2021届高考数学（理）全真模拟卷03（理新课标Ⅱ卷）（解析版）

新高考全真模拟卷03（新课标II卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合A={x|-l<x<l},B={X|X-X2<0},则4口3=()。

A、{^|-l<x<0}

B、{无|一1<x<0或x=l}

C、{x|0<x<l}

D、{x|0<x<l}

【答案】A

【解析】x-x2<0,/.x(x-1)>0,解得xNl或x<0,

故3={x|xW0或xNl},则=—1<x«0},故选Ac

2.己知i为虚数单位，则上包=（）0

1-2/

A、—2—3z

B、-1-z

C、-1+i

D、3+2/

【答案】C

【解析】罟器署争一+,•'故选c。

3.下列说法错误的是（）。

A、“若x/2,则/一5X+6H0”的逆否命题是“若5x+6=0,则x=2"

B、“x>3”是“f-5尤+6>0”的充分不必要条件

C、“VxeR,》2一5犬+6片0''的否定是"HxbeR,京一5%+6=0”

D、命题“在锐角A4BC中，sinAvcosB"为真命题

【答案】D

【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知，A正确，

由x2-5x+6>0解得x<2或x>3,

“x>3”是“/―5x+6>0”的充分不必要条件，B正确,

;全称命题的否定是特称命题，C正确,

ITTTTTjr

锐角A43C中，A+B>-^->A>--B,AsinA>sin（--B）=cosB,D错误，

2222

故选D。

4.小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有8个

且是8种口味的小笼包，这8种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝土味、麻辣味，蒜香味、人参味，

酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻

的概率为（）。

A'

、

5X6

B

、28

【答案】B

【解析】将这8种口味的小笼包排成一排有履种排法，

人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻有魔种排法，

故所求概率为生£=-5-,故选B。

履28

x+2y>4

5.已知x、y满足约束条件<x-2y2-4,则目标函数z=16f+8X+4/2一4>-16何的取值范围是（）。

x<3

A、[-1,24]

B、[-4,8]

C、[T,48]

D、[-1,143]

【答案】D

【解析】z=16x2+Sx+4y2-4y-16xy=(4x-2y)2+2(4x-2y)

作图，令々=4x—2y,则y=2x-g&,做虚线y=2x,上下移动,

则过A(0,2)截距最大即%”=一4,过B(3,g)截距最小即Kax=11，

则转换为f(k)=k2+2k(-4<k<ll),求f(k)值域,

・・./(4)=(4+1)2-1,最小为—1,最大值为143,故选D。

6.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相

等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为的圆柱,

l则该圆柱的表

2

面积与其内切球的表面积之比为()。

A、4：3

B、3:2

C、2:1

D、8:3

【答案】B

【解析】设内切球的半径为R，则圆柱的面半径为高为2H，

22

故圆柱的表面积M=2TIR2+2兀R♦2R=6K/?,内切球的表面积S2=4TIR,

・・・该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为垦="=°,故选Bo

2

S24TC/?2

7.己知3+2正尸的展开式中的常数项为-1,则-的系数为()。

A、-560

B、-280

C、280

D、560

【答案】A

r

1

【解析】(«+26)7的展开式的通项公式为7；.+|=C；.a，T-

・・•常数项，・・・〃=(),.••常数项为。卜/.2°二-1,解得。二一1,

VX1,・・.厂=4，.・・/的系数为•(一1)3"=-56(),故选A。

8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=l,则输入的S=()o

2

A、

3

B、

2

C、1

D、V3

/卷

【答案】AI

.71

sin-]

【解析】Z=l,a=—,S=—6=—,i"否,

6S2S

.兀

sin-

兀c冗

i=2,a=—x2=一S=—p.=V35,124否,

63

2S

.Tt

兀「兀sin—]

i=3,a=—x3=—S=一产2=―――,，之4否,

62V3SV3S

.271

?sin—Q

i=4,a=—x4=—»S=—=—5-iN4是，退出循环,

6312

V3S

32

则一S=l,S=~,故选A。

23

9.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”。庙会大多在春节、元宵节等节日举行。庙

会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如"砸金蛋''(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)。今年春

