CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统

第五章

离散时间系统的相位、结构与逆系统物电学院1CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统引言本章在第二章的基础上继续讨论离散时间系统的分析问题。第二章主要讨论了离散时间系统的传输函数、频率响应，零极点分析，系统的结构。并重点讨论了系统的幅频特性及IIR系统的结构及实现，本章将讨论：离散时间系统的相频特性；FIR系统的线性相位特点；两种特殊的IIR系统：全通系统和最小相位系统；FIR系统的结构和实现；系统的Lattice结构；逆系统。2CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.1离散时间系统的频率响应系统的频率响应(公式略)包括幅频特性和相频特性。幅频特性反映了信号通过系统后各频率成分衰减情况。相频特性反映了信号的各频率成分经过系统后在时间上发生的位移情况。很多场合下，一个理想的离散时间系统（滤波器）除了具有希望的幅频特性外（如低通、带通、高通等），最好具有线性相位,即其中k为常数。产生什么效果？3CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.1离散时间系统的频率响应分析：现假设系统的幅频特性为1，考虑信号经过线性相位系统后的输出。设系统的输入序列为x(n)，则输出序列为y(n)的频率特性为由DTFT的性质可知输出序列此式说明，输出序列y(n)为输入序列为x(n)在时间上位移。结论当系统具有线性相位时，传输无失真（有一定的延迟）。4CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.1离散时间系统的频率响应图5.1.1给出x(n)和两种相位情况下的输出y(n),由图可见,当系统具有线性相位时,输出和输入仅在时间上移动了K个抽样周期;若系统不具有线性相位时,输出波形明显地发生失真。例定义系统的相位延迟(PD)5CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.1离散时间系统的频率响应6CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.1离散时间系统的频率响应线性相位的一般情况(群延迟仍为一个常数)定义系统的群延迟由上面的分析可知，线性相位的群延迟为一常数。可以将群延迟作为相频特性是否线性的度量，同时，它也表示了系统输出的延迟。例如对一个FIR系统的线性相位具有(其中N为h(n)的长度)7CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统若：其中ωC为信号的最高频,则可以证明：即：相位延迟反映了载波信号的延迟，而群延迟反映了输出包络的延迟。5.1离散时间系统的频率响应下面讨论FIR系统的线性相位特性零相位滤波问题!非因果系统因果系统8CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性数字滤波器的IIR和FIR两种，由于IIR系统的h(n)无限长，很难实现线性相位，反之，由于FIR系统的h(n)有限长，容易实现某种对称性，从而获得线性相位。结论：当FIR系统h(n)满足该系统具有线性相位。其中+表示偶对称，-表示奇对称。同时由于N可取奇或偶，共有四种情况，下面分析两种情况，余下两种请大家自己分析。9CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性h(n)=h(N-1-n)为偶对称h(n)=-h(N-n-1)为奇对称N为偶N为奇N为偶N为奇10CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性1、h(n)=h(N-1-n),且N为偶数11CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性令则系统的频率响应当取+号时12CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性系统的相频特性为当取-号时系统的相频特性为由以上分析可知，此时的FIR系统具有线性相位。13CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性同理可求出N奇数时系统的相频特性分别为偶对称奇对称通过以上分析可知，当FIRDF的抽样响应满足对称时，该滤波器具有线性相位，其中，当h(n)为奇对称时，通过滤波器的所有频率分量将产生90。的相移。14CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.2FIR系统的线性相位特性小结:上述四种FIR数字滤波器分别称为类型Ⅰ、类型Ⅱ、类型Ⅲ和类型Ⅳ。其相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。下面讨论具有线性相位FIR滤波器零点分布及幅频响应问题15CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析一、零点分析利用h(n)的对称性可知其中+表示偶对称，-表示奇对称。由上式容易可以看出H(Z-1)的零点也是H(Z)的零点。16CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析设H(Z)的一个零点为，当幅值和相角处在不同位置时，存在以下四种情况：下面分析这四种情况下的零点分布:总结分布特点17CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析①、情况一：分析：在这种情况下H（Z-1）的零点也是H（Z）的零点，同时，零点为复数，当成对出现，即此时有四个互为倒数的两组共轭对零点，如下图所示：18CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析②、情况二：分析：此时零点不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,如下图所示：19CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析③、情况三：分析：此时零点在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，如下图所示：20CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析④、情况四：分析：此时零点既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以以单出现，且只有两种可能，zk=1或zk=-1。如下图所示：21CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析通过以上分析可知，一个具有线性相位的FIRDF，其转移函数可表示为上述四情况的级联，即上述子传输函数分别对应四种情况下的一阶、二阶和四阶子系统。由于其均具有对称的系数，它们均为线性相位子系统。为实现H（Z）提供了方便，H（Z）各种情况下的零点位置示意图如下如所示。22CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析23CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析二、线性相位FIRDF幅频响应特点在一个FIR系统中，满足图5.3.1所示的对称性，称此进的H（Z）为镜像对称多项式（MIP），下面分析这引MIP在z=1或z=-1处幅频响应的特点。24CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析第一类FIRDF(偶对称,N为奇)的特点：●恒相时延，相位曲线是过原点的直线。●H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即Z=-1和1(或零点和л点)都能保证5.3.1式成立,л点相当模拟频率ƒ

