大气运动的基本方程组

大气运动的基本方程组1第1页，课件共57页，创作于2023年2月

§1.1运动学基础一、标量场的空间变化1、位置矢量：空间上的任一点M(x，y，z)的位置则可用一个位置矢量表示：

空间上位置的变化可用位置矢量的改变量（位移矢量）表示：

2第2页，课件共57页，创作于2023年2月2、标量场的梯度

任一标量场(以气压场p为例)可表为空间点和时间的函数：

考虑某一指定时刻(t=t0

)气压p在某一点的邻域的空间变化，则p可视为只是空间变量的函数，其空间微分可表为：

定义：为气压梯度。

梯度算子（符）：3第3页，课件共57页，创作于2023年2月

气压p沿

（或

）方向的方向导数可表为：

此式清楚地表明了气压空间变化与气压梯度的关系：当＝0时，即p的方向导数取得最大正值；当＝/2时，4第4页，课件共57页，创作于2023年2月三、场变量的时间变化1、局地时间变化率

当考察在空间某个固定点（位置矢为

）上一个场变量随时间t的变化时，所测得(或观测到)的变化称为该场变量在该地点上的局地（时间）变化。

场变量F（

，t）在点

上的局地变化率(单位时间内的变化量)可定量地表为：2、个别时间变化率

个别变化率是指跟随某个“动点”（如移动的飞机、车、5第5页，课件共57页，创作于2023年2月

船、空气质点或天气系统中的特性点等）在运动过程中所历经（或测得）某物理量F随时间的变化率。

其数学表达式可写为：

与局地变化率不同，它是物理量在不同地点、不同时刻的变化率。3、平流变化率

改写个别变化率的表达式：

＋局地时间变化率6第6页，课件共57页，创作于2023年2月右边第二项的分子可表为：取(同时有)的极限：

平流变化率

其中：为动点的位置矢的时间变化率，也称为平流速度。F的个别变化率等于其局地变化率与平流变化率之和。当动点就是空气质点时，气象上通常用表示空气运动的速度：

7第7页，课件共57页，创作于2023年2月其中：这样有：上式可以看成是“个别微分算子”：作用于场变量F的结果。若令F=T,T为气温,则由上式有：这是局地温度的预报方程。左边代表局地的温度变化率，右边的项可视为影响局地温度变化的强迫因子。

8第8页，课件共57页，创作于2023年2月上式右边第二项（）称为温度平流。当<0时,称为冷平流

，可造成降温：当>0时,称为暖平流

，可造成升温：

T-T+T-T+

冷平流

暖平流例题20第9页，课件共57页，创作于2023年2月三、速度场的散度和涡度1、速度散度和连续方程1）速度散度考虑表面积为S、体积为τ的空气块（如图），由于其表面上各点的速度分布不均匀而引起的体积变化率

高斯公式其中：速度散度第10页，课件共57页，创作于2023年2月考虑气块体积趋于零有：速度散度的物理意义：空气微团体积的相对变化率。当垂直速度为零时，空气运动为水平运动，空气微团的体积变化率退化为水平面积(A)的变化率：

辐散辐合第11页，课件共57页，创作于2023年2月2）连续方程3）气压倾向方程（P10）

第12页，课件共57页，创作于2023年2月2、速度场的涡度

1）涡度：是用来描述空气微团的旋转特性：x分量y分量z分量第13页，课件共57页，创作于2023年2月第14页，课件共57页，创作于2023年2月

对于大尺度运动，垂直方向的涡度分量是主要的，天气学上常常主要考虑垂直涡度分量z，并且约定：在北半球：ζ>0，称之为气旋式涡度，

ζ<0，称之为反气旋式涡度在南半球，情况则相反：当ζ>0(ζ<0)时，称之为反气旋式（气旋式）涡度。2）速度环流沿闭合曲线L的速度环流定义为：第15页，课件共57页，创作于2023年2月速度环流的物理含义：围线L上的一群空气质点沿L方向运动的总体（积分）趋势的一种定量量度。在北半球，当C>0(C<0)时，气象上称之为气旋式（反气旋式）环流。

3）速度环流与涡度的关系计算沿围线ABCD的速度环流：AB:BC:CD:DA:第16页，课件共57页，创作于2023年2月沿围线ABCD的总速度环流则为:

由此有

:ζ为矩形中心点处的铅直涡度分量，为矩形ABCD的面积。当矩形面积趋于零，取极限则有

可见，铅直涡度分量ζ可解释为水平围线上的速度环流在面积趋于零时的极限，或者说是单位面积上的速度环流。第17页，课件共57页，创作于2023年2月§1.2旋转坐标系中的大气运动方程1惯性坐标系与非惯性坐标系