节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会。游戏开始前，甲、

乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖"；鱼*

乙说：“丁能中奖“；火与7

丙说：“我或乙能中奖"；'

丁说：“甲不能中奖‘‘；

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学

是()。

A、甲B、乙C、丙D、丁

【答案】A

【解析】由四人的预测可得下表：

预测结果

甲乙丙T

甲XXX

中

乙4X7

奖

丙XX7

人

TXqX

(1)若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意，

(2)若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意，

(3)若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意，

(4)若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意，

故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故应选A。

10.己知A、B、C、。四点在同一个球面上，且AB、AC,两两垂直，当AABC、AACO与AAQB

面积之和的最大值为32时，该球的表面积为()。

A、32K

B、64TI

C、96K

D、128K

【答案】B

【解析】设A8=x、AC=y.AO=z,则AA8C、AAC。与AAOB面积之和为gxy+gxz+gyz,

i^.—xy+—xz+—yz的最大值为32,

222-

222

又及+底JU1X+Z

-+------+

222222

当且仅当X=y=Z时等号成立，即Lx2+y2+z2)=32,即x2+y2+z2=64,

：A、B、C、。四点所在的同一个球即以A3、AC、AO为邻边的长方体的外接球,

该球的直径2R=+,2+z2=8,则该球的表面积S球=4兀/=的兀，故选B。

11.已知在数列｛%｝中，a,=4,02=6,且当“N2时,an+l=4a„-9,若7；为数列｛〃｝的前十项和,

2=9(%-3),则当大=5应用一3).(?一7；)为整数时，入〃=()。

%,a,+i8

A、6

B、12

C、20

D、24

【答案】A

【解析】当〃22时，an+{=4an-9,得4〃+]-3=4(。〃一3),又生=6,

・・・{4-3}从第二项开始是首项为3,公比为4的等比数列，

4,n=1

；・4-3=3x4"-2(^>2),an=

3X4"2+3,n>2

3715

当〃=1时-，工=4=]，九=5(%—3)・(1—7；)=万/Z,不符合题意，

w…；3x4""11

当〃N2时，b=---z-----------：------=—z-------------：,

(4"-2+1)(4〃7+1)4〃-2+14"T+1

31171

••T=bi+Z?2+…+2=—H(-7T-2------------；------)=----------：>

'842-2+14'"'+184"~'+1

则九=5x3x4"Tx二一=15-一空一，由九为整数可知41+1是15的因数,

4…14"-'+1

二当且仅当〃=2时入可取整数，入=12,入〃=24，故选D。

12.已知函数/(x)=e-'与函数g(x)=f+or(-eWxW,)的图像上存在关于直线y=r对称的点，则实

e

数。的取值范围是()o

Ar11

A、\c—,c]

e

B、[e——,e+-]

ee

C>[1,e--]

e

D>[1,e+-]

e

【答案】D

【解析】设g(x)上的点(x,X2+ar),则该点关于>=-x对称的点为(--一37)一定在/(X)上，

则—x=取，即。=蚂且二二在—上有解，

xe

设心)=则“(X)二匕匕蛉粗，

XX

设(p(x)=l—工2_]n(-x),且(p(—1)=0,(pz(x)=-2%--,当x£[-e,—‘[时(p’(x)>。，

xe

当xc|-e,-1)时(p(x)<0,hXx)<0,//(x)在[-6,-1)上单调递减，

当xw[~e,~~]时(p(x)>0，”(x)>0，h(x)在[-e,-―上单调递增，

ee

.・・当x=-l时/?(x)取极小值也是最小值，/?(-1)=1,

又h(-e)=e--,h(--)=e+LKe+—>e--,

eeeee

••・/7(工)在[一6,-1]上的值域为[1,e+-],故选D。

ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量〃=(3,-2),B=(l,x),且。一9与2。十疗平行，那么x=o