s／2，或者说模拟频率的最高频(高频端),因此,此类FIRDF可灵活设置低通\高通和带通滤波器.25CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析第二类FIRDF(偶对称,N为偶)的特点：●恒相时延，相位曲线是过原点的直线。●H(1)=H(1),

H(-1)=-H(-1),即л点一定是幅度函数的零点,以保证对称性成立。л点是零点说明高端不通，所以这类FIR系统只能做低通和带通,不能设计高通和带阻滤波器.26CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析第三类FIRDF(奇对称,N为奇)

的特点：●恒群时延，有л/2附加相移，相位曲线是截距为л/2、斜率为-(N-1)/2的直线。●对零频和л频均为奇对称,

[H(ω)=-H(ω)]，即H(1)=-H(1)，H(-1)=-H(-1)，所以零频和л频都必须是H(ω)的零点，以保证对称性。所以这类FIR系统只能做带通。27CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析第四类FIRDF(奇对称,N为偶)的特点：●恒群时延，有л/2附加相移。相位曲线与第三类相同。●幅度曲线对原点奇对称，H(1)=-H(1)零频是的零点。幅度曲线对H(-1)=H(-1),即л点偶对称。所以这类FIR系统只能做高通和带通滤波器。28CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.3具有线性相位的FIR系统的零点分析小结：线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。29CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统一、全通系统全通系统在滤波器结构设计、多速率信号处理、滤波器组和信道相位均衡等设计中有广泛应用。如果一个因果系统的的幅频响应对所有频率都等于1或常数，即该系统称为全通系统。一个最简单的全通滤波器为纯延迟另一个一阶全通系统为极点和零点以单位圆镜像对称，通过幅频响应验证30CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统此时λ为小于1的实数。这种表示只能在求频响时使用。二阶全通系统：一对位于单位圆内的共轭极点，一对共轭零点和极点以单位圆为镜像对称。其幅频特性和相频特性分别为31CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统一个高阶的全通系统可表示为或表示为即对该全通系统，可以证明：32CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统全通系统的特点(1)全通系统是个IIR系统（不考虑纯延迟形式）;(2)全通系统的零极点数相同;(3)极零点以单位圆镜像对称（才能保证具有全通特性，即幅频响应为常数;(4)全通系统的所有零点均在单位圆外（为了保证系统稳定，极点在单位圆内，因此与其关于单位圆对称的零点只能在单位圆外）;(5)相频特性单调递减;(6)全延迟为正值。33CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统全通系统的应用(1)IIR系统的单位抽样响应无限长，无法对称，即无法作到线性相位。在实际中，可以用一个全通系统和IIR系统相级联，在不改变幅频响应的情况下对相频响应做矫正，使其接近线性相位;具体方法在最小相位系统中介绍。(2)全通系统还广泛应用在系统分析及一些特殊滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组）。34CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统一阶全通系统35CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统二、最小相位系统如果一个稳定的因果系统的所有零点均在单位圆内,则称系统为最小相位系统,若所有零点均在单位圆外,则称系统为最大相位系统,若单位圆内外均匀有零点称为混合系统。性质1

