证明举例（共19篇）

证明举例（共19篇）篇：初二数学《证明举例》

初二数学《证明举例》

课题：22.4证明举例（4）

一、教案设计思考与亮点

教案设计思考：本节内容为证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，教案的设计力求通过师生生动活泼的问题研究，不生搬硬套固定的解题模式，让学生亲身经历问题的解决与创设过程。中，随着问题的提出、分析和解决，构建积极进取的学习氛围，整个一堂课，始终是在师生的默契配合下进行，师生思维协调同步，处于“共鸣”状态，从而大大提高了课堂教学质效。教案设计亮点：

1、教学过程中，设计了开放性问题，既可以消除学生“模仿例题”的习惯，又可以克服学生被动学习的弊端，有利于培养学生个性，发挥每个学生的聪明才智，更好地培养他们的思维品质。2、教学过程中，设计了对例题的简单变式训练，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。二、教学目标：

1、知识目标：（1）尝试命题教学，学生掌握文字命题的证明步骤。（2）会用二次三角形全等证明几何问题。2、能力目标：（1）了解猜想证明与反驳、优化的数学思想方法。（2）经历了命题的证明过程，学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻求论证思路的综合分析方法。3、情感目标：注重对学生思维品质的培养，鼓励学生进行有效的合作学习。教学重、难点：重点：用二次三角形全等进行几何证明。难点：举出反例说明一个命题是假命题。四、教学过程：

今天这一节课，我们继续来学习几何证明。（写课题）一、文字命题证明

请同学们看这样一道例题：

例7：求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。（一）提问：

1、文字命题的证明有哪些步骤？2、这个命题的题设与结论分别是什么？（二）学生动手操作：

完成画图，写已知和求证。（学生完成，教师巡视，并抽一份点评，尽量让学生自己发现问题并

解决和完善）AA’

’

DD’

已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’,BC=B’C’,AD、A’D’分别是BC和B’C’边上的中线，AD＝A’D’。求证：△ABC≌△A’B’C’

[归纳小结]

对于文字命题，我们先要读懂题意，正确理解其中的内涵，再着手解题。（三）讨论与分析：

我们如何来证明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同学投入讨论。（学生思考并讨论，互相启发，自我教育，然后小组选代表汇报解题思路。）追问学生：1、你怎么想到证∠B＝∠B’？2、如何证得BD’=B’D’？你们能自己完成这道题的证明了吗？（四）独立书写证明过程：

证明：∵AD、A’D’分别是BC和B’C’边上的中线（已知）∴BD=

1212BC，B’C’＝B’C’（三角形中线定义）

又∵BC=B’C’（已知）

∴BD=B’D’（等式性质）

在△ABC和△A’B’C’中’D’（已知）

’B’（已知）

AD＝A’D’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S•S•S）

∴∠B＝∠B’（全等三角形对应角相等）

在△ABC和△A’B’C’中

’B’（已知）

∠B＝∠B’（已证）

BC=B’C’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S•A•S）

（可能还有学生通过证AC=A’C’，从而得到△ABC≌△A’B’C’。此时教

师均给予肯定，然后指出在具体解决问题的过程中，要善于选择简捷的方法，培养学生优选的数学思想。）

（五）[归纳小结]

在这个命题的证明过程中，有两次证明三角形全等，其中第一次证

明所得的两角相等，成为第二次证明三角形全等的条件，这种将上一步推理所得的结论作为下一步推理条件的情况，在证明过程中常常会遇到。二、变式训练

（一）完成了上述命题的证明：若将其中“一边上的中线”改成“一边上的高”，命题是否成立？（学生独立思考，并请一位同学上黑板画图）

估计学生回答此命题仍成立，请学生说明理由。老师问还有没有其它意见？若学生没有意见，教师进行反驳，将学生所画的图作如下改变：

’（通过老师画图操作，学生观察分析，从而获得直观的认识）然后提问：1、观察△ABC≌△A’B’C’中条件是否符合题意？2、此时，△ABC≌△A’B’C’吗？为什么？3、老师是用什么方法说明这是个假命题的？（二）思考题：（让学有余力的同学进行再思考）

1、修正上述命题，使之成为真命题。2、若改变“一边上中线”为“一角平分线”，其它条件作怎样变化，命题仍成立，留作同学课外思考。[归纳小结]

由上可见，我们在思考问题时既要积极大胆，又要注意思维的严密性，不断优化我们的思维方式。三、巩固练习：

如图：已知：点D、E分别在AB、AC上，BE和

相交于O点，且DB=EC，要证明OB=OC，还需要增加什么条件？BC

（一）放手发动学生积极参与讨论，大胆思维，勇于探索。（二）鼓励学生敢于发表见解，善于发表见解。（三）学生提出的问题，还是由学生自己来评判是否正确。（通过开放性练习，让学生探究尝试，调动学生学习的积极性，培养学生发散性思维和逆向性思维的能力。）

四、课堂小结：

（先由学生小结，然后老师作点评和补充。）

这节课我们学到了些什么？1、文字命题证明步骤。2、二次三角形全等证明有关问题。3、证明假命题的方法——举反例。4、良好思维品质的培养。五、作业布置：

1、课本练习及练习册练习

2、有兴趣的同学继续考虑：

（1）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等吗？（2）类似的角平分线、高有没有这样的性质呢？五、教案说明

课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地，在教师的主导作用下，广泛地让学生参与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识，发展学生的创造性思维，这是素质教育的要求之一。所以，我在教学过程中，让学生充分的动手、动脑，自由的讨论，在此基础上进行分析与研究，以激发学生学习的主动性，同时通过变式训练及开放性练习，不断开发学生的潜能，注重对学生思维品质的培养，从而提高分析问题，解决问题的能力。本节内容为22.4证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，为了分散难点，先复习了命题的证明步骤，再安排学生根据题意画图并写已知与求证，然后让学生在思考讨论的基础上分析解题思路，突出分析与综合的思想方法，最后独立写证明过程。整个例题基本上是由学生解决的，老师在其中作适当的分析、点评，从而培养学生对问题的观察、比较分析及综合演绎的能力。由对例题的简单变换，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。其中渗透猜想与反驳的数学思想，注重对学生思维品质的培养。之后又进一步提出问题，让学有余力的学生课外有深入的思考余地。这样的处理，使例7与练习第一题成为一个整体，而练习2的思维方式与例7相同，作为课后作业是对知识

进行巩固。最后一道题则是提高要求，少给一个条件，进行开放性思维训练、要学生通过讨论，大胆探索，提出所增加的条件，再由学生来判断其正确性。这样学生的积极性得到充分的调动，更增添学生学习数学的兴趣，从而培养学生发散思维与逆向思维的能力。本堂课小结基本上由学生完成，使学生明白通过努力，收获还是很多的，同时也培养了学生对知识的概括归纳能力。六、教学反思

综观本节课的课堂教学，我认为教学其实施过程比较顺利，并能有效地开展教学双边活动。其中学生始终是课堂教学的主人，在教师的调动下，学生积极参与课堂教学活动，学习的主动性与积极性得到充分的发挥。在教学中，凡是能让学生自己去获取知识的内容，我都给学生提供机会，大胆地放，如例题教学中，命题证明要先根据题意画图，写已知、求证、再进行证明，我就放手让学生操作，然后分析解题思路让学生讲，疑点让学生议，错如让学生剖析，最后加以修正。这样，使新知识易掌握，错误易暴露，也利于及时纠正反馈，同时，对发展学生的逻辑思维能力是十分有利的，从而使例题教学显得充实、有效。把例题简单变式后，提出问题“此时命题还是否成立？”其实这是老师有意设计的一个问题，我先让学生猜想认可，学生均自以为判断是正确的。然后教师平等地参与学生一起也发表见解，通过老师实际画图，学生观察分析，直观地认识到结论不成立，再来分析原因，从而引起学生的重视与反思。这样的反例反驳，学生不仅错明确误之处，而且更明确用举反例证明假命题的方法，从而得出与原来不同的结论。这样使学生在今后解题过程中，不仅要敢于探索，大胆思维，同时也要注意思维的严密性与批判性，从而培养良好的思维品质，不断优化思维方式。巩固练习是属于“从不变的结论来探索使结论成立的已知条件”的编题，其题型结构是：条件条件条件结论

