2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的“设而不求”含答案

2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的“设而不求”

一、考情分析

研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题，是圆锥曲线中的一个重要内容，其特点是代数的运算

较为繁杂，许多学生会想而不善于运算，往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰

当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.

二、解题秘籍

(-)“设而不求”的实质及注意事项

1.设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和

整体思想的应用.设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数,

利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡,设而不求.

2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到:①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题

的，都尽可能实施“设而不求”;②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多.

3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消

去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题;二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，

设出直线的方程，再通过运算消去.

【例1】(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆。:£+£=l(a>b>0)的长轴长为4,在「

用为。的左、右焦点，点P(如仇)(仇力0)在C上运动，且cosZ^P^的最小值为y.连接PR,并延长

分别交椭圆。于M，N两点.

(1)求C的方程；

(2)证明：俣幽+攀”上为定值.

^OF2N

【例2】（2023届江苏盾连云港市商三上学期10月或考）已知椭圆中有两顶点为4（-1,0）,3（1,0）,一个焦点为

F（0,l）.

（1）若直线I过点R且与椭圆交于C,。两点，当\CD\=衅:时,求直线I的方程：

（2）若直线，过点T（0,£）（t#0）且与椭圆交于两点，并与加轴交于点P,直线4。与直线BC交于点

Q,当点P异A,B两点时，试问前•的是否是定值？若是,请求出此定值，若不是,请说明理由.

（二）设点的坐标

在涉及直线与圆锥曲线位置关系时，如何避免求交点，简化运算，是处理这类问题的关键，求解时常常设

出点的坐标，设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性（条件）建立关系

（方程）.显然，这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的，在具体解题中是通过“设而不求”与“整体

消元”解题策略进行的.

【例3】(2023届湖南省郴州市南三上学期质量裁测)已知椭圆E：1+m=l(a>b>0)的离心率为誓,过

坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点，其中P在第一象限，过P作立轴的垂线，垂足为。，连接AC.当

C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为四.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若8为力。的延长线与椭圆E的交点，试问：NAPB是否为定值，若是，求出这个定值;若不是，说明理

由.

【例4】(2023居江苏店南通市如皋市赤三上孕期期中)作斜率为的直线I与椭圆C：苧+'=1交于

两点，且当2)在直线I的左上方.

(1)当直线，与椭圆。有两个公共点时，证明直线Z与椭圆。截得的线段AB的中点在一条直线上；

(2)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.

(三)设缄

在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程，因为动直线方程不确定，需要引入

参数,这时常引入斜率、截距作为参数.

【例5】(2022届湖南省英阳市苗三上学期月考)已知椭圆C：5+素=l(a>b>0)的左右焦点分别为瓦用,

其离心率为乌,P为椭圆。上一动点,面积的最大值为《.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过右焦点月的直线，与椭圆。交于两点，试问:在7轴上是否存在定点Q,使得•至为定值？

若存在，求出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.

(四)中点弦问题中的设而不求

与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P&,幼)，Q(g,他)代入圆锥曲线方程作差，得到关于

以二丝，刈+出,％+统的关系式，再结合题中条件求解.

一电

【例6】中心在原点的双曲线E焦点在。轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面

问题：

①该曲线经过点力(2,3)；

②该曲线的渐近线与圆22一82+娟+4=0相切；

③点P在该双曲线上,E、居为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为9时，恰好PF[±PF2.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)过定点Q(l,l)能否作直线I,使Z与此双曲线相交于Qi、Q?两点,且Q是弦QiQ?的中点？若存在,求

出Z的方程;若不存在，说明理由.

三、限踪检窝

1.(2023居河南唐洛平许济商三上学期质量检测)已知椭圆。点■+’=l(a>b>0)的右焦点为F,离心

率为■，上顶点为(0,V3).

(1)求椭圆。的方程；

⑵过点F的直线Z与椭圆。交于P,Q两点，与"轴交于点M,若加=4河,血=〃甘，判断4+〃是

否为定值？并说明理由.