在一组具有相同幅频响应的因果的且是稳定的滤波器集合中，最小相位滤波器对于ω轴（零相位）具有最小的相位偏移。性质2

令h(n)为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单位抽样响应，hmin(n)是其中最小相位离散系统的单位抽样响应，并定义单位抽样响应的累积能量36CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统则该性质指出，最小相位系统的抽样响应的能量集中在n为较小值的范围内，也即在所有具有相同幅频响应的离散系统中，最小相位离散系统的单位抽样啊应h(n)具有最小的延迟。因此,hmin(n)也称为最小延迟序列。37CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统例5.4.338CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统例5.4.339CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.4全通系统与最小相位系统3性质4任何一个非最小相位的因果系统的转移函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成。即分析:略.40CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.5谱分解谱分解是信号处理中的一个重要概念，也是一个重要的算法。下面考虑具有线性相位系统（FIR）的谱分解，（谱分解同样适用于IIR系统）。如果有一个最小相位系统则我们可以得到与其具有相同幅频特性的一个最大相位系统和两个混合系统41CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.5谱分解假定我们定义则P(Z)具有线性相位，或是零相位。结论：这种线性相位系统可以分解为两个具有相同幅频特性的系统（最小相位系统，或最大相位系统，或混合系统）。问题是：若已知一个线性相位系统，能否得到一个最小相位系统，或最大相位系统，或混合系统？42CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.5谱分解（1）不是每一个线性相位系统都可以分解为两个具有相同幅频特性的系统（最小相位系统，或最大相位系统，或混合系统）。若已知一个线性相位系统在单位圆上没有零点，可以分解，若单位圆上有零点，只有零点是偶数倍的重零点时，才能分解。（2）一个线性相位系统可以分解为与上式不同的是，这种分解的零点不再互为镜像对称，因此，二者的幅频响应不同。43CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.5谱分解与上式不同的是，这种分解的零点不再互为镜像对称，因此，二者的幅频响应不同。44CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.8逆系统引入：考虑已知输入和系统，求输出，这一过程称为系统分析的正问题，在实际分析，存在的情况可能是输出已知，但输入和系统未知，需要求解的问题。反卷积：由系统的输出求解系统输入的过程。系统的辩识：由系统的输入和输出求解系统的抽样响应的过程。逆系统：考虑两个系统的级联，若则称两个系统互为逆系统。结论：只有最小相位系统存在逆系统。45CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.8逆系统假设现在已知输出求解系统，可采用下面的结构：若x(n)已知：调节H2(Z）,当其输出接近或等于x(n)时，则可得H1(Z)=1/H2(Z)。若x(n)未知：可令输入为单位抽样信号，则输出接近为单位抽样信号，同样可得上述结果。例5.8.1:略。46CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.8逆系统下面从时域和频域考虑反卷积和系统辩识问题。令LSI系统的H(Z)的输入和输出分别为x(n)和y(n)，则系统的输入和输出关系满足线性卷积，即47CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.8逆系统若已知系统的输入和输出，可以用类似的方法求解系统的单位抽样响应，即下面考虑频域求解48CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.8逆系统令分别为自相关和互相关函数。则存在以下关系49CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.8逆系统假设系统的输入信号功率谱为一常数K，则根据系统的自相关和互相关函数，可以确定系统的传递函数。50CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构引入：在第二章我们介绍了IIR系统的结构，这两节我们介绍FIR系统的结构以及FIR和IIR系统的Lattice结构。FIR系统的特点:(1)系统的单位冲激响应h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。51CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构考虑其不同的结构形式52CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构一、直接实现和级联实现1、直接实现形式直接利用FIR的差分方程或传输函数直接实现。…….b(2)b(1)b(0)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)bM)y(n)方框图53CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构直接形式的信号流图54CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构2、级联形式将FIR的传输函数分解为一阶或两阶FIR系统的级联形式，如下：这种级联结构如下所示：注:级联结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多。55CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构二、具有线性相位的FIR系统的结构前面已经证明：当h(n)＝土h(M一n)时，对应的FIR系统具有线性相位.考虑M为偶数(即M+1点),有56CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构注:线性相位结构可以节省M/2个乘法器.M为奇数M为偶数57CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构三、FIR系统的频率抽样实现给定一个FIR系统的单位抽样响应h(n)，n＝0，1，…，N一1，其转移函数和DFT分别是H(k）实际上为系统频率响应在单位圆上的N个等间隔抽样值。由前面的学习可知，可用H（K）来表示H（Z），即58CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构令则59CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.6FIR系统的结构把(5.6.5)式一(5.6.8)式的结构形式称为FIR系统的频率油样结构，如下图所示60CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构在数字信号处理中，格形（Lattice)网络起着重要的作用,它具有如下的特点:（1）由于它的模块化结构便于实现高速并行处理；（2）一个m阶格型滤波器可以产生从1阶到m阶的m个横向滤波器的输出性能；（3）它对有限字长的舍入误差不灵敏。