条件（不变）

条件条件（学生探索）

缺条件，当然要设定，而且有多种可能性，这样的开放性问题要求学生从条

件方面进行思维和纵向发散，而这种思维的发散需要先进行广泛的逆向联想，再进行正向的验证，颇具挑战性，很容易激起学生“跃跃欲试”的情感和对数学知识的浓厚兴趣，从而打破学生的思维定势，开阔思维。在整个教学过程中，由于教师的鼓励，适时的引导，使学生敢于创新，大胆创造，特别是增加了“BE=DC”这个条件，它的证明需添设辅助线，此时由于学生的思维始终处于兴奋状态，就很自然地想到了解决的办法，进而提高了学生分析问题、解决问题地能力，从中得到了“以思维的逆向性和变通性”为主的思维转换能力的培养。从当堂学生的各种反馈及课后的作业来看，本节课完成了教学任务，达到了教学目的与要求，特别注重了思维力度与品质的培养，但在教学过程中，对某些问题的问法设计上还有待改进。第2篇：立体几何证明题举例

立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC�A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC�A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD

.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(3)求三棱锥D－CEF的体积．[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；

(3)变换顶点，求VC－DEF.[规范解答](1)证明∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)证明∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－

BCM的体积．[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；(2)证明AP⊥BC；

(3)根据锥体体积公式进行计算．[规范解答](1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第3篇：§5.6几何证明举例

年级八年级学科数学第五单元第8课时总计课时2013年11月4日

§5.6几何证明举例（2）

课程标准：掌握等腰三角形的性质和判定定理，了解等边三角形的概念并探索其性质。学习目标：

1.学生会根据三角形全等推导等腰三角形的性质。2.熟练掌握应用等腰三角形的性质定理。3.掌握等边三角形的性质，并会运用判定等边三角形。学习重点难点：

等腰三角形的性质定理和判定定理。我的目标以及突破重难点的设想：

学前准备：

学情分析：

学案使用说明以及学法指导：

预习案

一、教材助读

1、等腰三角形的性质是什么？判定是什么？2、等边三角形的性质和判定是什么？探究案

探究一：等腰三角形的性质

（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。（2）在右图等腰△ABC中，AB=AC.AD为BC边上的高∠1与∠2有什么关系？BD与CD有什么关系？你能得出什么结论？试着一下。探究二：等腰三角形的判定（合作交流）

（3）说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？（4）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？课型：新授执笔：马海丽审核：滕广福韩增美

（5）求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形已知：

求证：

点拨：注意条件中为什么是两个“角”，不是两个“底角”。三、精讲点拨：

1、等腰三角形的性质：

性质1：

性质2：

2、数学语言叙述：

性质1：性质2：∵AB=AC∵AB=AC

∴∠B=∠C①AD平分∠BAC

（等边对等角）

(①,②,③均可作为一个条件，推出其他两项)

（三线合一）

3、总结等边三角形的性质以及判定（学生小组讨论，写出他们的证明过程）

四、应用新知

例

2、已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。求证：AD=AF。点拨：以后证明线段相等或角相等时，除利用三角形全等外，还可以利用等腰三角形的性质和判定。五、课堂小结：

训练案

课本180页练习1,2题

我的反思：

第4篇：初婚初育证明举例

证明

尊敬的领导：

XXX（身份证号码：XXX年X月份入职，XXXX年X月份结婚，XXXX年X月X日XXXXXX医院生子XXX，属于首婚首育，符合计划生育政策。特此证明！XXXXXXXXXXXXXXXXXX年X月X日

第5篇：5.6几何的证明举例

5.6几何证明举例

（二）

诸冯学校备课组

学习目标：

1、进一步学习几何证明的思路和步骤；

2、牢固掌握等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，并能够熟练地应用它们进行相关的证明与计算。重点：等腰三角形的性质及判定

难点：等腰三角形的性质地应用。学习过程：

一、温故知新：等腰三角形的对称轴是，由轴对称的性质，你认为等腰三角形两个底角大小有什么关系？二、创设情境：你会用所学的知识证明你的结论吗？自主学习课本P177——179内容，独立完成课后练习

1、2后，与小组同学交流.通过学习等腰三角形的性质，请思考以下问题：

1、等腰三角形的顶角是45゜，则底角是（）。2、三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是（）。三、挑战自我：自学课本180页挑战自我，小组讨论，展示。四、巩固提升：

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

（A）60°（B）120°（C）60°或150°（D）60°或120

2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

（A）12或9（B）12（C）9（D）7

3.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）（A）44°（B）68°（C）46°（D）22°

4、如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中等腰三角形共有个.（第4题）

四、课堂小结：同学们本节课的学习，你收获吗？五、达标检测

1、如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，则下列结论正确的是（）

（A）△ABC≌△AED（B）△AED是等边三角形（C）∠EAB＝60°（D）AD＞DE

2、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，则下列结论正确的是（）

（A）△CDE是等边三角形（B）DE＝AB（C）点D在线段BE的垂直平分线上（D）点D在AB的垂直平分线上

3、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE是等边三角形。六、布置作业

七、教学反思

C

D（第1题）

（第2题）EE

第6篇：数列不等式的证明举例

�1.已知数列�an�满足a1�1,an�1�2an�1n�N��

（Ⅰ）求数列�an�的通项公式；

（Ⅱ）若数列�bn�满足4b1�14b2�14b3�1�4bn�1�(an�1)bn，证明：�bn�是等差数列；（Ⅲ）证明：1112������n�N��aa3an�13

2分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1）�an�1�2an�1，�an�1�1�2(an�1)

故数列{an�1}是首项为2，公比为2的等比数列。�an�1�2n，an�2n�

1（2）�4b1�14b2�14b3�1�4bn�1�(an�1)bn，�4(b1�b2���bn�n)�2nbn2(b1�b2���bn)�2n�nbn①

2(b1�b2���bn�bn�1)�2(n�1)�(n�1)bn�1②

②—①得2bn�1�2�(n�1)bn�1�nbn，即nbn�2�(n�1)bn�1③

�(n�1)bn�1�2�nbn�2④

④—③得2nbn�1�nbn�nbn�1，即2bn�1�bn�bn�1

所以数列{bn}是等差数列

11111（3）��n�1�n�1�an2�12�22an�1

11111111111设S�，则S������(����)��(S�)a2a3an�1a22a2a3ana22an�121212S�����a2an�13an�1

3点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。2.已知函数f(x)�x�ln�1�x�,数列�an�满足0�a1�1,an�1�f�an�;数列�bn�满足b1�,bn�1�(n�1)bn,n�N*.求证:

（Ⅰ）0�an�1�an�1;1212

an2;（Ⅱ）an�1�2（Ⅲ）若a1�则当n≥2时,bn�an�n!.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。*解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明0�an�1,n�N.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即0�ak�1.则当n=k+1时,因为0

又f(x)在0,1上连续,所以f(0)