2.(2023居江百看南曷市金太阳商三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆。:营+%=l(a>b>0)

的左顶点为月，过原点。的直线(与坐标轴不重合)与椭圆。交于P,Q两点，直线PA,QA与9轴分别交

于两点，当直线PQ的斜率为号时，|PQ|=2/.

(1)求椭圆。的方程.

(2)试问是否存在定点T,使得NMTN=90°恒成立？若存在，求出定点T的坐标;若不存在，说明理由.

3.(2023届黑龙江省大庆线人中学方三上学期月才)已知椭圆r=l(a>b>0)的离心率为y,椭

2

圆的短轴端点与双曲线手7=1的焦点重合，过点F(4,0)且不垂直于0轴的直线，与椭圆相交于A,B

两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若点B关于立轴的对称点为点E,证明:直线AE与，轴交于定点.

22

4.(2023届江西瘠♦州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联才)已知双曲线C：气一方=1经过点

(2,-3),两条渐近线的夹角为60。,直线Z交双曲线于4B两点.

(1)求双曲线。的方程.

(2)若动直线/经过双曲线的右焦点用，是否存在立轴上的定点M(a,0),使得以线段AB为直径的圆恒过

M点?若存在，求实数小的值;若不存在,请说明理由.

5.(2023届内米古自治区赤蜂市商三上学期月才)平面内一动点P到定直线c=4的距离，是它与定点

F(l,0)的距离的两倍.

(1)求点P的轨迹方程。；

(2)过F点作两条互相垂直的直线。，为(直线h不与x轴垂直).其中，直线(交曲线。于A,B两点，直线12

交曲线。于E,N两点，直线为与直线H=7n(m>2)交于点若直线MB,MR,M4的斜率kMB,kMF，

心《构成等差数列，求馆的值.

6.(2023届稻建省福州华侨中学高三上学期才试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线。=],

点M到I的距离为d,若点M满足|MF|=2d,记”的轨迹为C.

(1)求。的方程；

(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与。交于P,Q两点，设4—L0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点

A.

7.(2023居河南省安府市商三上学期10月月才)已知椭圆M：/+/=l(a>b>0)的左、右焦点分别为

回，凡，国£|=2,面积为竽的正方形ABCD的顶点都在M上.

(1)求河।的方程；

(2)已知P为椭圆M：卢r+:&=1上一点，过点尸作M的两条切线6和勾，若6，勾的斜率分别为岛，后,

2a-2b'

求证：k也为定值.

22

8.(2023居浙江瘠淅里卷天下高三上孕期10月测试)已知同分别为椭圆。专+方=l(a>b>0)的左、

右焦点，过点四(一1,0)且与多轴不重合的直线与椭圆。交于4B两点，月的周长为8.

(1)若△ABE的面积为专2，求直线AB的方程：

⑵过两点分别作直线c=-4的垂线，垂足分别是E,F,证明：直线EB与4R交于定点.

22

9.(2023居江苏看南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线r：^--1r=l(a>0,b>0)的焦距为4,

且过点P(2,空)

(1)求双曲线「的方程；

(2)过双曲线「的左焦点F分别作斜率为用，向的两直线4与g直线A交双曲线「于AB两点，直线Z.2交

双曲线「于C,。两点，设M,N分别为AB与CD的中点，若%e=T，试求4OMN与△FMN的面积之

比.

2Q?

10.(2022届北京市海淀区龙三上学期期末)已知点40,—1)在椭圆。：专+方=1上.

(1)求椭圆。的方程和离心率；

(2)设直线2：a=Mz-D(其中与椭圆。交于不同两点E，F，直线4E,A尸分别交直线7=3于点

M,N.当△⑷W的面积为3V3吐求k的值.

.)2

11.(2022届天津市第二中学高三上学期12月月才)已知椭圆点+方=1(&>6>0)的长轴长是4,且过点

3(0,1).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线k沙=乂2+2)交椭圆于P,Q两点，若点3始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围.

9

12.(2022届广东居华南岬篦大学附属中学高三上学期1月模构已知椭圆。吟+g=l(a>b>0)的右顶

点与抛物线Q：婿=2pMp>0)的焦点重合，椭圆G的离心率为十,过椭圆a的右焦点F且垂直于x轴

的直线截抛物线所得弦的长度为4V2.

