导数综合练习题压轴(含详细答案)精华

导数练习题1．（本题满分12分）已知函数的图象如图所示．（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．2．（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（I）求实数的取值范围；（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．4．（本小题满分12分）已知常数，为自然对数的底数，函数，．（I）写出的单调递增区间，并证明；（II）讨论函数在区间上零点的个数．5．（本小题满分14分）已知函数．（I）当时，求函数的最大值；（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；6．（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点（）．（I）求实数的值；（II）求函数在的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数（I）当a=18时，求函数的单调区间；（II）求函数在区间上的最小值．8．（本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性．（I）求实数的取值范围；（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．9．（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）证明：若10．（本小题满分14分）已知函数．（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II）若，设，求证：当时，不等式成立．11．（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函数．（I）求函数的极值；（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．12．（本小题满分14分）定义，（I）令函数，写出函数的定义域；（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；（III）当且时，求证．导数练习题（B）答案1．（本题满分12分）已知函数的图象如图所示．（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．解：函数的导函数为…………（2分）（I）由图可知函数的图象过点（0，3），且得…………（4分）（II）依题意且解得所以…………（8分）（III）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；，+0-0+增极大值减极小值增．…………（10分）当且仅当时，有三个交点，故而，为所求．…………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．解：（I） （2分）当当当a=1时，不是单调函数 （5分）（II）（6分） （8分）（10分） （12分）3．（本小题满分14分）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（I）求实数的取值范围；（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．解：（I） 由，因为当时取得极大值， 所以，所以；…………（4分）（II）由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得： 所以函数的解析式是：…………（10分）（III）对任意的实数都有 在区间[-2，2]有： 函数上的最大值与最小值的差等于81， 所以．…………（14分）4．（本小题满分12分）已知常数，为自然对数的底数，函数，．（I）写出的单调递增区间，并证明；（II）讨论函数在区间上零点的个数．解：（I），得的单调递增区间是，…………（2分）∵，∴，∴，即．…………（4分）（II），由，得，列表-0+单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值．…………（6分）由（I），∵，∴，∴，…………（8分）（i）当，即时，函数在区间不存在零点（ii）当，即时若，即时，函数在区间不存在零点若，即时，函数在区间存在一个零点；若，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．…………（12分）5．（本小题满分14分）已知函数．（I）当时，求函数的最大值；（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；解：（I）当时，定义域为（1，+），令，………………（2分）∵当，当，∴内是增函数，上是减函数∴当时，取最大值………………（4分）（II）①当，函数图象与函数图象有公共点，∴函数有零点，不合要求；………………（8分）②当，………………（6分）令，∵，∴内是增函数，上是减函数，∴的最大值是，∵函数没有零点，∴，，因此，若函数没有零点，则实数的取值范围．………………（10分）6．（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点（）．（I）求实数的值；（II）求函数在的最大值和最小值．解：（I）由可得……（4分）∵是函数的一个极值点，∴∴，解得……………（6分）（II）由，得在递增，在递增，由，得在在递减∴是在的最小值；……………（8分），∵∴在的最大值是．……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数（I）当a=18时，求函数的单调区间；（II）求函数在区间上的最小值．解：（Ⅰ）， 2分 由得，解得或 注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+∞） 由得，解得-2＜＜4， 注意到，所以函数的单调递减区间是. 综上所述，函数的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是 6分（Ⅱ）在时， 所以， 设 当时，有△=16+4×2， 此时，所以，在上单调递增， 所以 8分 当时，△=， 令，即，解得或； 令，即， 解得. ①若≥，即≥时， 在区间单调递减，所以. ②若，即时间， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. ③若≤，即≤2时，在区间单调递增， 所以 综上所述，当≥2时，； 当时，； 当≤时， 14分8．（本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性．（I）求实数的取值范围；（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．解：（I），………………（2分）∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点………………（4分）∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴的实数的取值范围………………（6分）（II）由（I），方法1：，∵，∴，…………（8分）设，在是减函数，在增函数，当时，取最小值∴从而，∴，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则∴，∵，∴∴，即………………（12分）方法2：、是曲线上任意两相异点，，，………（8分）设，令，，由，得由得在上是减函数，在上是增函数，在处取极小值，，∴所以即………………（12分）9．（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）证明：若（1）的定义域为，2分（i）若，则故在单调增加．（ii）若单调减少，在（0，a-1），单调增加．（iii）若单调增加．（II）考虑函数由由于，从而当时有故，当时，有 10．（本小题满分14分）已知函数．（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II）若，设，求证：当时，不等式成立．解：（I），……………（2分）∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当时，恒成立，……………（4分）即恒成立，∴在时恒成立，或在时恒成立，∵，∴或………………（6分）（II），∵定义域是，，即∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数∴当时，取极大值，当时，取极小值，………………（8分）∵，∴………………（10分）设，则，∴，∵，∴∴在是增函数，∴∴在也是增函数………………（12分）∴，即，而，∴∴当时，不等式成立．………………（14分）11．（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函数．（I）求函数的极值；（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：＋0－单调递增极大值单调递减∴当时，取得极大值，没有极小值；…………（4分）（II）（方法1）∵，∴，∴即，设，，是的增函数，∵，∴；，，是的增函数，∵，∴，∴函数在内有零点，…………（10分）又∵，函数在是增函数，∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（12分）（方法2）∵，∴，即，，且唯一设，则，再设，，∴∴在是增函数∴，同理∴方程在有解…………（10分）∵一次函数在是增函数∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．12．（本小题满分14分）定义，（I）令函数，写出函数的定义域；（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；（III）当且时，求证．解：（I），即……（2分）得函数的定义域是，……（4分）（II）设曲线处有斜率为－8的切线，又由题设①②③∴存在实数b使得有解，……（6分）①②③由①得代入③得，有解，