

=1lnX-e~\(0<x<l),y>(l)=0,<P(a)=11na

ee

只需证：<P(X)>0,(0<X<1),

,/\1_x11S—吠

0(x)=---+e=---+—=------

exexeex-e

令秋x)=ex-ex,

i

A(l)=O,/I'(x)=e-e<O,(O<x<l),/I(r)在(0,1)上单调递减,

所以碎)>〃(1)=。，

所以“(x)=-三三<0

ex-e

所以。(X)在(0,1)上单调递减，所以夕(x)>>⑴=0

所以>(“)>0

所以：a+b+\nab>2.

【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，

难度相当大，主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间(含参数)或判断函数(含参数)的单调性；

2,求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值(最值)；

4,求函数的零点(零点个数)，或知道零点个数求参数的取值范围；

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，

在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数,

对新函数求导再结合导数与单调性等解决.

9.(2023•广东惠州•统考模拟预测)已知函数〃x)=2x-alnx.

⑴当"1时，求函数P=/(x)的单调区间；

⑵若函数〃x”(a+2)x-xe*恒成立，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴函数/(x)的单调递增区间为5+8),单调递区间为(0,；

(2)ae[0,e]

【分析】(1)利用导数求函数的单调区间；

(2)通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数。的取值范围.

【详解】⑴函数"X)的定义域是(0,成),

当”=1时，/*)=2—一，

X

令八x)>0得所以函数/(x)在；,+4上单递递增；

令"x)<0得所以函数/(x)在上单调递减.

所以函数/(X)的单调递增区间为；，+8),单调递区间为卜,；.

(2)/(x”(a+2)x-xe'恒成立，等价于xe、-aln(xe、”0恒成立,

令f=g(x)=xe*(x>0),

因为g'(x)=(x+l)e，>0恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,即f>0,

所以f(x)>(a+2)x-xe*恒成立，等价于f-alnf>0恒成立

令3)=f-aIn壮>0),问题等价于h(t)>Q恒成立

①若〃=0时，M，)=f>0恒成立，满足题意;

②若a<0时，则所以〃e"=ea-alne"=e0-1<0,不满足题意;

I7

③若。>0时，因为以/)=1-：令，0)=0,得，=a,

，e(0,a),h'(t)<0,Zz(f)单调递减，，e(a,+8),h'(t)>0,力⑴单调递增，

所以力⑺在公。处取得最小值%)=。(1-Ina),

要使得3”0,恒成立，只需〃(a)=a(l-Ina)N0,

解得0<a<e

综上：ae[0,e]

【解法二】/(x)2(”+2)x-xe*恒成立，等价于xe*-a(x+Inx)W0,

令h(x)=xex-a(x+Inx)(x>0)

〃'(x)=(x+-a[1+-j=(x+l/eJ—

kx)Vx

①若a=0时,”(x)=(x+l)e>>0,所以力⑺在(0,+8)上单调递增,

/?(o)=o,即满足xe"-Q(x+lnx)N0,

②若"0时，则-。>0,h'(x)>o,所以〃(x)在(0,+8)上单调递增，

由h(x)=xe'-a(x+Inx)=x(e*-a)-4lnx,

函数y=x(e'-a)(a<0)在(0,小)上单调递增，值域为(0,+8)；函数尸Fnx("0)在(0,”)上单调递增,

值域为

所以上。>0,使得〃(与)<0,不满足题意.

③若a>0时,令"(x)=0,；.a=xe',

令k(x)=e'--,则Mx)在(0,+<»)上单调递增，

X

函数v=在(0,+8)上单调递增，值域为(1,+8)；函数y=?a>0)在(0,+8)上单调递减，值域为(0,+少)；

则我w(0,+oo),左(*=0；xe(0,瓦)，k(x)<0,；xe(x0,+oo))k(x)>0,

所以加e(0,+oo),〃(％)=0,a=x°e\

xe(O,A^),h'(x)<0,6(x)单调递减，xe(x0,+oo),"(x)>0,〃(x)单调递增，

v

只需”(x)min=力卜)=群*-。(Xo+lnxo)=xoe°^-x0-lnx0>0即可，

l-x0-lnx0sO,/.x0+lnx01,

a〃?(x)=x+lnx(x>0),/n'(x)=l+~>0,二加(x)在(0,+co)上单调递增，

x

xv

w(l)=1,二x(,e(0,l]时，x0+Inx0<1,y=xe,/=(x+l)e>0,

所以y=xe'在(0,1]上单调递增，xe'e(0,e],

V,>

即a=xoee(0,e],

综上：«e[0,e]

【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒

成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、

极(最)值问题处理.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论

和数形结合思想的应用.