(1)求椭圆G和抛物线G的方程.

(2)过点4—4,0)的直线Z与椭圆G交于M,N两点，点河关于c轴的对称点为E.当直线I绕点A旋转

时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论.

13.(2022居河北看商三上学期看做联测)已知椭圆P焦点分别是尸1(0,一四)和田(0,4),直线片遍与椭

圆P相交所得的弦长为L

(1)求椭圆P的标准方程；

(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△43。的

重心,求△A3。的面积.

14.(2022届广东盾佛山市南三上学期期末)已知双曲线。的渐近线方程为9=±苧2,且过点P(3,2).

(1)求。的方程；

(2)设Q(l,0),直线。=i(t6R)不经过P点且与C相交于AB两点,若直线BQ与。交于另一点。,求

证:直线AD过定点.

15.(2022届江苏省挂城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线。:5—菅=l(a,b>0)的右顶点为A,虚

轴长为蓼,两准线间的距离为莘.

O

(1)求双曲线。的方程；

(2)设动直线，与双曲线。交于RQ两点，已知AP±AQ,设点A到动直线I的距离为d,求d的最大值.

16.(2022届浙江居普通高中锻暮耗一高三上学期统测)如图，已知椭圆G：亨+¥=1,椭圆G普+苧=

1,4(一2,0)、3(2,0).。为椭圆。2上动点且在第一象限，直线P4、P3分别交椭圆G于E、F两点，连接

EF交工轴于Q点.过B点作3H交椭圆G于G，且BH//PA.

⑴证明：心广心。为定值：

(2)证明直线G尸过定点，并求出该定点；

(3)若记P、Q两点的横坐标分别为如、xQ,证明：窈项为定值.

17.(2022届湖北省昔高考展才博作体高三上学期12月联考)已知圆。：/+力=2,椭圆C：5+£■

的离心率为乎产是。上的一点,4是圆。上的一点,|PA|的最大值为伤+血.

(1)求椭圆。的方程；

(2)点M是。上异于P的一点,与圆O相切于点M证明：\PO\2=\PM\-\PN\.

18.已知双曲线C：弓---4—l(a>0,6>0)的实轴长为8,离心率e=[".

ab4

(1)求双曲线。的方程：

(2)直线，与双曲线。相交于P,Q两点，弦PQ的中点坐标为4(8,3),求直线I的方程.

B）雄曲线中的“设而不求”

一、考情分析

研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题，是圆锥曲线中的一个重要内容，其特点是代数的运算

较为繁杂，许多学生会想而不善于运算，往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰

当使用“设而不求”的策略，可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.

二、解题秘籍

（一）“设而不求”的实质及注意事项

i.设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和

整体思想的应用.设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数,

利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡,设而不求.

2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到:①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题

的，都尽可能实施“设而不求”;②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多.

3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消

去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，

设出直线的方程，再通过运算消去.

【例11（2023居山西盾柱汾市等联才商三上学期期中）己知椭圆C：专+£=l（a>b>0）的长轴长为4,Flt

用为。的左、右焦点，点P（小仇）（"0）在C上运动，且cos/RFK的最小值为y.连接PR,P片并延长

分别交椭圆。于M,N两点."

（1）求。的方程；

（2）证明：俣以+善上为定值./

S^OMFiS^OF2N

【解析】（1）由题意将。=2,

设启鸟|的长分别为m,n,m-^n=2a=4

则”朋=叫痣（m+n）2-4c2—2mn

■y—1=丝—1,当且仅当m=n时取等号,

（m产）2/二…

从而丝—]=）,得与=斗,fe2=3,

arzQ-4

92

则椭圆的标准方程为与+4-=1;

⑵由⑴得回（-1,0）,网（1,0）,

设2（船,幼），N（g,他），

设直线PM的方程为工=电生沙一1,直线PN的方程为7=

9+1,

犬*尤=

一9需一9-瑞一3鬲

则为阴=

3（例+1）23（而+1尸+4必3麓+4编+6网+32%+5

9r4

.u二-3涣

"y,2而+5'

同理可得.恚

s△叽S&OPN*。盟明

所以----------1-----------=----------------

SAMSAOEW±|O^||y,|

'yo,y。[।[=13

-3%—3y&3

I2x(i+55—2x()>

SZSAOPR.SM)PN上户.]七13

所以下----+p-----为定值—

^△OAfFj-OF小J

【例2】（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为4（-1,0）,6（1,0）,一个焦点为

F（0,l）.