又由0�an�1,得an�1�an�an�ln�1�an��an��ln(1�an)�0,从而an�1�an.综上可知0�an�1�an�1.��

x2x2

�ln(1�x)�x,0

x2

�0,知g(x)在(0,1)上增函数.由g�(x)�1�x

又g(x)在�0,1�上连续,所以g(x)>g(0)=0.an2an2

�f�an�>0,从而an�1�.因为0�an�1,所以g�an��0,即22

11n�1b

(Ⅲ)因为b1�,bn�1�(n�1)bn,所以bn�0,n�1�，222bn

bbb1

所以bn�n�n�1�2�b1�n�n!————①，bn�1bn�2b12

an2aaaaaaaaa,知:n�1�n,所以n=2�3�n�12�n�1,由(Ⅱ)an�1�22an2a1a1a2an�122,n≥2,0�an�1�an�1.2

a1n2�a121a1a2an�1

��a1

222222

由①②两式可知:bn�an�n!.因为a1�

点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。3.已知数列�an�满足a1�

（Ⅰ）求数列�an�的通项公式an；（Ⅱ）设bn�

an�1

1(n�2,n�N)．，an�n

4�1an�1�

21an，求数列�bn�的前n项和Sn；（Ⅲ）设cn�ansin

(2n�1)��，数列�cn�的前n项和为Tn．求证：对任意的n�N，2

Tn�

4．7

分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（Ⅰ）�又�

1211，��(�1)n��(�1)n�(�2�(�1)n�1]，anan�1anan�1

�11n�

����1，数列�(�1)�3���是首项为3，公比为�2的等比数列．a1�an�

(�1)n�11nn�1

.�(�1)�3(�2)，即an�n�1an3�2�1

（Ⅱ）bn�(3�2n�1�1)2�9�4n�1�6�2n�1�1．1�(1�4n)1�(1�2n)Sn�9��6��n�3�4n�6�2n�n�9．1�41�2(2n�1)�

�(�1)n�1，（Ⅲ）�sin

2(�1)n�11

．�cn��n�1nn�1

3(�2)�(�1)3�2�1

1111�����当n�3时，则Tn�2n�1

3�13�2�13�2�13�2�1

n�21

[1�(1]1111111)�������23n�11

473�2281�3�23�2111111147484��[1�()n�2]�����．286228684847�T1�T2�T3，�对任意的n�N�，Tn�．7点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列�an�的通项4.已知函数f(x)=

5�2x，设正项数列�an�满足a1=l，an�1�f�an�．16�8x

(1)写出a

2、a3的值;(2)试比较an与的大小，并说明理由；4n

51n

(3)设数列�bn�满足bn=－an，记Sn=�bi．证明：当n≥2时,Sn＜(2－1)．44i�

1分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。5�2an7

3解：(1)an�1�，因为a1�1,所以a2�,a3�.16�8an84（2）因为an�0,an�1�0,所以16�8an�0,0�an�2.5

548(an�)an�

55�2an5�3�,an�1����

416�8an432(2�an)22�an

因为2�an�0,所以an�1�与an�同号，44

515555

因为a1����0，a2��0,a3��0,„，an��0,即an�.444444

531531

�(�an�1)���bn�1（3）当n�2时，bn��an��

422�an�1422�an�1

31���bn�1�2bn�1，22�4

所以bn�2�bn�1�22�bn�2���2n�1b1�2n�3，(1�2n)

111�1�

所以Sn�b1�b2���bn�����������(2n�1)

421�24�2�

点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。3�n

第7篇：用导数证明不等式举例[优秀]

用导数证明不等式举例

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)�g(x)（f(x)�g(x)）的问题转化为证明f(x)�g(x)�0（f(x)�g(x)�0），进而构造辅助函数h(x)�f(x)�g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1已知x�(0，�

2)，求证：sinx�x�tanx分析：欲证sinx�x�tanx，只需证函数f(x)�sinx�x和g(x)�x�tanx在(0,�

2)上单调

递减即可。证明：

令f(x)�sinx�x，其中x�(0,�

2)

则f/

(x)�cosx�1，而x�(0,�

2)�cosx�1�cosx�1�0

所以f(x)�sinx�x在(0,�

2)上单调递减，即f(x)�sinx�x�f(0)�0

所以sinx�x；

令g(x)�x�tanx，其中x�(0,�

2)

则g/(x)�1�

1cos2x��tan2

x�0，所以g(x)�x�tanx在(0,�2)上单调递减，即g(x)�x�tanx�g(0)�0所以x�tanx。综上所述，sinx�x�tanx

评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,�

2)上是单调递增的函数（如：

利用h(x)�x�sinx在(0，�

2)上是单调递增来证明不等式sinx�x），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的f(0)也可以不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知x�(0，�

2)，求证：sinx�1�x�tanx�1

证明这个变式题可采用两种方法：

第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式sinx�x以后，根据sinx�1�sinx�x来证明不等式sinx�1�x；

第二种证法：直接构造辅助函数f(x)�sinx�1�x和g(x)�x�tanx�1，其中x�(0，�2)然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：f(x)�sinx�1�x�f(0)��1�0）例2求证：ln(x�1)�x

分析：令f(x)�ln(x�1)�x，经过求导易知，f(x)在其定义域(�1,��)上不单调，但可以利用最值证明不等式。证明：令f(x)�ln(x�1)�x函数f(x)的定义域是(�1,��)，f'(x)=

1�x

�1.令f'(x)=0，解得x=0，当-10,当x>0时,f'(x)

练习：求证：1

�x�1��x3�1,其中x��1,���.例3：当x�0时，证明不等式ex

�1�x�

x2

成立。证明：设f�x��ex�1�x�

1x2,则f'�x��ex2

�1�x.令g(x)�ex

�1�x,则g'(x)�ex

�1.当x�0时，g'�x��ex

�1�0.�g(x)在�0,���上单调递增，而g(0)�0.�g�x��g(0)�0,�g(x)�0在�0,���上恒成立，即f'(x)�0在�0,���恒成立。�f(x)在�0,���上单调递增，又f(0)�0,�ex�1�x�

x�0,即x�0时，ex�1�x�

x成立。利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式。21．（本题满分12分）

已知函数f(x)�

（1�x)

n

�aln(x�1),其中n�N*,a为常数．（I）当n�2时，求函数f(x)的极值；

（II）当a�1时，证明：对任意的正整数n，当x�2时，有f(x)�x�1.【标准答案】

（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为�x|x�1�，当n�2时，f(x)�1

(1�x)

�aln(x�1)，所以f�(x)�2�a(1�x)2(1�x)3．（1）当a�0时，由f�(x)�

0得x1�1��

1，x2�1��1，此时f�(x)�

�a(x�x1)(x�x2)

(1�x)3

．当x�(1，x1)时，f�(x)�0，f(x)单调递减；当x�(x1，��)时，f�(x)�0，f(x)单调递增．（2）当a�0时，f�(x)�0恒成立，所以f(x)无极值．综上所述，n�2时，当a�0时，f(x)在x�1f���1��a�1�ln2�

�2��a��．当a�0时，f(x)无极值．（Ⅱ）

证法二：当a�1时，f(x)�

(1�x)n

�ln(x�1)．当x�2时，对任意的正整数n，恒有

(1�x)n

�1，故只需证明1�ln(x�1)≤x�1．令h(x)�x�1�(1�lnx(�1)�)x�

�2xln，�(x��2，���，则h�(x)�1�

1x�2

x�1�

x�1，当x�2时，h�(x)≥0，故h(x)在�2，���上单调递增，因此当x�2时，h(x)�h(2)�0，即1�ln(x�1)�x�1成立．故当x�2时，有1

(1�x)n

�ln(x�1)�x�1．即f(x)�x�1．第8篇：利用放缩法证明不等式举例

利用放缩法证明不等式举例

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。一、放缩后转化为等比数列。例1.{bn}满足：b1�1,bn�1�bn�(n�2)bn�

3（1）用数学归纳法证明：bn�n

（2）Tn�

解：(1)略

(2)�bn�1�3�bn(bn�n)�2(bn�3)

又�bn�n

�bn�1�3�2(bn�3)，n�N

迭乘得：bn�3�

2�n�1211111���...�，求证：Tn�3�b13�b23�b33�bn2*(b1�3)�2n�1

11�n�1,n�N*bn�32

�Tn�1111111���...����234n�1n�12222222

2点评：把握“bn�3”这一特征对“bn�1�bn�(n�2)bn�3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加

例2．数列{an}，an�(�1)

求证：s2n�n�11，其前n项和为sn

n

2解：s2n�1�

令bn�11111���...��2342n�12n1，{bn}的前n项和为Tn2n(2n�1)

1111�(�)2n(2n�2)4n�1n当n�2时，bn�

�s2n�Tn�

�111111111111���(�)�(�)�...�(�)

212304344564n�1n71��104n2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例3.已知函数f(x)�ax�b�c(a�0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为xy�x�

1（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)�lnx在[1,��)上恒成立，求a的取值范围（3）证明：1�

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：当a�111n��...��ln(n�1)�23n2(n�1)1时,有f(x)�lnx(x�1)2

111令a�,有f(x)�(x�)�lnx(x�1).22x

11且当x�1时,(x�)�lnx.2x

k�1��11k�1k111令x�,有ln�[�]�[(1�)�(1�)],kk2kk�12kk�1

111即ln(k�1)�lnk�(�),k�1,2,3,�,n.2kk�1

将上述n个不等式依次相加得

ln(n�1)�

整理得11111�(����)�,223n2(n�1)

1�111n�����ln(n�1)�.23n2(n�1)

点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、放缩后迭乘

例4

．a1�1,an�1�1(1�4an�n�N*).16

（1）求a2,a3

（2）

令bn�{bn}的通项公式

（3）已知f(n)�6an�1�3an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n)�

解：（1）（2）略12

21n1n1()�()�3423

13231�f(n)�n�n�2�n�n�1�1�n42424

111211(1�n)(1�n�1)1�n�n�2n�11�n1�1�n���11141�n�11�n�11�n�144411�n�f(n)�1�n�14

11111�1�21�n1�n�...��1�f(1)f(2)...f(n)�1�11�11�122

n�144由（2）得an�

点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？例

1、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引两条直线分别交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

BN

（例1图）（例2图）

例

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．【部分题目解答】

例

1、(难度相当于高考压轴题)

如图，以MN为x轴，A为原点，AO为Y轴建立坐标系，设圆的方程为：x2�(y-a)2�r2,设直线AB的方程为：y�mx,直线AD的方程为：y�nx,点B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；则B、C222x�(y-a)�r,消去y得：（1�m2)x2-2amx�a2-

r2�{y�mx2ama2-r

2由韦达定理知：x1�x2�2;x1x2�2,m�1m�12ana2-r2

同理得：x3�x4�2;x3x4�2,n�1n�1直线CD方程为：y-y2�y2-y3(x-x2),x2-x

3x3y2-x2y3,y2-y3由此得Q点横坐标：xQ�

同理得P点横坐标：xP�x1y4-x4y1,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要证明AP�AQ，只需证明：xQ�-xP3223�-1441,y2-y3y4-y1

即证明：（x3y2-x2y3）（�y4-y1）�（-x1y4-x4y1）（�y2-y3）

将上式整理得：y3y4(x1�x2)�y1y2(x3�x4)�x1y2y4�x2y1y3�x3y2y4�x4y1y3

注意到：y1�mx1,y2�mx2;y3�nx3,y4�nx4，代入整理得：

左边�m2x1x2(x3�x4)�n2x3x4(x1�x2),右边�mn[x1x2(x3�x4)�x3x4(x1�x2)]把上述韦达定理的结论代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m�n)2a-r左边�m�2�2�n�2�2�

22m�1n�1n�1m�1(m�1)(n�1)2a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m�n)右边�mn(2���)�m�1n2�1n2�1m2�1(m2�1)(n2�1)

可见：左边=右边，故xQ�-xP，即AP�AQ.证毕！【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】标系.例

2、分析：如右图，建立坐

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度问题的关键是：如何设点C、D而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D设AD=BC=r，则C点可以看作是以B为圆心，r上的动点，类似看待D点，故，设

C(a�rcosθ,rsinθ)、D(-a�rcos�,rsin�),从而得N(cosθ�cos�sinθ�sin�,)22

易得：kBC�tan�,kAD�tan�【此处充分展现了圆的,参数方程的美妙之处】kMN�sinθ�sin�����tan;cosθ�cos�2

第10篇：沪教版_初二数学几何证明举例

1.已知：如图1，AD是BC上的中线，且BE∥CF.求证：DF=DE.2.已知：如图2，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求证：BE∥CF.3.已知：如图3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。求证：AE=AF.4.已知：如图1，AB∥CD，BE、DE分别是∠ABD、∠BDC的平分线.求证：BE⊥

DE.5.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.6.如图3，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同侧(如图①)且AD=CE，求证：BA⊥AC.2)若BC在DE的两侧(如图②)其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是，请予证明，若不是请说明理由.7.已知：如图1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三点

共线，D、C、F三点共线.求证：∠E=∠F.8.已知：如图2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求证：FD⊥ED.9.已知：如图3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求证：AD=BC.10.已知：如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求证：AC=BD-DC

11.已知：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：EF=BE+DF.第11篇：IQ举例

举例：无菌包装热封口机安装鉴定（IQ）报告

（提纲）

�适用范围：新购置的AK002（编号HG-019）封口机，安装在洁净室3.�操作：

按照热封口机操作手册和相关SOP操作。�人员资格鉴定：略

�洁净室环境确认：周末前应按照洁净室清洁控制程序SOP1-12-77对洁净室进行彻底清洁，符合要求。�仪器仪表校准

按照SOP20-1-2的规定校准相关仪表和测量设备。�记录

见质量工程技术实验室记录本JWS98-4，第46-62页。�结果：

项目要求结论

电源热封口机使用说明书符合气压热封口机使用说明书符合工效学布置热封口机使用说明书符合零部件热封口机使用说明书和SOP20-12-14符合加压气体排放SOP1-12-77符合设备保养步骤SOP20-12-14符合加工袋子的能力SOP20-12-14符合�问题

加压气体向洁净室排放，一开始影响环境，后通过在热封口机的排气管上安装一个油底空气过滤器使问题得以解决。关于该设备的粉尘问题应按照SOP-9-15-84的规定进行监测，暂时还没有发现不利影响。�结论

热封口机安装成功。�安装鉴定结果的审定

第12篇：应用举例

工作流应用情况举例

应该说，工作流软件应用的范围还是非常广泛，凡是各种通过表单逐级手工流转完成的任务均可应用工作流软件自动实现，可以考虑在以下一些方面推行工作流程自动化。行政管理类：出差申请，加班申请，请假申请，用车申请，各种办公工具申请，购买申请，日报周报，信息公告等凡是原来手工流转处理的行政性表单。人事管理类：员工培训安排，绩效考评，新员工安排，职位变动处理，员工档案信息管理等。Fiance：付款申请单、采购单、交通费报销单

GA：差旅申请单、办公用品申请单、访客申请表、名片、名牌、门禁卡申请单、用章申请单、公文会签表、公司合同管理会签单HR：领用公司财物清单、离职清单、员工休假申请表、加班申请表、加班费用报销单、员工子女托费报销单、临时雇员申请表、培训申请表、专业事务申请表、书刊请购表、临时工费用报销申请表、员工医药费报销申请表