2

【答案】--

3

【解析】Va-b=(2-2-x)>2。+否=(7,—4+x),且。一%与2a+b平行，

,2

2x(-4+x)=(-2-x)x7,解得工=一1o

14.在三棱锥P—A8c中，PA±AC,BCVAC,PA=l,PB=&NAPC=45°,ZBAC=60°,则

异面直线AB与PC所成的角的余弦值为

【答案】—

4

【解析】如图，由已知条件，将三棱锥尸—ABC补为长方体M4CB—NPQO,连接3N、AN,

由于PC//BN、则NNB4是异面直线A8和PC所成的角,

由已知得AC=AP=1,又在ArAABC中，/84C=60°

:.BC=6，AB=2,在A4N5中，NB=y[i、NA=2,

2

/MDANB~+AB—NA~5/2

由余弦定理可得cos/NBA=--------------=——。

2NB-AB4

15.已知｛七｝为等差数列，at+03+6/5=156,%+为+/二口？，｛““｝的前”项和为S“，则使得S“达到

最大值时n是«

【答案】20

［解析］设等差数列仅“｝的公差为d,

由4+%+%=156、/+4+4=147两式做差得3d=—9,，d=—3,

数列｛4｝单调递减,又.+%+%=3%+6d=3q-18=156解得q=58,

Z.an=ax+｛n-i)d=58-3(/J-1)=61-3n,由a“>0得61—3〃>0,即“420,

%0>()、。21<0，；•当〃=20时S”取得最大值。

16.已知点M为双曲线C：「―斗=1(〃>0,8>0)在第一象限上一点，点/为双曲线C的右焦点，0

ab~

为坐标原点，4\MO\=4\MF\^7\OF\,则双曲线C的离心率为；若MF、分别交双曲线C于

P、。两点，记直线与PQ的斜率分别为勺、k2,则占-％2=。(本题第一空2分，第二空3

分)

【答案】415

【解析】设知(玉)，%),则41Moi=41^1=710/^=7。，则Xo=］,%=JM0『_(岩」2=当£,

即当£),将其代入双曲线方程得：后■一焉=1,^4b2c2-45a2c2=16a2h2,

24224422

又〃2=c一4c-442c2—45a2c2=i6ac-16a,即4c-65ac+16/=0,

两边同除以d得4e4-65e2+16=0,即(4e2-l)(e2-16)=0,

解得$二16或e?=L又ew(L+8),e=4；

4

设尸⑶力又。Ef)，则也『自.牖二耨

将点P、M的坐标分别代入双曲线方程得“，",,

22

9_生=1

两式做差得：士一^T=—7=-一出-=/-1=15,故人［•42=15。

%：-君a2a2

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)

Jr7F

平面四边形A5CO中，ZABC^-,AADC=-,BC=2。

32

⑴若A43C的周长为6,求A3。

TT

(2)若A8=l,ZACO=—，求四边形ABC。的面积。

JT

【解析】(1)在A4BC中，VBC=2,ZABC=-,A43C的周长为6,A8+AC=4,1分

3

又由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=AB2-2AB+4,3分

则将AC=4—AB代入得AB=2；5分

(2)在A4BC中，由余弦定理得：AC2=AB-+BC2-2AB-BCcosZABC=3,7分

.•.AC=Q,乂ZAC。」,ZADC=~,：.AD=—,CD=-,9分

6222

四边形的面积

ABCDS=S,CD+SMBC^^ADCD+^AB-BCsinZABC

18.(12分)

