第八章4讲直线与圆位置关系

第4 [学生d为圆心(a，b)l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的Δ.11O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2(r1122O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r22dr1，r2

l(1)几何法rdl，则2＝r2－d2.＝＝注意习题改编直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( C．直线不过圆心，但与圆相 若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为 A．－1或 B．1或C．－2或 D．0或

2

2 [解析]圆心(a，0)x－y＝22

，则

22a＝04，圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－ D．x－ [解析]P在圆上，Q的坐标为

-

3，k＝33y－3＝33x－若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数 解析]圆C1的圆心是原点00半径1＝1圆心C234半径2＝ 25－由两圆外切得C12＝＋2＝1＋ 25－＝所以＝9.[答案5．(2015·高考湖南卷)3x－4y＋5＝0x2＋y2＝r2(r>0)A，B∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则 [解析]如图过点O作OD⊥AB于点D，则 因为所以所以|OB|＝2|OD|＝2，r＝2.[答案]2直线与圆的位置关系[学生 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关 B．相C．相 (2)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围 A．[－3， B．(－3，— 3—

3

— 3，3 3，3—【解析 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外＝a2＋b2＞1，Oax＋by＝1＝

＝(2)y＝k(x－4)，kx－y－4k＝0，l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公d小于或等于半径k≤所以d＝|2k－4k|≤1，解得－ 3.k≤

3 【答案 若将本例(1)M(a，b)O：x2＋y2＝1ax＋by＝1O 1，O

1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( C．相 [解析]法一由 l ＜1＜5，故直线l与圆相交法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．个数为 [解析]

与圆相交，由数形结合知，13圆与圆的位置关系[学生 (1)(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B．相C．外 已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大 2393

【解析 得两交点为M2所 a2＋（－a）2＝22.又a>0，所以Mx2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，M(0，2)，又圆N(x1)2(y1)2＝1圆心N(11)半径r2＝1所以|MN|（0－1）2＋（2－1）2＝2.r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，(2)由圆C1与圆C2相外切，可

9a＝b时，【答案

1．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有 B．2C．3 D．4[解析]C1(－1，－1)，r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，C2(2，1)，所以 （－1－2）2＋（－1－1）2＝d＞r1＋r2，所以两圆外离，4点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 [解析]由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO，AO

中，(25)2＋(5)2＝m2，

25× 1[答案

(1)(2015·高考重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程 若|AB|＝23，则圆C的面积为 【解析 (1)因为以原点O为圆心的圆过点2因为kOP＝2，222

2x－y＋2a＝02

2＋(3) 2a2＝2，C2，C2【答案 ll的距离等于半径，l相交的情形：①l的距离小于半径，ll角度一 平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是 A．2x＋y＋5＝0B．2x＋y＋5＝02x＋y－C．2x－y＋5＝0D．2x－y＋5＝02x－y－[解析]设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝|c|＝52x＋y＋5＝0角度二 a，b，c是△ABCcsinC＝3asinA＋3bsinB－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为 66 66 [解析]因为a＝b＝sin sin sincsinC＝3asinA＋3bsinB ＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2 （23）2－（3）2＝6，故选C.3．(2017·云南省统一考试)已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点 [解析]OOPx－2y＋5＝0POPA， ＝5.又|OA|＝1， [答案]2角度三 4．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取

3

B．－3，3 C．[－3， [解析]如图C(2，3)y＝kx＋3d，若|MN|≥2 d2＝r2－2|MN|即即解得－3≤k≤ 3[学生——(12分)CCx轴正半轴上，C3x－4y＋7＝0y23C13.(1)C(1)C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，

(2分

8解得 8

(4分 r＝8C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(5分(2)理由如下：当斜率不存在时，lx＝0，(6分

消去得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，(7分)lC相交于不同的两点， 3解得k<1－26或k>1＋2 分 3

x1＋x2＝－1＋k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝1＋k2 (9分OD∥MCOD∥MC，则－3(x＋x)＝y＋y