由于这些特点，使得它在现代功率谱估计、语音处理、自适应滤波、线性预测和逆滤波等方面已得到广泛应用。下面分别讨论全零点系统、全极点系统及极—零系统的Lattice结构。61CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构一、全零点系统(FIR)的Lattice结构一个M阶的FIR系统的转移函数H(z)为系数表示M阶FIR系统的第i个系数，式中假定H(z)=B(z)的首项系数等于1，该系统的lattice结构如图5.7.1所示。62CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构格形结构的特点：（1）、在FIR横向结构中有M个系数，共需M次乘法，M次延迟；在FIR的格型结构中也有M个参数ki(i=1,2,…M),ki称为反射系数，共需2M次乘法，M次延迟。（2）、信号传输从左到右，且信号传输只有正向通路，没有反馈通路，所以是一个FIR系统。（3）、由FIR的格形结构可看出：其基本单元如下所图5.7.2所示的蝶形单元，即其由M个格型网络蝶形单元级联而成。每个网络单元有两个输入端和两个输出端。63CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构FIR系统的Lattice结构基本网络单元64CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构每个网络单元的输入与输出的关系为：65CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构（4）、若定义那么Bm(z)和B~m(z)分别是由输入端x(n)至第m个基本单元后所对应系统的转移函数，其分别对应上端和下端输出。当m=M时，Bm(z)

＝B(z)

。Lattice结构有着非常规则的结构形式。66CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构分析思路：

对于格型结构，先讨论如何由横向结构的参量导出格型结构的参量；或由格型结构的参量如何导出横向结构的参量。即如何由给定的系数b(1)，b(2)，…，b(M)求出Lattice的参数k1，k2,…，KM。对单元网络的关系式作z变换67CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构对上式分别除以P0(z)和Q0(z)再代入Bm(z)、B~m(z)式，得：以上两式给出了格型结构中由低阶到高阶（或由高阶到低阶）系统函数的递推关系。68CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构由于上式中同时包含B(z)和B~(z)。69CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构这样，我们分别得到了由高阶至低阶，或从低阶到高阶转移函数的递推关系。这种递推关系中仅含有B(Z)。下面再给出km及滤波器系数之递推关系。将(5.7.3a)式关于Bm(z)，Bm-1(z)的定义分别代入(5.7.8a)及(5.7.8b)式，利用待定系数法，我们可得到如下两组递控关系:70CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构实际工作中，一般先给出H(z)=B(z)=Bm(z),可按以下步骤求出k1,k2,…kM。71CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构二、全极点系统(IIR)的Lattice结构

IIR滤波器的格型结构为全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。一个M阶的IIR系统的转移函数H(z)为72CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构全极点IIR系统格型结构的基本单元为：73CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构现在，我们利用前面的方法来导出图5.7.5所对应的转换函数及参数kl，k2，…，km。的求解方法。图5.7.5:全极点IIR系统的Lattice结构74CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构若令M=1,有75CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构由此类推,若定义这佯，一个全极点的IIR系统的Lattice结构，它正好是FIR系统的逆过程。由于两个结构的最基本的差分方程是一样的，所以IIR系统系数的求解方法同FIR系统Lattice结构的计算方法是一样的，区别只是特多项式的系数bm(i)换成am(i)。76CHP5离散时间系统的相位结构与逆系统5.7离散时间系统的Lattice结构我们可以利用滤波器的”求逆准则”,通过FIR来求解IIR的Lattice结构。77CHP5离散时间系统的相位