牛顿第二定律只适用于某种特定的坐标系（或参照系）。按牛顿第二定律是否成立，可将坐标系分成：

绝对（静止）坐标系：能使牛顿第二定律成立的坐标系。在这种坐标系中，牛顿惯性定律亦成立，故又称之为惯性坐标系。相对于惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系仍是惯性坐标系。

相对坐标系：相对于惯性坐标系作加速运动的坐标系，也称非惯性坐标系。

第18页，课件共57页，创作于2023年2月在气象学上：1）通常将相对于恒星静止、不随地球自转的坐标系称为绝对坐标系（惯性坐标系或“静止”坐标系），在绝对坐标系中观测到的大气运动称为绝对运动；并且，通常略去地球绕太阳公转引起的加速度(≈6×10-3m/s2)；2）将固定于地球上、跟随地球自转一起转动的坐标系称为相对坐标系（旋转坐标系），它是一种非惯性坐标系,在此坐标系中观测到的大气运动称为相对运动。

2惯性坐标系中的运动方程

在惯性坐标系中，按牛顿第二运动定律，单位质量空气徽团的运动方程可表

第19页，课件共57页，创作于2023年2月

上式是在绝对坐标系中，单位质量空气微团所遵从的运动方程，有时称为绝对运动方程。但是，由于在地球坐标系中（例如地球上的测站）无法直接观测到绝对速度和绝对加速度，只能观测到相对速度和相对加速度。因此，上式并不能直接用于研究地球大气运动。

找出绝对速度与相对速度以及绝对加速度与相对加速度的关系？3

两种坐标系中的速度和加速度的关系

第20页，课件共57页，创作于2023年2月绝对位移相对位移第21页，课件共57页，创作于2023年2月若将由于地球自转引起p点的移动速度（称为牵连速度）记为，则p点的牵连位移为

空气微团的绝对位移等于其相对位移与牵连位移之向量和若用除上式两端，并取趋于零的极限，则有

即

绝对速度与相对速度的关系第22页，课件共57页，创作于2023年2月位于纬度处的空气质点的牵连速度就是该质点随地球自转时在纬圈平面上以角速度作匀速圆周运动的线速度：（推导）于是有：和从个别变化率的定义出发，可直接证明，对于任一标量F,绝对坐标系中的个别变化率等于相对坐标系中的个别变化率：空气质点的牵连速度作业：习题21，29第23页，课件共57页，创作于2023年2月证明：对任意矢量，成立。第24页，课件共57页，创作于2023年2月令：有：（推导）即表述绝对加速度与相对加速度关系的定量关系式。绝对加速度等于相对加速度加上两个由于坐标系旋转而引起的附加加速度：

1）科里奥利（Coriolis）加速度：

2）向心加速度：通过已经确定了旋转坐标系中的相对速度与绝对速度以及相对加速度与绝对加速度的定量关系，那么我们就完全可以通过地球上探测到的风速（相对速度）来定量地表述绝对速度和绝对加速度。因而，我们可以进一步导出便于直接用于研究地球大气运动规律的运动方程———旋坐标系中的运动方程（相对运动方程）。第25页，课件共57页，创作于2023年2月4、相对运动方程

在等号的不同边，或称“惯性力”，或称“加速度”第26页，课件共57页，创作于2023年2月5、作用于空气微团上的作用力1）气压梯度力考虑右图空气块所受压力：于是，对单位质量的空气小体而言，在x方向上所受压力的合力为：第27页，课件共57页，创作于2023年2月Y方向的合力：Z方向的合力：综合起来，单位质量空气小体所受总的压力合力即气压梯度力为气压梯度力的性质：1）气压梯度力的方向与气压梯度的方向相反，即与等压面（线）垂直、指向气压降低的方向；2）气压梯度力的大小与气压梯度的大小成正比，与空气密度成反比。

第28页，课件共57页，创作于2023年2月2)科里奥利（Coriolis）力:

它的存在条件：0（旋转）；0，即有相对于地球的运动。科氏力（地转偏向力）的性质：

i)－－即科氏力一定在纬圈平面上；

ii)－－科氏力只会改变运动的方向，不改变其大小，即对空气微团不做功。

iii)对于北半球的水平运动，科氏力总是指向运动前进方向的右方（观测者面向运动前进方向），南半球的情形则相反，指向运动前进方向的左方。

第29页，课件共57页，创作于2023年2月例如，在北半球，向南（北）流的水流会受到指向西（东）的科氏力的作用，引起水流向南（北）流的河床的西（东）岸受到更为严重的冲刷。又如，在北半球运行的远程火箭，当它铅直上升（下降）时，其轨道要向西（东）偏移；当它在水平面方向向东（西）飞行时，其轨道要向南并向上（向北并向下）偏移。3重力：地心引力与惯性离心力的合力单位质量空气微团所受地心引力可表为