如图所示，在多面体A3CDEE中，四边形ABC。为正方形，四边形ACEF为矩形，平面ACEPJ•平面

ABCD,且A8=”=L

(1)求证：8EJ•平面CDR；

(2)求二面角8-£尸一。的余弦值。

【解析】；平面ACEF_L平面A6CZ),平面ACEEA平面AB8=AC，

又：四边形ABC。为正方形，四边形ACE/为矩形，

AAFVAC,；.A/7,平面ABC。，/.ABYAD,2分

...以A为原点，以⑷3、AD.AP为x、y、z轴建系，

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,1,0),尸(0,0,1),£(1,1,1),3分

(1)证明：BE=(0,1,1),CD=(-1,0,0),CF=(-1,-1,1),则而•而=0,BECF=0,

则3E_LCO，BELCF,又CDPlCF=C,

CD、CFu平面CDF,BE_L平面CDF；5分

(2)解：设平面BEF的法向量为蔡=(孙必,4)，设平面。的法向量为5=(々，为，Z2)，

BE=(0,1,1),EF=(-1,-1,0),£F=(-1,-1,0),fT=(1,1,-1),

m-BE=y+Z[=0

<n-EF=一々一%=0

一，=0

m-EF=-xln-FC=x2+y2-z2=0

令X]=1,则y=-1,Z)=1令々=1,y2=-1»z2=0，9分

』一,0),则8s<嬴>=部邛

则加=(1,-1,1),

设二面角8—防—C的平面角为0,经观察。为锐角，则COS0=］8S<£7>|=¥

二二面角8—昉—c的余弦值为ge。

12分

3

19.(12分)

某地区为了了解人民群众对新型冠状病毒肺炎认知情况，调查了年龄在［15,65)的人群，通过调查数据表明,

新型冠状病毒肺炎的感染是人民群众较为关心的问题，参与调查的人群中能自觉隔离防控新型冠状病毒肺

炎的约占80%。现从参与调查并关注新型冠状病毒肺炎问题的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄

分组第一组口5,25),第二组［25,35),第三组［35,45),第四组［45,55),第五组［55,65),得到了如图所示的

(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；

(2)现在要从年龄较大的第4、5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行访谈，求

第4组恰好抽到2人的概率；

(3)若从众多参与调查的人中任意选出3人，设能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的人数为随机变量X,求

X的分布列与数学期望。

【解析】(1)由10x(0.010+0.015+4+0.030+0.010)=1,#a=0.035,1分

.•.平均数为20x0.1+30x0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5(岁)，2分

设中位数为x岁，则10X0.010+10X0.015+(X-35)X0.035=0.5,解得x«42.1,

即中位数约为42.1岁；3分

(2)第4、5组抽取的人数分别为6人、2人，4分

设第4组恰好抽到2人为事件A,则P(A)=C*="；5分

以28

4

(3)从众多参与调查的人中任意选出1人，能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的概率为2，

X可取0、1、2、3,服从X〜仇3令，7分

则P(X=0)=C}(：)°.(l_g)3=击，p(X=l)=G・(：)L(l—：产=蒜，9分

尸(X=2)=*专户(1一如冷尸('=3)=原号)3.(1一$=哉,卜分

则X的分布列为：

X

0123

1124864

P125125125125

E(X)=3xg=*

12分

20.(12分)