3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这

种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

10.(2022•广东广州•统考二模)已知函数/(x)=2xlnx-/-〃?x+l.

(1)若加=0,求/(x)的单调区间；

(2)若用<0,0<6<。，证明：21n小

a-ba-b

【答案】(1)单调递减区间为(0,+e),无单调递增区间；

(2)证明见解析.

【分析】⑴求外)的导数/'(x),令秋x)=/'(x),求分*根据析x)正负判断f(x)单调性,根据/'(X)单

调性判断/'(X)正负，从而判断兀0单调性；

-、卬…a+b4ab八d〜a+ba+ba-b人a+b.皿〜,.八,

(2)将21n-----<-----^一加化为21n------<------------------m,令工=---->1,贝!j2xlnx-x~2+1+加工v0(x>l),

a-ba—ba-ba—hQ+6a-b

根据(1)中40单调性即可证明.

(1)

/⑴的定义域为(0,+"),

由于加=0,贝ij/(x)=2xlnx-f+1,/'(力=2111工+2-2,

令力(力=/3,则/(x)=：-2=^^,

当0<x<l时，/(x)>0,/'(X)在(0,1)上单调递增；

当x>l时，用灯<0,/'(X)在(1,+8)上单调递减.

则/'(x)v/'⑴=21nl+2-2=0.

函数/(x)的单调递减区间为(。,+助，无单调递增区间.

(2)

方法一：欲证21n”|一"?，

a-ba-b

l士、十cia+b(a+Z?)2-(a-hf

只要证21n------<二一二7A~4一加

八女a-b(a+b)(a-b)，

口.、十〜a+ba+ba-b

艮证21n------<------------------m.

a—ha—ba+b

令x=-----由于a>6>0,则x>l.

a-b

故只要证21nxvx-'一加，即证2R瓜丫一工2+\+mx<0(x>1).

x

由(1)可知，g(x)=2xlnx-?+1在区间(0,+e)上单调递减，

故x>l时，g(x)<g(l)=0,BP2xlnx-x2+l<0.

由于mvO,x>l,则加xvO.

2x\rvc-x2+l+/nr<0成立.

cia+b4ab

：.2In----<f---r-m.

a-ba2-b2

方法二：由⑴得/'(x)=2hu+2-2x-加在(0,1)上单调递增，

当机<0时，/'(1)=-加>0,

f'^e2J=2^y-lj+2-2e2-m=-2e2<C,

则训,w(O,l),使/'(/)=0,即2ht%+2-2x0-m=O,则机=21n.%+2-2%.

当Ovxvx。时,/'(x)<0,7(x)在(O,x0)上单调递减;

当x0<x<l时，/白)>0,/(x)在(玉”1)上单调递增.

贝=为。]口/_工02_〃?X0+[=况Inx0T^lnx0+2-2r0”

=(%-1》〉。，

「•2xlnx-x2-wx+1>0,

令^——=x,由于0V6VQ,则Ovxvl,

a+b

贝I1近电q一+1>0,

a+ba+b\a+hja+b

.xpm/口~a+bAab

整理得21n----<——-y-m.

a-ba-p

【点睛】本题第一问关键是二次求导，依次通过导数的正负判断原函数的单调性；第二问的关键是注意到

要证的不等式可以化为21n塔■〈当-匕二乡-机，令x=*>i,则化为21nx<x-L-,〃，即

a-ba—ba+ba-bx

2x\nx-x2+\+mx<0(x>1),结合(1)中函数单调性即可证明得到结论.

11.(2022•广东广州•校联考三模)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为尸，且尸与圆加：》2+(尸盯=1

上点的距最小值为4.

（1）求抛物线C的方程.

（2）若点P在圆M上，PA,PB是抛物线C的两条切线，A、8是切点，求,AB面积的最大值.

【答案］⑴》2=_”

⑵20指

【分析】（1）求出抛物线的焦点厂的坐标，利用圆的几何性质可得出关于P的等式，可求得P的值，由此可

得出抛物线的方程；

⑵设点力（再,必）、B&M、尸（线,人），利用导数求出切线4、尸8的方程，可求得直线月8的方程，

将直线"的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，求出|/用以及点P到直线"的距离，求出“48

面积的表达式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最大值.

（1）

解：抛物线C的焦点为巾,-。圆"的圆心为“（0,4）,半径为1,|叫=4+3

所以，且尸与圆M上点的距最小值为|MF|-l=3+5=4,解得2=2,

因此，抛物线。的方程为犬=-4），.