出差(申请－报销－报告)，请购（原料包材），人力需求申请表，派车单，用印申请表，员工考核表，工作申请表，人员异动申请表，薪资异动申请表，离职辞职人员申请表，离职移交表，名片印刷申请表，一般费用报销（包含医药费报销），请款（与ERP做接口），外出登记，加班申请，请购等

第13篇：请示举例

请示范文：

XX学校XXX班关于开展XXX活动的请示XXX学校：

按照学校老师对加强社会实践的要求，为进一步提高学生动手能力，增强班级凝聚力，经年月日班会研究，经班主任同意，拟于年月日至年月日在处开展活动，届时请校领导光临指导。当否，请批示。XX学校XX班年月日公司请示范文xx，您好！我是XXX，于2007年6月进入公司工作至今.目前在金属二车间后道工序担任组长一职.现申请调到天津伟星管业分公司工作.在加入公司这三年，我由一名普通的新员工，成长为参与销售管理者里面的一员.在这段时间里，通过公司的培部门及领导的培养.我努力把自己的工作做到最好，兢兢业业，吃苦耐劳，用心做事.带领组里员工积极配合车间领销售各项工作，及时完成调度下达的任务订单，为提高车间的效益贡献出自己的微薄之力.在此期间，我的工作能力和各方面的专业知识有很大的提高.自己虚心求学，踏踏实实的工作态度得到车间领导的肯定.自己的工作成果得到领导的认可!感谢领导对我的信任和培养;感谢工友对我的关心和帮助!由于个人家庭原因，现在自己不能继续担任此项工作，自己的家人一直都在天津工作生活，而自己只身一人在临海，家人牵挂，自己倍感孤独!最为主要的原因就是自己身负高额的房贷压力.必须全方面考虑，前往天津，集全家之力还贷!为解决自己实际困难，免除后顾之忧，更好地投身工作.我希望调到天津工作.恳请上级领导考虑本人的实际情况，解决我的工作难题。希望各位领导同意本人的工作调动申请，请给予批准，谢谢！此致申请人:XXX附：请示写作格式

请示一般由标题、主送机关、正文、发文机关、日期五部分组成。请示的正文，主要由请示的原因、内容、要求三部分组成，请示时应将理由陈述充分，提出的解决方案应具体，切实可行。请示的注意事项除其特点中所述之外，还应注意请示与报告的区别，切忌用报告代请示行文；请求的内容若涉及其它部门或地区时，在正常情况下应事先进行协商，必要时还可联合行文，如有关方面意见不一致，应如实在请示中反映出来；另外请求拨款的应附预算表；请求批准规章制度的，应附规章制度的内容；请示处理问题的，本单位应先明确表态；正式印发请示送上级机关时，应在文头注明签发人姓名。第14篇：赏析举例

评论写作

基本样式：近期文坛热点（这一部分减少了，要照顾到每一个专业）；古典诗词：有一定哲理，与现实有关系（加大这部分）；典故，语言故事

分析：本质上属给材料作文，但是评论而非鉴赏，重视考生的阅历经验，这包括：1、个人的文史积累，引用并融入自己的观点，杂文，文史杂谈

2、议论文格式，并注重笔调，切忌白话，套话，枯燥，语言要清晰，华丽清新，语势激昂向上，简洁。3、文章展示出对问题的倾向，情怀，观念，如内在的幽默感，人文情怀4、切忌抄袭，模仿举例：

1、“桃李不言，下自成蹊”，最好跳出传统思维，另寻观点，方能出新

2、“山不厌高，海不厌深”，针对现实社会的萎靡，宏大的追求，终极关怀

3、“读万卷书，行万里路”，古有李白，现有余秋雨

4、书中自有颜如玉，书中自有黄金屋：批判文人的病态，也可结合现实状况批判现实。注意：字体一定要公整，段落清楚（可爱分）

议论文：讨论文化问题，切忌政治化，要有人文气。一、外部形式要求：

1、文体上：“评论”，不是赏析，赏析只是评论的一个要素

非人生感想录，将新闻，自传写入评论也非评论，可以由结合，必须从文学角度分析，以严密的逻辑论证。2、字数上：要根据要求，相差无几，不能太少

3、文面上：格式，书写

二、内容要求

1、给材料作文：两种材料，一种是诗词，一种是小短文：现代的浅文或者外国随笔2、材料特点:材料本身具有哲理性，有一定的人生感慨，或者表达人与人，人与社会，人与自然的关系“人之情，物之理”

3、写作要求：

照准自己的切入点，有自己的视角，引发开去，即不离开作品，又不是简单的赏析要有一定的发挥，一定的生趣，要感悟，轻灵，简短

三、实例分析

1、《听弹琴》：刘长卿“泠泠七弦上，静听松风寒。古调虽自爱，今人多不弹”①正面理解：珍惜传统，不能抛弃

②要正视历史，与时具进，需要创造新的东西

评论：“深刻而片面”③“执两用中”，折衷④赞美“孤芳自赏”，不予世俗合污，表达孤独感⑤知音难觅，古诗中游很多同感

2、去年试题苏轼的《赠刘景文》“一年好景君须记，最是橙黄橘绿时”

可以从气质入手；也可谈胸襟应该阔大，批判现在的“代纪压迫”

3、“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”a)美好的东西是关不住的，封闭不行

b)“封闭与反封闭”一切社会都处在这种状态

c)一枝红杏的价值，正是这枝红杏发现了满园的春色d)环境与生长的关系4、现代诗：卞之琳《断章》

①看与被看的关系②装饰与被装饰的关系

5、白居易的《钱塘胡春行》

本真的快乐：古代传统的快乐具有社会的功利性，而非真正的快乐，本真的快乐。写诗歌评论的方法

（一）仔细读一遍原文

（二）然后按我的秘诀答就行了。是：

如果考试时让你赏析一篇文章或诗词，无论古代现代、诗歌散文，你只要按照我的公式来写就行了：（1）简述文章内容。（2）分析文章主题。（3）分析文章结构。（4）分析文章语言。（5）分析文章的总体风格。（6）分析文章承传，即它受前代哪些作品的影响，对后世作品有何影响，与同时代作品有何联系。（7）总结（所谓总结，就是写到最后忽然又想到了什么，赶紧添上就行了。）。赏析举例

水龙吟·登建康赏心亭

辛弃疾

楚天千里清秋，水随天去秋无际。遥岑远目，献愁供恨，玉簪螺髻。落日楼头，断鸿声里，江南游子。把吴钩看了，栏干拍遍，无人会、登临意。休说鲈鱼堪脍，尽西风、季鹰归未？求田问舍，怕应羞见，刘郎才气。可惜流年，忧愁风雨，树犹如此！倩何人唤取，红巾翠袖，揾英雄泪！这首词作于乾道四至六年（1168-1170）间建康通判任上。这时作者南归已

八、九年了，却投闲置散，作一个建康通判，不得一遂报国之愿。偶有登临周览之际，一抒郁结心头的悲愤之情。建康（今江苏南京）是东吴、东晋、宋、齐、梁、陈六个朝代的都城。赏心亭是南宋建康城上的一座亭子。据《景定建康志》记载：“赏心亭在（城西）下水门城上，下临秦淮，尽观赏之胜。”