已知函数/(x)=6,g(x)=a-lnxfawR。

(1)设函数〃(幻=/(x)-g(x),当〃(x)存在最小值时，求其最小值吹。)的解析式；

(2)对(1)中的<p(a)和任意的a>0、b>0,证明：0(”2)4&幽±幽4少，(2±)。

22a+b

]ara

【解析】(l)%(x)=«-aJnx,h(x)的定义域为(0,+8),，/(x)=--=——=-------,1分

2Txx2x

①当Q>0时，令〃(尤)=0,解得x=4/,

・,•当0<工<4々2时，/(%)<(),〃3)在(0,4/)上递减，

当x>4〃2时，h'(x)>0,7?(x)在(4〃2,+8)匕递增，

尤=4〃是人(幻在(0,+oo)上的唯一极值点，从而也是的最小值点，

，最小值(p(a)=〃(a2)=2a-aln4a2=2«(1-In2a),4分

②当a<0时，〃'(x)>0恒成立，/z(x)在(0,+oo)上递增，无最小值，

故h(x)的最小值中⑷的解析式为(p(〃)=2^(1-In2a)(。>0)；6分

⑵由⑴知（p（a）=-21n2a,对任意的。＞0、b＞0,

（p'（a）+（p'3）21n2。+21n2。..,。八

-=-----------------------=-ln4ab，①；8分

22

=-2In（2x~~~）=-\n（a+b）2<-In4ab,②9分

（p（二吃）=-21n（2x之叫）>-2In4c=-2In2yfab=-ln4ab，③10分

a+ba+h2\jab

故由①©③得C（空2）<攻④虫⑵<tpX—）o12分

22a+b

21.（12分）

22

直角坐标系中，已知椭圆「：三+的左，有焦点分别为片、为。外的中点，过作直

xQy1"=1F2,MM

线交椭圆于A、B两点,过M作另直线交椭圆于C、。两点。

（1）判断以A6为直径的圆是否经过耳，若经过，请求出此时A8的斜率，若不经过请说明理由；

若、再、三点共线，设直线与直线的斜率存在且分别为匕、试问已是否为常数，若

（2）ACAC80k2,

%

是，求出常数的值；若不是，请说明理由。

【解析】（1）由题意可知c=Jq2-〃==？=2,...右焦点为（2,0）,M（l,0）,1分

①当A8斜率不存在时，A8方程为x=l,43=驾°,〃6=3,

...以A3为直径的圆不经过旺，2分

②当AB斜率存在时，设点4斗必）、5（々，为），设直线方程为y=Mx—D，3分

y=k（x-1）

联立，/y2得：（5+9/）/—18/X+9A：2-45=0,△＞（）恒成立，

18P2k2-45

则Xy+X-x-x=94分

25+9/l25+9k2

假设以AB为直径的圆经过耳（-2,0）,则不•而=0,

二（％+2,%）・（*2+2,%）=（xi+2＞（々+2）+%・%=0，

即（左2+1）玉/2+（2-左2）（芭+芍）+々2+4=0,

整理得：伏"＞鳌含+（2"）・鉴+/+4=。,

即（42+1）.（242_45）+（2—女2）.18d+（42+4）.（5+9&2）=0,

解得41k2—25=0,k=±^­,

41

综上，存在以A8为直径的圆经过6,且此时AB的斜率为氏=士上乎,

6分

⑵设A（孙当）、典孙乃）、C03,%）、。（刈乂），则AM的方程为x=±」y+l,7分

Xj—11

x=———y+1

5—Xi2X1—1八

联立,”,得:―L-/+-1——y-A4=0,

22r

xy1

—+—=1

195

%=二^",可得芍=西二

9分

5-Xj%1-5

即以々,为）=（网同理可得。（①4，且三），

石一5石一5Xy—5Xy—5

；A、6、C三点共线，；.』-=-^2-,整理得西=2（弘一为），10分

国+2x3+2

鼠二%一%二为一5七一5=4（西内一$日）+20（凶一%）=7（力一%）=7）,

21

x2-x45再-95巧-916（X1-x3）4（x）-x3）4

Xj—5巧—5

综上，为常数冬,常数为12分

匕4

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线G：4x=一2cos,0（0为参数），在以。为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标

y=sin。

系中，曲线C2：p-（cos0-sin0）=4o

⑴写出曲线G和G的普通方程；

（2）若曲线G上有一动点M，曲线G上有一动点N，求使|MN|最小时M点的坐标。

2

【解析】⑴由题意可知曲线G为椭圆，G的普通方程为：—+/=1-2分

4

曲线G为直线，G的普通方程为：x-y-4=0；4分

（2）结合图形可知：最小值即为点M到直线。2的距离的最小值，

设A/（2cos0,sin0），

12cos0-sin0-4||4+V5sin(0-(p)l

则M到直线的距离d=，其中tan（p=2，6分