2022-2023学年湖南省娄底市外国语学院高三数学文模拟试题含解析

2022-2023学年湖南省娄底市外国语学院高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.2.已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈．当1＜a＜2时，则函数f（x）极值点个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合法；导数的概念及应用．分析：先判定该函数为偶函数，再通过运算得出x=0为函数的一个极值点，最后再判断函数在（0，）有一个极值点．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）为偶函数，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0为函数的一个极值点，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），则f''（0）=2﹣a＞0，故函数f'（x）在x=0附近是单调递增的，且f'（）=1﹣a＜0，结合①，根据函数零点的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，显然，此时x=m就是函数f（x）的一个极值点，再根据f（x）为偶函数，所以f（x）在（﹣，0）也必有一个极值点，综合以上分析得，f（x）在共有三个极值，故选C．点评：本题主要考查了函数的极值，以及运用导数研究函数的单调性和函数零点的判定，属于中档题3.（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1参考答案：A【考点】：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】：计算题．【分析】：根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】：此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．4.把函数的图象上所有点先按向量平移，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（

）A.，

B.，C.，

D.，参考答案：C5.如图，在一个上底无盖的圆台形容器上放置一个球体，已知圆台上、下底面半径分别为，，母线长，球的最低点距圆台下底面，则球的表面积为(

)A. B. C. D.参考答案：B易求上底面圆心至球最低点距离为，则，得，，故选B．6.曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为（）(A)

(B)

(C)

(D)1参考答案：A7.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案： A9.已知定义在上的函数，满足，若函数的图象关于直线对称，且，则（

）A.2

B.3

C.4

D.6参考答案：A10.已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，其底面边长为3，E，F，G分别为侧棱AB，AC，AD的中点.若O在三棱锥A-BCD内，且三棱锥A-BCD的体积是三棱锥O-BCD体积的3倍，则平面EFG截球O所得截面的面积为（

）A. B. C. D.4π参考答案：A【分析】是底面的中心，则在上，而由得，与平面交于点，是过平面的截面圆圆心，在中由勾股定理求得，再由截面圆性质可求得截面圆半径．【详解】如图，是底面的中心，则在上，而由得，设，则，又，是中心，则，∴由得，解得，设与平面交于点，∵分别是的中点，则是的中点，∴，，设平面截球所得截面圆半径为，则，∴此圆面积为．故选A．

【点睛】本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则的最小值是______.参考答案：-3【分析】设，根据约束条件画出可行域，可知取最小值时，在轴截距最大；由图象可知当过时截距最大，求出点坐标，代入可得结果.【详解】设，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则取最小值时，在轴截距最大由图象可知，当过时，截距最大由得：，即本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.12.如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为

；参考答案：13.若,,则的取值范围是_________________.参考答案：

(或等14.设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________________.参考答案：【知识点】二次函数的性质．B5

解析：由题意得，由得：在R上恒成立，等价于＞0且，可解得，则：，令，（＞0）,故最大值为.【思路点拨】由已知可得在R上恒成立，等价于＞0且，，进而利用基本不等式可得的最大值．15.已知，则=

。参考答案：516.已知函数，若实数满足，，则的最小值为_____．参考答案：【分析】利用得到后可得的最小值.【详解】因为，故，化简得到，所以或，整理得到或（舍），的最小值为.填.【点睛】一般地，若，则或，；若，则或，.17.已知实数满足，则的最大值是________.参考答案：试题分析：如图作出所给约束条件对应的可行域，根据图象易知当目标函数经过A点时，取得最大值-1.考点：简单的线性规划三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间.参考答案：【考点】三角函数的求值，图象及其性质。解析： ＝119.（15分）（2015?浙江模拟）等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．参考答案：【考点】：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）由FG⊥平面ACE，可得FG⊥AE，由CF⊥AF，CF⊥EF，可得CF⊥平面AEF，可得CF⊥AE，AE⊥平面ACF，即可证明；（II）如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A，，D（0，0，2），G．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，设DG与平面ACE所成角为θ，利用sinθ==即可得出．（I）证明：∵FG⊥平面ACE，∴FG⊥AE，∵CF⊥AF，CF⊥EF，AF∩EF=F，∴CF⊥平面AEF，∴CF⊥AE，又FG∩CF=F，∴AE⊥平面ACF，∴AE⊥AF；（II）解：如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A，，D（0，0，2），利用三角形中位线定理与等腰直角三角形的性质可得：G．∴=，=，=．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，令y=﹣1，解得x=1，z=．∴=．设DG与平面ACE所成角为θ．则sinθ====．【点评】：本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知向量，，函数．⑴求函数在区间上的最大值；⑵若的角、所对的边分别为、，，，，求的值．ks5u参考答案：解：⑴依题意，……2分，……3分，，则，……4分，所以，函数在区间上的最大值为……5分⑵由得……6分，由得……7分，从而……8分，因为，所以……9分，由正弦定理得……11分，所以，……12分．略21.数列中，前项和满足：.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令,数列{}的前项和为.求证:,.参考答案：(1)当时,.

所以（）

又，

综上,数列的