这首词，上片大段写景：由水写到山，由无情之景写到有情之景，很有层次。开头两句，“楚天千里清秋，水随天去秋无际”，是作者在赏心亭上所见的景色。楚天千里，辽远空阔，秋色无边无际。大江流向天边，也不知何处是它的尽头。遥远天际，天水交溶气象阔大，笔力遒劲。“楚天”的“楚”地，泛指长江中下游一带，这里战国时曾属楚国。“水随天去”的“水”，指浩浩荡荡奔流不息的长江。“千里清秋”和“秋无际”，显出阔达气势同时写出江南秋季的特点。南方常年多雨多雾，只有秋季，天高气爽，才可能极目远望，看见大江向无穷无尽的天边流去。的壮观景色。下面“遥岑远目，献愁供恨，玉簪螺髻”三句，是写山。“遥岑”即远山。举目远眺，那一层层、一叠叠的远山，有的很象美人头上插戴的玉簪，有的很象美人头上螺旋形的发髻，景色算上美景，但只能引起词人的忧愁和愤恨。皮日休《缥缈峰》诗：“似将青螺髻，撒在明月中”，韩愈《送桂州严大夫》诗有“山如碧玉”之句（即簪），是此句用语所出。人心中有愁有恨，虽见壮美的远山，但愁却有增无减，仿佛是远山在“献愁供恨”。这是移情及物的手法。词篇因此而生动。至于愁恨为何，又何因而至，词中没有正面交代，但结合登临时地情景，可以意会得到。北望是江淮前线，效力无由；再远即中原旧疆，收复无日。南望则山河虽好，无奈仅存半壁；朝廷主和，志士不得其位，即思进取，却力不得伸。以上种种，是恨之深、愁之大者。借言远山之献供，一写内心的担负，而总束在此片结句“登临意”三字内。开头两句，是纯粹写景，至“献愁供恨”三句，已进了一步，点出“愁”、“恨”两字，由纯粹写景而开始抒情，由客观而及主观，感情也由平淡而渐趋强烈。一切都在推进中深化、升华。“落日楼头”2六句意思说，夕阳快要西沉，孤雁的声声哀鸣不时传到赏心亭上，更加引起了作者对远在北方的故乡的思念。他看着腰间空自佩戴的宝刀，悲愤地拍打着亭子上的栏干，可是又有谁能领会他这时的心情呢？这里“落日楼头，断鸿声里，江南游子”三句，虽然仍是写景，但无一语不是喻情。落日，本是日日皆见之景，辛弃疾用“落日”二字，比喻南宋国势衰颓。“断鸿”，是失群的孤雁，比喻作为“江南游子”自己飘零的身世和孤寂的心境。辛弃疾渡江淮归南宋，原是以宋朝为自己的故国，以江南为自己的家乡的。可是南宋统冶集团根本无北上收失地之意，对于像辛弃疾一样的有志之士也不把辛弃疾看作自己人，对他一直采取猜忌排挤的态度；致使辛弃疾觉得他在江南真的成了游子了。“把吴钩看了，栏干拍遍，无人会、登临意”三句，是直抒胸臆，此时作者思潮澎湃心情激动。但作者不是直接用语言来渲染，而是选用具有典型意义的动作，淋漓尽致地抒发自己报国无路、壮志难酬的悲愤。第一个动作是“把吴钩看了”（“吴钩”是吴地所造的钩形刀）。杜甫《后出塞》诗中就有“少年别有赠，含笑看吴钩”的句子。“吴钩”，本应在战场上杀敌，但现在却闲置身旁，只作赏玩，无处用武，这就把作者虽有沙场立功的雄心壮志，却是英雄无用武之地的苦闷也烘托出来了。第二个动作“栏干拍遍”。据宋王辟之《渑水燕谈录》记载，一个“与世相龃龉”的刘孟节，他常常凭栏静立，怀想世事，吁唏独语，或以手拍栏于。曾经作诗说：“读书误我四十年，几回醉把栏干拍”。栏干拍遍是胸中有说不出来抑郁苦闷之气，借拍打栏干来发泄。用在这里，就把作者雄心壮志无处施展的急切非愤的情态宛然显现在读者面前。另外，“把吴钩看了，栏干拍遍”，除了典型的动作描写外，还由于采用了运密入疏的手法，把强烈的思想感情寓于平淡的笔墨之中，内涵深厚，耐人寻味。“无人会、登临意”，慨叹自己空有恢复中原的抱负，而南宋统治集团中没有人是他的知音。后几句一句句感情渐浓，达情更切，至最后“无人会”得一尽情抒发，可说“尽致”了。读者读到此，于作者心思心绪，亦可尽知，每位读者，也都会被这种情感感染。上片写景抒情，下片则是直接言志。下片十一句，分四层意思：“休说鲈鱼堪脍，尽西风、季鹰归未？”这里引用了一个典故：晋朝人张翰（字季鹰），在洛阳作官，见秋风起，想到家乡苏州味美的鲈鱼，便弃官回乡。（见《晋书。张翰传》）现在深秋时令又到了，连大雁都知道寻踪飞回旧地，何况我这个漂泊江南的游子呢？然而自己的家乡如今还在金人统治之下，南宋朝廷却偏一隅，自己想回到故乡，又谈何容易！“尽西风、季鹰归未？”既写了有家难归的乡思，又抒发了对金人、对南宋朝廷的激愤，确实收到了一石三鸟的效果。“求田问舍，怕应羞见，刘郎才气”，是第二层意思。求田问舍就是买地置屋。刘郎，指三国时刘备，这里泛指有大志之人。这也是用了一个典故。三国时许汜去看望陈登，陈登对他很冷淡，独自睡在大床上，叫他睡下床。许汜去询问刘备，刘备说：天下大乱，你忘怀国事，求田问舍，陈登当然瞧不起你。如果是我，我将睡在百尺高楼，叫你睡在地下，岂止相差上下床呢？（见《三国志。陈登传》）“怕应羞见”的“怕应”二字，是辛弃疾为许汜设想，表示怀疑：象你（指许汜）那样的琐屑小人，有何面目去见象刘备那样的英雄人物？这二层的大意是说，既不学为吃鲈鱼脍而还乡的张季鹰，也不学求田问舍的许汜。作者登临远望望故土而生情，谁无思乡之情，作者自知身为游子，但国势如此，如自己一般的又何止一人呢？作者于此是说，我很怀念家乡但却绝不是像张翰、许汜一样，我回故乡当是收复河山之时。作者有此志向，但语中含蓄，“归未？”一词可知，于是自然引出下一层。“可惜流年，忧愁风雨，树犹如此”，是第三层意思。流年，即时光流逝；风雨指国家在风雨飘摇之中，“树犹如此”也有一个典故，据《世说新语。言语》，桓温北征，经过金城，3见自己过去种的柳树已长到几围粗，便感叹地说：“木犹如此，人何以堪？”树已长得这么高大了，人怎么能不老大呢！这三句词包含的意思是：于此时，我心中确实想念故乡，但我不不会像张瀚，许汜一样贪图安逸今日怅恨忧惧的。我所忧惧的，只是国事飘摇，时光流逝，北伐无期，恢复中原的宿愿不能实现。年岁渐增，恐再闲置便再无力为国效命疆场了。这三句，是全首词的核心。到这里，作者的感情经过层层推进已经发展到最高潮。下面就自然地收束，也就是第四层意思：“倩何人唤取，红巾翠袖，英雄泪。”倩，是请求，“红巾翠袖”，是少女的装束，这里就是少女的代名词。在宋代，一般游宴娱乐的场合，都有歌妓在旁唱歌侑酒。这三句是写辛弃疾自伤抱负不能实现，世无知已，得不到同情与慰藉。这与上片“无人会、登临意”义近而相呼应。这首词，是辛词名作之一，它不仅对辛弃疾生活着的那个时代的矛盾有充分反映，有比较真实的现实内容，而且，作者运用圆熟精到的艺术手法把内容完美地表达出来，直到今天仍然具有极其强烈的感染力量，使人们百读不厌。西江月·遣兴

