弹性力学问题

弹性力学问题第1页，课件共27页，创作于2023年2月目录§5.1

弹性力学基本方程§5.2

问题的提法§5.3

弹性力学问题的基本解法解的唯一性§5.4

圣文南原理§5.5

叠加原理第2页，课件共27页，创作于2023年2月总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。§5.1

弹性力学基本方程第3页，课件共27页，创作于2023年2月弹性力学基本方程1.平衡微分方程2.几何方程

§5.1基本方程2第4页，课件共27页，创作于2023年2月3.变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。§5.1基本方程3第5页，课件共27页，创作于2023年2月本构方程——广义胡克定律

应力表示

应变表示

基本方程：平衡微分方程；几何方程和本构方程以及变形协调方程。§5.1基本方程4第6页，课件共27页，创作于2023年2月边界条件若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知则面力边界条件为：若物体表面的位移已知，则位移边界条件为

若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件§5.1基本方程5第7页，课件共27页，创作于2023年2月

总结：弹性力学基本方程和边界条件§5.1基本方程6第8页，课件共27页，创作于2023年2月弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。§5.2

问题的提法第9页，课件共27页，创作于2023年2月在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。§5.2问题提法2第10页，课件共27页，创作于2023年2月第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。§5.2问题提法3第11页，课件共27页，创作于2023年2月位移解法

——以位移函数作为基本未知量应力解法

——以应力函数作为基本未知量混合解法

——以部分位移和部分应力分量作为基本未知量§5.2问题提法4第12页，课件共27页，创作于2023年2月§5.3

弹性力学问题基本解法解的唯一性选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。主要工作：

利用位移函数u,v,w表达其他未知量；推导位移函数描述的基本方程——位移表达的平衡微分方程第13页，课件共27页，创作于2023年2月位移解法的基本未知量为3个位移函数基本方程为3个拉梅方程对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。§5.3基本解法2第14页，课件共27页，创作于2023年2月但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂这一边界条件几乎不可能实现

§5.3基本解法3第15页，课件共27页，创作于2023年2月总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

§5.3基本解法4第16页，课件共27页，创作于2023年2月应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法应力解法的基本方程

1.平衡微分方程

2.变形协调方程§5.3基本解法5第17页，课件共27页，创作于2023年2月应力解法的基本未知量为6个应力分量；基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。应力解法适用于面力边界条件。总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。

§5.3基本解法6第18页，课件共27页，创作于2023年2月混合解法根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。§5.3基本解法7第19页，课件共27页，创作于2023年2月

解的唯一性原理——弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。证明1 2§5.3基本解法8第20页，课件共27页，创作于2023年2月弹性力学的基本未知量位移、应力和应变等在体力为常量时具有一些特性。掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力学问题。物理量特性体力为常量时一些物理量的特性§5.3基本解法9第21页，课件共27页，创作于2023年2月体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace)方程。体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程，位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。§5.3基本解法10第22页，课件共27页，创作于2023年2月

局部影响原理——物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。证明1 2§5.4

圣文南原理第23页，课件共27页，创作于2023年2月解的叠加原理——

小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。§5.5

叠加原理第24页，课件共27页，创作于2023年2月逆解法——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。§5.5叠加原理2第25页，课件共27页，创作于2023年2月半逆解法——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。§5.5叠加原理