所以3×1＋k2＝1＋k2k＝3，3∈/－∞，1－26∪1＋2 (11分

3 l.(12分1在解题过程中注意答题要求严格按照题目及相关知识的要求答题不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法．如本例(1)中，设出圆的方程，利用待定系数法求出圆的方程．(2)本例(2)中由＝求出，再利用可求得k，两步都应验证，[学生P300(独立成册＝1}，则A∩B的元素个数为 [解析]法一：(直接法)A表示圆，B表示一条直线，又圆心(0，0)x＋y＝1d＝1＝

2l：y＝kx＋1(k<0)C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0l－2)2＋y2＝3的位置关系是 B．相C．相 [解析]C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为2，lC所 ＝2，解得k<0，lx＋y－1＝0.D(2，0)l

22232223 lDB两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( 7 7C．1或 [解析]由题意得，圆心(1，－a)ax＋y－1＝0的距离为2，2＝2，a＝±1，24．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为( [解析]x2＋y2＝a2O，x2＋y2＝a2x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减a2＋ay－6＝0，Oa2＋ay－6＝0 2 6－2根据勾股定理可得a＝(3) aa2＝4，a＝±2.5．(2017·福建福州八中模拟)O：x2＋y2＝4l：x＋y＝a的点至少有2个，则a的取值范围为( A．(－32，32)B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C．(－22，22)D．[－32，3 ] 等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即 |－a| <3， a∈(－32，32)，2) A．(－5－1，5－1) B．[－5－1，5－1]C．(－22－1，22－1) D．[－22－1，22－1][解析]M(x，y)，因为|MA|2＋|MO|2＝10，x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，＋(y－1)2＝4，Ml上，x＋y＋a＝0x2＋(y－1)2＝42时满足题意， ≤2，解得－22－1≤a≤22 222[解析]由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为222r＝

(1，2)3x－y－6＝0 |AB|2＝45－5＝10，即|AB|＝10.

，由2＝r－d， 2A，By2

→＝→，则直线l的斜率 [解析]依题意得，APB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝35，C(3，5) （35）2－32＝6.记直线l的倾斜角为θ，则|CC|tanθ|＝|PC1|＝2，|CC1[答案切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝ ]处的切线方程为

＝5⇒a＝－2，[答案]－2)2＝40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是 2[解析]由圆的方程知，圆心C(m，2)，半径r＝210，所以2πr＝45，则点C到AB的距离为25，所以25≤|PC|<210，即25≤<210，解得－3<m≤－17≤m<9.[答案](－3，－1]∪[7，9)．已知圆(2)l2：x－2y＋4＝0 [解](1)因为 －1)y＋1＝－3(x－4)，(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，

5＝10，所以m＝±552x＋y±5 ＝1M，N(1)k(2)·＝12O为坐标原点，求|MN|.[解](1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为直线l与圆C交于两点，所 4－34＋34－34＋3k的取值范围为4－

4＋ ， (2)y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，x

xx＝7

，1

OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k 由题设可 ＋8＝12，解得lCl上，所以13．(2017·湖南长郡中学月考)x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0a∈R

1 [解析]由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，为(－a，0)和(0，2b)，21，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 1 1 ＝3，即a＋4b＝9，所以 b2＝91＋a2 1.a2＝b2，即|a|＝2|b|时取等号，14．(2017·南昌模拟)P(2，0)ly＝2－x2A，BO为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l的倾斜角为( 由y＝ 2－x2得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示．P(2，0)则圆心到此直线的距离d＝ k22所以SAOB＝12k＝3应舍去

×

，3＝13

3由图可得k＝－3 l(1)l与⊙C(2)l与⊙CA、BABP[解1)证明：因为⊙C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，又因为直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0Q(3，1)Q在⊙C内部，l与⊙C(2)由题意知，P(x，y)AB的中点由(1)可知· CP＝(x－1，y－CP＝(x－1，y－2)，QP＝(x－3，y－1)，所以P由圆的几何性质可知当Q(31)是弦AB的中点时|AB|最小．|CQ|（