辛弃疾

醉里且贪欢笑，要愁那得工夫。近来始觉古人书，信着全无是处。昨夜松边醉倒，问松“我醉何如”。只疑松动要来扶，以手推松曰：“去！”

欣赏这首词，我们似乎可以这样说：品读辛弃疾的词，可从词中品出更有韵味的戏剧来，虽然在写词中，恰如其分地引入戏剧性场景并非辛弃疾发明，但是在他手上得到了发扬光大，在他的词中，这种情况十分常见。这是值得肯定的。“醉里且贪欢笑，要愁那得工夫。”通篇“醉”字出现了三次。难道词人真成了沉湎醉乡的“高阳酒徒”么？否。盖因其力主抗金而不为南宋统治者所用，只好借酒消愁，免得老是犯愁。说没工夫发愁，是反话，骨子里是说愁太多了，要愁也愁不完。“近来始觉古人书，信着全无是处。”才叙饮酒，又说读书，并非醉后说话无条理。这两句是“醉话”。“醉话”不等于胡言乱语。它是词人的愤激之言。《孟子·尽心下》：“尽信书，则不如无书。”本意是说古书上的话难免有与事实不符的地方，未可全信。辛弃疾翻用此语，话中含有另一层意思：古书上尽管有许多“至理名言”，现在却行不通，因此信它不如不信。以上种种，如直说出来，则不过慨叹“世道日非”而已。但词人曲笔达意，正话反说，便有咀嚼不尽之味。下片写出了一个戏剧性的场面。词人“昨夜松边醉倒”，居然跟松树说起话来。他问松树：“我醉得怎样了？”看见松枝摇动，只当是松树要扶他起来，便用手推开松树，并厉声喝道：“去！”醉憨神态，活灵活现。词人性格之倔强，亦表露无遗。在当时的现实生活里，醉昏了头的不是词人，而是南宋小朝廷中那些纸醉金迷的昏君佞臣。哪怕词人真醉倒了，也仍然挣扎着自己站起来，相比之下，小朝廷的那些软骨头们是多么的渺小和卑劣。辛弃疾的这首小词，粗看，正如标题所示，是一时即兴之作。但如果再往里仔细一看，那么会发现作者是在借诙谐幽默之笔达发泄内心的不平。如再深入研究，我们还可洞察到作者是由于社会现实的黑暗而忧心忡忡，满腹牢骚和委屈，不便明说而又不能不说，所以，只好借用这种方式，来畅快淋漓地渲泄他的真情实感。虞美人

辛弃疾邑中园亭，仆皆为赋此词。一日，独坐停云，水声山色竞来相娱。意溪山欲援例者，遂作数语，庶几仿佛渊明思亲友之意云。甚矣吾衰矣。怅平生、交游零落，只今馀几！白发空垂三千丈，一笑人间万事。问何物、能令公喜？我见青山多妩媚，料青山见我应如是。情与貌，略相似。一尊搔首东窗里。想渊明《停云》诗就，此时风味。江左沉酣求名者，岂识浊醪妙理？回首叫、云飞风起。不恨古人吾不见，恨古人不见吾狂耳。知我者，二三子。正如本词自注所述，辛弃疾的这首《虞美人》词，乃是仿陶渊明《停云》“思亲友”之4意而作，抒写了作者罢职闲居时的寂寞与苦闷的心情。据邓广铭《稼轩词编年笺注》考证，此词约作于宋宁宗庆元四年（1198）左右。此时辛弃疾被投闲置散又已四年。他在信州铅山（今属江西）东期思渡瓢泉旁筑了新居，其中有“停云堂”，即取陶渊明《停云》诗意。辛弃疾的词，爱用典故，在宋词中别具一格。这首词的上片一开头“甚矣吾衰矣。怅平生交游零落，只今馀几！”即引用了《论语》中的典故。《论语。述而篇》记孔子说：“甚矣吾衰也，久矣吾不复梦见周公。”如果说，孔子慨叹的是其道不行；那么辛弃疾引用它，就有慨叹政治理想无法实现之意。辛弃疾写此词时已五十九岁，又谪居多年，故交零落，因此发出这样的慨叹也是很自然的。这里“只今馀几”与结句“知我者，二三子”首尾衔接，用以强调“零落”二字。接着“白发空垂三千丈，一笑人间万事。问何物能令公喜？”数语，又连用李白《秋浦歌》“白发三千丈”和《世说新语。宠礼篇》记郗超、王恂“能令公（指晋大司马桓温）喜”等典故，叙自己徒伤老大而一事无成，又找不到称心朋友，写出了世态关系与自己此时的落寞。“我见青山多妩媚，料青山见我应如是”两句，是全篇警策。词人因无物（实指无人）可喜，只好将深情倾注于自然，不仅觉得青山“妩媚”，而且觉得似乎青山也以词人为“妩媚”了。这与李白《敬亭独坐》“相看两不厌”是同一艺术手法。这种手法，先把审美主体的感情楔入客体，然后借染有主体感情色彩的客体形象来揭示审美主体的内在感情。这样，便大大加强了作品里的主体意识，易于感染读者。以下“情与貌，略相似。”两句，情，指词人之情；貌，指青山之貌。二者有许多相似之处，如崇高、安宁和富有青春活力等。作者在这里将自己的情与青山相比，委婉地表达了自己宁愿落寞，决不与奸人同流合污的高洁之志。词的下片作者又连用典故。“一尊搔首东窗里，想渊明《停云》诗就，此时风味。”陶渊明《停云》中有“良朋悠邈，搔首延伫”和“有酒有酒，闲饮东窗”等诗句，辛弃疾把它浓缩在一个句子里，用以想像陶渊明当年诗成时的风味。这里作者又提陶渊明，意在以陶自况。“江左沉酣求名者，岂识浊醪妙理？”两句，表面似申斥南朝那些“醉中亦求名”（苏轼《和陶饮酒二十首》之三）的名士派人物；实际是讽刺南宋已无陶渊明式的饮酒高士，而只有一些醉生梦死的统治者。以下“不恨古人吾不见，恨古人不见吾狂耳”两句，句法与上片“我见青山”一联相似，表现出了作者傲视古今的英雄气概。这里所说的“古人”，不是一般的古人，而是指像陶渊明一类的人。据岳珂《桯史·卷三》记：辛弃疾每逢宴客，“必命侍姬歌其所作。特好歌《虞美人》一词，自诵其警句曰：”我见青山多妩媚，料青山见我应如是。‘又曰：“不恨古人吾不见，恨古人不见吾狂耳。’每至此，辄拊髀自笑，顾问坐客何如”。足见辛弃疾对自己这二联是很自负的。结句“知我者，二三子。”这“二三子”为谁没有人进行专门的考证，有人认为是当时人陈亮。但依我个人看法，不妨视野扩大些，将古人陶渊明、屈原乃至于孔子等，都算在内。辛弃疾慨叹当时志同道合的朋友不多，实与屈原慨叹“众人皆醉我独醒”的心情类似，同出于为国家和民族的危亡忧虑。而他的闲居铅山，与陶渊明居“南山”之情境也多少有点类似。岑参《白雪歌送武判官归京》：北风卷地白草折，胡天八月即飞雪。忽如一夜春风来，千树万树梨花开。散入珠帘湿罗幕，狐裘不暖锦衾薄。将军角弓不得控，都护铁衣冷难着。瀚海阑干百丈冰，愁云惨淡万里凝。中军置酒饮归客，胡琴琵琶与羌笛。纷纷暮雪下辕门，风掣红旗冻不翻。轮台东门送君去，去时雪满天山路。山回路转不见君，雪上空留马行处。《唐诗鉴赏辞典》：