（1）若直线I过点F且与椭圆交于。，。两点，当\CD\=挈时,求直线I的方程；

（2）若直线1过点T（0,£）（t#0）且与椭圆交于。，。两点，并与z轴交于点P,直线A。与直线BC交于点

Q,当点P异A,B两点时，试问前•的是否是定值？若是,请求出此定值，若不是,请说明理由.

【解析】（1）椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为+yr=l（a>b>0）,

arb

由已知得6=1,c=l,所以a

9

椭圆的方程为g+/=1,

当直线Z与工轴垂直时与题意不符，

设直线/的方程为y=kx+l,C（xbyi）,D（g,纳），

将直线，的方程代入椭圆的方程化简得（炉+2）/+2kr—1=0,

则…=-f

•e-ICD\=V1+k?•J（力i+g）2—4为g=V1+k2-J+4•工二歹=2f"=岑?,解得

FC=±A/2.

/.直线，的方程为y=±\/2x+1;

⑵当，/轴时，AC//BD,不符合题意，

当/与n轴不垂直时，设=+K则F（—1；,0）,

y=kx+1

2222

设（7（如劭），。（如如），联立方程组（9y（2+fc）x4-2ktx-I-f—2=0,

①+号=1

.,2ktt2-2

・・+3b=——----rr,勿1»）=-----ry,

2+fc22+奴

又直线4。：夕=1"当了3+1）,直线3。：y=--^（x-l）,

%2十[1]]

由厂守(E)可得辞丑+1)=为(LD,即答*+D=解芋(…),

(kx2+t)(a;j—()3+1)=(fcti+t)(3?2+1)(1—1)，

(人力烟—kx2+tXi—t)(x+1)=(kXiX-2+kxi+切2+(重—1),

[k（Ni+g）+£（g—电）+2t]x=2kx}x>-k（x>—xj+t（1i+g）,

k•二?：2+±（色一孙）+2zlx=2k•:mz-Mg-刈）+£•既2，

£tKt」Z।A?N十AC

-4k

君+-%）卜二一k（g-为），即方2+（g—%）]立=-q3+（gi）],得a

2+k?

k_

7，

••・Q点坐标为Q（一■1，W）,

.-.OP-OQ^（-1.O）-（一冬火）=•（4）+0做=1,

所以OP,OQ=1为定值.

（二）设点的坐标

在涉及直线与圆锥曲线位置关系时，如何避免求交点，简化运算，是处理这类问题的关键，求解时常常设

出点的坐标，设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性（条件）建立关系

（方程）.显然，这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的，在具体解题中是通过“设而不求”与“整体

消元”解题策略进行的.

【例31（2023届湖南盾郴州市方三上学期质量量测）已知椭圆E：《+$=l（a>b>0）的离心率为坐，过

坐标原点O的直线交椭圆E于P,4两点，其中P在第一象限，过P作工轴的垂线，垂足为C,连接AC当

C为椭圆的右焦点时，八?/1。的面积为2.

⑴求椭圆石的方程；

（2）若8为4。的延长线与椭圆石的交点,试问：NAPS是否为定值，若是，求出这个定值;若不是，说明理

由.

【解析】（1）椭圆离心率e=-^=¥^,c2=-ya2,则b』/一・5/

当。为椭圆右焦点时，|PC|=^=}a;

•••SzjjMcuZSapocuZxjc・《a=解得：a2=4,：,b2=2,

ZZZ4

o2

工椭圆E的方程为:号~+与=1.