⑵

解：对函数了=-《求导得了=-，设点&国,"）、、尸（X"。），

42

所以，直线P/的方程为yf=4（x-xj,即阳x+2必+2y=0,

同理可知直线PB的方程为x2x+2y2+2y=0,

,,xnx+2y,+2yn=0

因为点P为直线尸PB的公共点，贝IJ°'「/n,

岛9+2%+2%=0

所以，点A、B的坐标满足直线方程/x+2y+2%=0,

所以，直线N8的方程为x°x+2y+2%=0,

叱士1°x+2y+2%=02

联乂彳，可得x-2房-4%=0,

x2=-4y

由x；+(%-4『=1可得3，%<5,所以A=4x；+16%>0,

由韦达定理可得再+=2x0,=-4%,

所以，|明=+字.J(X|+々)2_4再々=J(4+x；)(x；+4%),

|x；+4y\

点P到直线AB的距离为d=1,•0()|,

&+4

Ii2

所以,5旷,3=5网4=]1；+%))2,

令/=片+4%=仪+12%-15=-(%-6)2+21412,20],

所以，A218面积的最大值为:x20痴=20J?.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

12.(2022•广东汕头•统考一模)已知函数/(x)=(x-l)e，-ax(aeR且。为常数).

(1)讨论函数/(力的极值点个数；

⑵若/(021门-^+1对任意的"(0,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵awl

11八

【分析】⑴求得/'("=把、-。分〃W——、——<a<0aNO三种情况讨论，作出函数V=。与函数

ee

A(x)=xev的图象，数形结合可得出函数/(x)的极值点的个数;

(2)由参变量分离法可知awe*-21对任意的xe(O,+8)恒成立，利用导数结合隐零点法求出函数

X

产(x)=e'-国=它在其定义域上的最小值，即可得出实数。的取值范围.

(1)

解：函数/(x)的定义域为R,则/'(x)=m*-a.

令g(x)=xe*-a,则g'(x)=(x+l)e*,由g1x)=0,可得尸-1,列表如下:

9-1)-1(-L+OO)

g'(x)-0+

1

g(x)减----a增

极小值e

所以，g(x)min=g(T)=T-%

①当」-ONO时即当aw」时，对任意的xeR,/(x)20且尸(x)不恒为零，

ee

此时函数/(X)在R上单调递增，则函数/(X)无极值点；

②当时，令/((x)=xe",则"(x)=(x+l)e*,由〃(x)=0,可得尸-1,列表如下:

e

X(9,-I)-1(-1+OO)

A'(x)-0+

力⑴减增

极小值e

且当x<0时,h[x)=xsx<0；当x>0时，h(x)=xex>0.

作出函数〃(x)与函数y=。的图象如下图所示：

(i)当时，直线N=a与函数〃(力的图象有两个交点,

e

设这两个交点的横坐标分别为々、x"且芭

由图可知，当XVX[或1＞与时，f(x)=xex-a＞0；当王＜》＜超时，f\x]=xQx-a＜0.

此时，函数/(X)有.2个极值点;

(ii)当aNO时，由图可知，直线>=〃与函数A(x)的图象有一个交点，设其横坐标为%,且与N0,

当xvx。时，,r(x)=xe'-a<0；当x〉/时，,f'(x)=xe，-a>0.

此时函数/(X)只有1个极值点.

综上所述，当a*-1时，函数/(x)无极值点；

e

当」<a<0吐函数/(x)有2个极值点；

e

当aNO时，函数/(x)只有1个极值点.

(2)

解：不等式/(x”lnx-e*+l对任意的xw(O,+8)恒成立，

等价于xex-lnx-l>ax对任意的xe(0,+oo)恒成立，

所以，awe、-电四对任意的xe(O,+8)恒成立，

X

令尸(x)=e、-曲五L其中x«0,+<»),则F(x)=e，+吗=、%：叫

XXX

令0(x)=x2ex+Inx,其中xe(0,+00),则“(x)=(x2+2x)ex+->0对任意的XG(O,+OO)恒成立,

所以，函数3(x)在(0,+e)上单调递增，

因为=2_]<03(l)=e>0,故存在te使得/(/)=de'+lnf=O,

当Ovxvf时,F(x)<0,此时函数尸(x)单调递减,

当x>/时，F(x)>0,此时函数尸(X)单调递增，

所以，尸(xL="f)=e‘一曲>，

因为“e」ln,，则汨=-早=一13”，因为/egl),则-lnfe(0,l),

因为函数〃(x)=xe，在(O,+e)上单调递增，

由汨=-lnf.e-'"可得〃⑴=〃(-ln/),故f=—lnr,可得e'=；,

所以，F(x)=F(/)=ef-ln/+1=--=1,li^a<\.

、/min'f,{1

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，