此诗是一首咏雪送人之作。天宝十三载（754），岑参再度出塞，充任安西北庭节度使封常清的判官。武某或即其前任。为送他归京，写下此诗。“岑参兄弟皆好奇”（杜甫《渼陂行》），读此诗处处不要忽略一个“奇”字。此诗开篇就奇突。未及白雪而先传风声，所谓“笔所未到气已吞”──全是飞雪之精神。大5雪必随刮风而来，“北风卷地”四字，妙在由风而见雪。“白草”，据《汉书。西域传》颜师古注，乃西北一种草名，王先谦补注谓其性至坚韧。然经霜草脆，故能断折（如为春草则随风俯仰不可“折”）。“白草折”又显出风来势猛。八月秋高，而北地已满天飞雪。“胡天八月即飞雪”，一个“即”字，维妙维肖地写出由南方来的人少见多怪的惊奇口吻。塞外苦寒，北风一吹，大雪纷飞。诗人以“春风”使梨花盛开，比拟“北风”使雪花飞舞，极为新颖贴切。“忽如”二字下得甚妙，不仅写出了“胡天”变幻无常，大雪来得急骤，而且，再次传出了诗人惊喜好奇的神情。“千树万树梨花开”的壮美意境，颇富有浪漫色彩。南方人见过梨花盛开的景象，那雪白的花不仅是一朵一朵，而且是一团一团，花团锦簇，压枝欲低，与雪压冬林的景象极为神似。春风吹来梨花开，竟至“千树万树”，重叠的修辞表现出景象的繁荣壮丽。“春雪满空来，触处似花开”（东方虬《春雪》），也以花喻雪，匠心略同，但无论豪情与奇趣都得让此诗三分。诗人将春景比冬景，尤其将南方春景比北国冬景，几使人忘记奇寒而内心感到喜悦与温暖，着想、造境俱称奇绝。要品评这咏雪之千古名句，恰有一个成语──“妙手回春”。以写野外雪景作了漂亮的开端后，诗笔从帐外写到帐内。那片片飞“花”飘飘而来，穿帘入户，沾在幕帏上慢慢消融„„“散入珠帘湿罗幕”一语承上启下，转换自然从容，体物入微。“白雪”的影响侵入室内，倘是南方，穿“狐裘”必发炸热，而此地“狐裘不暖”，连裹着软和的“锦衾”也只觉单薄。“一身能擘五雕弧”的边将，居然拉不开角弓；平素是“将军金甲夜不脱”，而此时是“都护铁衣冷难着”。二句兼都护（镇边都护府的长官）将军言之，互文见义。这四句，有人认为表现着边地将士苦寒生活，仅着眼这几句，谁说不是？但从“白雪歌”歌咏的主题而言，这主要是通过人和人的感受，通过种种在南来人视为反常的情事写天气的奇寒，写白雪的威力。这真是一支白雪的赞歌呢。通过人的感受写严寒，手法又具体真切，不流于抽象概念。诗人对奇寒津津乐道，使人不觉其苦，反觉冷得新鲜，寒得有趣。这又是诗人“好奇”个性的表现。场景再次移到帐外，而且延伸向广远的沙漠和辽阔的天空：浩瀚的沙海，冰雪遍地；雪压冬云，浓重稠密，雪虽暂停，但看来天气不会在短期内好转。“瀚海阑干百丈冰，愁云惨淡万里凝”，二句以夸张笔墨，气势磅礴地勾出瑰奇壮丽的沙塞雪景，又为“武判官归京”安排了一个典型的送别环境。如此酷寒恶劣的天气，长途跋涉将是艰辛的呢。“愁”字隐约对离别分手作了暗示。于是写到中军帐（主帅营帐）置酒饮别的情景。如果说以上主要是咏雪而渐有寄情，以下则正写送别而以白雪为背景。“胡琴琵琶与羌笛”句，并列三种乐器而不写音乐本身，颇似笨拙，但仍能间接传达一种急管繁弦的场面，以及“总是关山旧别情”的意味。这些边地之器乐，对于送者能触动乡愁，于送别之外别有一番滋味。写饯宴给读者印象深刻而落墨不多，这也表明作者根据题意在用笔上分了主次详略。送客送出军门，时已黄昏，又见大雪纷飞。这时看见一个奇异景象：尽管风刮得挺猛，辕门上的红旗却一动也不动──它已被冰雪冻结了。这一生动而反常的细节再次传神地写出天气奇寒。而那白雪为背景上的鲜红一点，那冷色基调的画面上的一星暖色，反衬得整个境界更洁白，更寒冷；那雪花乱飞的空中不动的物象，又衬得整个画面更加生动。这是诗中又一处精彩的奇笔。送客送到路口，这是轮台东门。尽管依依不舍，毕竟是分手的时候了。大雪封山，路可怎么走啊！路转峰回，行人消失在雪地里，诗人还在深情地目送。这最后的几句是极其动人的，成为此诗出色的结尾，与开篇悉称。看着“雪上空留”的马蹄迹，他想些什么？是对行者难舍而生留恋，是为其“长路关山何时尽”而发愁，还是为自己归期未卜而惆怅？结束处有悠悠不尽之情，意境与汉代古诗“步出城东门，遥望江南路。前日风雪中，故人从此去”名句差近，但用在诗的结处，效果更见佳妙。6充满奇情妙思，是此诗主要的特色（这很能反映诗人创作个性）。作者用敏锐的观察力和感受力捕捉边塞奇观，笔力矫健，有大笔挥酒（如“瀚海”二句），有细节勾勒（如“风掣红旗冻不翻”），有真实生动的摹写，也有浪漫奇妙的想象（如“忽如”二句），再现了边地瑰丽的自然风光，充满浓郁的边地生活气息。全诗融合着强烈的主观感受，在歌咏自然风光的同时还表现了雪中送人的真挚情谊。诗情内涵丰富，意境鲜明独特，具有极强的艺术感染力。诗的语言明朗优美，又利用换韵与场景画面交替的配合，形成跌宕生姿的节奏旋律。诗中或二句一转韵，或四句一转韵，转韵时场景必更新：开篇入声起音陡促，与风狂雪猛画面配合；继而音韵轻柔舒缓，随即出现“春暖花开”的美景；以下又转沉滞紧涩，出现军中苦寒情事；末四句渐入徐缓，画面上出现渐行渐远的马蹄印迹，使人低回不已。全诗音情配合极佳，当得“有声画”的称誉。（周啸天）隋代虞世基《出塞》：“雾烽黯无色，霜旗冻不翻。”朝雾弥漫，烽火无光；露结为霜，旗冻不翻。岑参或取义于此。李白《蜀道难》：噫吁嚱，危乎高哉！蜀道之难难于上青天！蚕丛及鱼凫，开国何茫然！尔来四万八千岁，不与秦塞通人烟。西当太白有鸟道，可以横绝峨眉巅。地崩山摧壮士死，然后天梯石栈相钩连。上有六龙回日之高标，下有冲波逆折之回川。黄鹤之飞尚不得过，猿猱欲度愁攀援。青泥何盘盘，百步九折萦岩峦。扪参历井仰胁息，以手抚膺坐长叹。问君西游何时还？畏途巉岩不可攀。但见悲鸟号古木，雄飞雌从绕林间。又闻子规啼夜月，愁空山。蜀道之难难于上青天，使人听此凋朱颜！连峰去天不盈尺，枯松倒挂倚绝壁。飞湍瀑流争喧豗，砯崖转石万壑雷。其险也如此，嗟尔远道之人，胡为乎来哉！剑阁峥嵘而崔嵬，一夫当关，万夫莫开。所守或匪亲，化为狼与豺，朝避猛虎，夕避长蛇，磨牙吮血，杀人如麻。锦城虽云乐，不如早还家。蜀道