⑵由题意可设直线力P：g=kc（k>0）,F（的,fcrj,夙孙幼），

则A（-x-kx）,。（），k=

0f030,AC囚）+y,二直线AC：y=

寺（2一的）;

y=-y（x-x（,）

由.少■»得：（k2+2）/—2k%居+上2福一8=0,

x'-,y_]

丁+五一1

2k2x（）.2k2%o

・•・一为+的=总工2，则电=+6,

奴+20

23

,_k（xA：/2k2m-（2kx0fcx\

••夕i-彳⑶—工°）—"2'\^.22十%（）一D+厮¥7o1）；

好+2'I炉+2

•••两=（豁，一港），又港=（一2g「2上），

\Ar+2fc-H-2/

：.PA-PB^—2g•+（-2te）•=0,则/<4J_PB,

rvIZ0十/

AAPB为定值90".

【例4】（2023居江苏盾南通市如皋市寄三上季期期中）作斜率为1的直线I与椭圆C：与+普=1交于4B

两点，且P（2,挈）在直线/的左上方.

（1）当直线，与椭圆。有两个公共点时，证明直线/与椭圆。截得的线段AB的中点在一条直线上；

（2）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.

q

【解析】⑴设4（电,劭），33,例），A3中点坐标为（厮物）,AB:y=^x+m

武+之=1

439,得9"++2m2-18=0,得A=（6m）2-4x9（2m2—18）

y=+m

n

>0,得m?V18,由韦达定理可知为+g=一^^,x}x2=③9"，所以小+如=-1-^i-Fm++m=

r_m

Q期）-qo

'y（21+g）+2m=m,所以<，化简得：涣=一字如，所以线段AS的中点在直线y=一半r上.

1%=号22

3血3V2

yi9y-2-2~~仅一2

⑵由题可知产只，P8的斜率分别为k=丁,k=―后-,所以kpA+kpB=+

PAPl3g—“2Xj-V2

为一制2（小_制2）（电一0）+（明一百2）（皿一方）33

------k=-----------------后~~匕三----------，因为"=^X\+m,y-,=^x-2+m得kPA+kPB

g—M2X\X2—v2（X]+arj4-2/乙

311g+（m—3V2）+ii）—2V2m4-6

X\Xi一V2（X|+X\）+2

由（1）可知为+12=一当"/避2=27nlc—,所以k/3+kpi3=

在直线2的左上方，所以

Z.APB的角平分线与y轴平行，所以△PAR的内切圆的圆心在a;=V2这条直线上.

（三）设#»

在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程，因为动直线方程不确定，需要引入

参数,这时常引入斜率、截距作为参数.

[^151（2022届湖南霍JL阳市高三上学期月#）已知椭圆。:鑫+左=l（a>b>0）的左右焦点分别为此心

其离心率为坐,P为椭圆。上一动点,△EPE面积的最大值为四.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过右焦点F2的直线I与椭圆。交于43两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得QA-QB为定值？

若存在，求出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.

【解析】⑴设椭圆C的半焦距为c,因离心率为乎，则/■=手，由椭圆性质知，椭圆短轴的端点到直线

月月的距离最大，

则有（S^p^）,nax=-1--2c-b=fee,于是得bc=J5\又。2=〃+，2,联立解得Q=2,b=l,c=，^,

r2

所以椭圆。的方程为：—+?/-=1.

（2）由（1）知，点用（一,0）,

当直线斜率存在叱不妨设l：y=fc（x—仇），

由卜牛，/，消去g并整理得,（］+以2谬一+12k2—4=o,Ci+0i=R"3，Ng=

I①-+4g/=4l+4fc-

12k2-4

1+4/'

假定在x-轴上存在定点。满足条件，设点Q（KO）,

则QA•QB=（e—t）（x2一±）+y\y）=。避2—±3+g）+,+融（电-A/3）（x2—V3）

=（1+k2）xixi-（V3fc2+1）（N［+xj+y+3k?=（1+fc2）,,—（V3fe2+1）•&瓜卜+/+3fc2

1+4fc-14-4fc-

_（4t2-8V3t4~ll）fc2-I-12-4

~~1+4股，

2

当f2_4=4t-8V3t+ll即6=挈时,方=/一4=一导，

4o04

当直线，斜率不存在时，直线，：工=-V3与椭圆。交于点A8由对称性不妨令4",4）,B（倔一4）,

当点Q坐标为（岑&,0）时,（一§,5）,怎=（一噜■,-5）,QX・Q^=（一令，4）.（一寻，一4）

=_13

~~64,

所以存在定点Q（啥,0）,使得@5•◎行为定值一普.

（四）中点弦问题中的设而不求

与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P⑶,加），Q（如如代入圆锥曲线方程作差，得到关于

义二五，电++他的关系式,再结合题中条件求解.

X［一力2

【例6】中心在原点的双曲线E焦点在劣轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面

问题：

①该曲线经过点4（2,3）；

②该曲线的渐近线与圆/—8。+娟+4=0相切；

③点P在该双曲线上，片、居为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为y时，恰好PR±PF2.

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）过定点Q（l,l）能否作直线I,使Z与此双曲线相交于Qi、Q?两点,且Q是弦Q©2的中点？若存在,求

出Z的方程;若不存在，说明理由.

【解析】（1）设双曲线E的标准方程为M-萼=l（a>b>0）.

Q-O-

选①：由题意可知，双曲线后的两个焦点分别为E（—2,0）、凡（2,0）,

22

由双曲线的定义可得2a=\\AF}\—\AF2\\=|A/44-3-3|=2,则a=1,七攵b=Yd”一心=/,

所以，双曲线E的标准方程为小一去=1.

选②：圆/—8©+婿+4=0的标准方程为（1一4）2+娟=12,圆心为（4,0）,半径为2/5,

4b

双曲线E的渐近线方程为y=±立c,由题意可得一了一曳，丁=2/W,解得包=心,

0Jl+但）

即b=V3a,因为c=va2+b2=2Q=2,则Q=1,b=V3,

2

因此，双曲线E的标准方程为©2—4-=1.

KJ

选③:由勾股定理可得|产EF+|P剧2=女2=16=仍列一|P理F+2|PE|•|P同=4〃+2|尸同•|P同,

所以,|PE1|P玛|=2（c2—a2）=2b2,则S阻肛=•|刊引=/=/x方x4,则b=V3,故<1=

Vc2-62=1,

2

所以，双曲线后的标准方程为①2—4~=1.

o

⑻+%2=2

（2）假设满足条件的直线/存在，设点a（跖幼）、Q?（出演），则

汕+仍=2

由题意可得卜3,1,两式作差得（的一g）（电+3=2）=（仍—吗物+佻）,

【诚-号=1

所以，直线/的斜率为k=—~—=3,所以，直线，的方程为y—1=3（rr—1）,即y=3工一2.

Xj-X-2

y=3x—2

2

联立《9V，整理可得6"—126+7=O,A=122—4X6X7V0,

rT=1

因此，直线/不存在.

三、跟踪检涮

1.（2023居河南霍洛平许济商三上学期质量检测）已知椭圆。:5+m=l（a>b>0）的右焦点为F,离心

率为■，上顶点为（0.V3）.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点F的直线Z与椭圆。交于P,Q两点，与y轴交于点M,若称=入即，破=〃Q声，判断4+〃是

否为定值？并说明理由.

b=V3（a=2

【解析】⑴由题意可得卜=3=}，解得Q=®

a2=&2+c21c=l

故椭圆。的方程耳+邛=1.

4o

（2）1+〃为定值一I-,理由如下：

由⑴可得9（1,0）,

由题意可知直线I的斜率存在,设直线z：沙=k（①一1）,。（如幼）,Q（N2，?/2）,则M（o,—fc）,

y=k（x—1）

联立方程（/才，消去g得（4/^+3）/—8k%+4奴—12=0,

IT+T=1

则△=（一8奴）2—4（4炉+3）（4炉一⑵=144（后+1）>0,%+g=呼，电%二T，

4fc~+34k+3

MP=（.Xi,y}+k\PF=（l-xlf-y1\MQ=（x2fy2^-k\QF=（1-%-纳），

•.•而5=师，砺=〃辆则卜”d，可得，;刈，

32=〃（1一42）〃=的

I"1-X2

蝴2（4，一⑵

%2（4+的）-2，遇2=4k2+34奴+3

/I+〃=4-=一申定值）.

l—Xi1—g1—（Xi+x-y）+XiX-y]_8k’,4fc2—12

-4-+34-+3

22

2.（2023居江段看南曷市会太阳高三上学期10月联考）如图，长轴长为4的椭圆。:和+*=l（a>b>0）

的左顶点为A,过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆。交于P,Q两点，直线PA,QA与夕轴分别交

于M,N两点，当直线PQ的斜率为号时，|PQ|=2/.

（1）求椭圆。的方程.

（2）试问是否存在定点T,使得ZMTN=90°恒成立？若存在，求出定点T的

坐标;若不存在，说明理由.

22

【解析】（1）由题意可知2a=4,a=2,则椭圆方程。:芸+?7=l（a>b>0）

a~b~

x1y2

即拳+言=1,

当直线PQ的斜率为学时，|PQ|=2一,

故设P（3,Xp+（^^雨）=3，解得%=2,

将P（如哈姆代入+3=l得普+券j即看+景j

-y2

故b-=2，所以椭圆的标准方程为T彳+卞=1；

（2）设P（w,劭），的E[—2,2],则Q（一厮一物），

则与+粤=L・••曷+2蟾=4,

92

由椭圆方程?+q=1可得4~2,0）,/.直线PA方程为：y—吆。（力+2）,

4ZX（）十/

令户。可得“（0,含），

直线QA方程为：y=―丝方（。+2），令1=0得N（0,一乌,

x（i一乙'x（i-/

假设存在定点T,使得2MTN=90°,则定点T必在以MN为直径的圆上,

16瑞

以MN为直径的圆为一+（y--2：出：

\341-4一（就一4尸，

日。2I24电）网4g6

即炉+才一___-y-h——-=n0,

而一4伤一4

・・•就+2褶=4,即曷-4二一2甚

:./+才+—2=0,

l/o

令g=0，则/一2=0，解得i=±V2,

・・・以MN为直径的圆过定点（±2,0）,即存在定点T（土方,0）,使得乙MTN=90°.

221

3.（2023届黑龙江省大庆筑人中学方三上学期月才）已知椭圆。专+卷=l（a>b>0）的离心率为堂，椭

2

圆的短轴端点与双曲线等一i=i的焦点重合，过点p（4,o）且不垂直于2轴的直线，与椭圆相交于

两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若点B关于立轴的对称点为点E,证明:直线AE与立轴交于定点.

【解析】(1)由双曲线等-d=i得焦点(0,±-)，得b=

7)=V3

由题意可得,解得a=2,c=],

6=且=4

Ia2

故椭圆。的方程为；+日~=1.

4«j

(2)设直线l：y=k(x-4)，点A(勤，幼),8(物统),则点后㈤,一%).

=—4)

/娟_,得(4fc2+3)/—32收1+6狄2—12=0,A=(32fc2)2-4(4fc2+3)(64好一12)>0,解得

丁+亍=1

--I"Vk〈十，

“匚，32收64k2-12

从而为

直线AE的方程为y_y、=助+"(z一皿)，令y=0得工=,

斯—x2幼+V1

又,•*V\=—4),y-2—fc(x2—4),

22

?64fc-12432fc

22

nI加E](g-4)+kg(Z]—4)2gg—4(为+g)日「4fc+34fc+31

则0=而「4)+机厂4)=⑶+电)一8'即,二--------法「------=1，

4^3-8

故直线AE与w轴交于定点(1,0).

„2”2

4.(2023居江西省♦州厚稳外国语学校、丰城中学方三上学期10月联考)已知双曲线叫-匕=\经过点

(2,—3),两条渐近线的夹角为60°,直线/交双曲线于AB两点.

(1)求双曲线。的方程.

(2)若动直线Z经过双曲线的右焦点用，是否存在立轴上的定点河(山,0),使得以线段AB为直径的圆恒过

M点?若存在，求实数m的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)：两条渐近线的夹角为60°,/.渐近线的斜率±a=+V3或土噂^,即h=V3a或.b=

ClOJ

2

当b=V3a时，由二一2=1得：a'2=i,〃=3,.•.双曲线C的方程为：/一/=]；