第30页，课件共57页，创作于2023年2月地心引力是指向地心的有势力，设为地心引力势，则地心引力可表为：

势力的性质：沿闭合路线积分为零，无旋。（证明）

若假定极地海平面（）上的地心引力势为零（），则可以求得地心引力势为：

物理图像：地心引力的等势面为以地心为球心的同心球面族。

第31页，课件共57页，创作于2023年2月

惯性离心力：－－垂直于地轴、从地轴指向外，也是一种有势力。设其势函数为，则可将惯性离心力表为：（证明）若假设地轴上（）的惯性离心力势为零（），则可求得

物理图像：惯性离心力的等势面为以地轴为轴的同轴圆柱面族。

这样，重力加速度可表为

：重力位势：

第32页，课件共57页，创作于2023年2月由地心引力和惯性离心力的性质可知，重力的大小随所处的纬度和高度不同而不同。在同一海拔高度上，重力加速度随纬度增大而增大，赤道上最小，极地最大；在同一纬度，重力加速度随海拔高度增大而减小。计算重力的近似公式（1930年国际重力公式）可表为：这里为纬度，z为海拔高度（以米为单位）。由于重力加速度随纬度和高度的变化很小，它与地心引力的夹角也很小，故气象上一般将重力加速度视为常数，取g≈9.81

米/秒2；并近似地视地球为半径a≈6371公里的球形，视等重力位势面为同心球面族。

单位？第33页，课件共57页，创作于2023年2月重力位势则可近似估算为（假定）：（推导）4分子粘性力（内摩擦力）

其中，为运动学粘性系数，为动力粘性系数。大气是一种低粘流体，除了贴近地面几厘米厚度的薄层，因为空气运动速度垂直梯度很大，必须考虑分子粘性作用的影响外，一般都可忽略分子粘性力的作用。

第34页，课件共57页，创作于2023年2月最后，矢量形式的相对运动方程可改写为

第35页，课件共57页，创作于2023年2月§1.3运动方程的分量形式

1球坐标系：原点O却在地心

λ－经度；

Ф－纬度

r－

距球心距离－为沿纬圈指向东－沿经圈指向北－沿径向指向天顶的单位向量。

第36页，课件共57页，创作于2023年2月沿各方向的坐标线元分别为：在球坐标中，若将空气微团的运动速度矢表为则有：

，第37页，课件共57页，创作于2023年2月2球坐标系的个别微分算子对任意一个场变量，有：

两边除以dt，取极限，并利用球坐标各速度分量的表达式有：

所以：球坐标个别微分算子：第38页，课件共57页，创作于2023年2月梯度算子：

要求得运动方程在球坐标系中的分量方程，就得先将运动方程中向量形式的各项分别分解到球坐标系的各个方向上，即求出各项的分量式。

3球坐标系加速度的分量形式

(1)相对加速度可写为：

问题归结为求单位向量、和的个别变化率的分量表达式。

第39页，课件共57页，创作于2023年2月

①

由于所以：考虑单位矢量随经度λ的变化：

第40页，课件共57页，创作于2023年2月

大小：于是：的方向（即的方向）与方向相反，指向地轴。

第41页，课件共57页，创作于2023年2月于是，有②③（还有简便的推导）

第42页，课件共57页，创作于2023年2月其中，包含因子1/r的项是由于地球的球面性引起的曲率项，称为“曲率加速度”。4各作用力在球坐标系中的分量(1)气压梯度力的分量形式

利用球坐标系中的梯度算子，可得气压梯度力在球坐标系中分解式为:(2)科氏力其中，地转角速度可表为：

第43页，课件共57页，创作于2023年2月各分量可分别表为：于是，在球坐标系中，科氏力可表为其中称为科氏参数。

第44页，课件共57页，创作于2023年2月（3）重力和分子粘性力重力只在垂直方向有分量：分子粘性力可形式上表为：

5球坐标系的运动方程的分量形式，第45页，课件共57页，创作于2023年2月等式右边的含因子1/r的项源于球坐标系中的“曲率加速度”，可称为“曲率惯性力”，可以证明该力与速度垂直，即其对空气微团不做功。由于90%以上的大气都集中在离地面20公里以下的薄层内，有时采用郭晓岚称谓的“薄层近似”，即在上述方程中，当r作为系数出现时，近似地取于是薄层近似下的运动方程可表为:

第46页，课件共57页，创作于2023年2月6球坐标系的速度散度和涡度球坐标系中的单位向量的基本微分公式可表为：及

第47页，课件共57页，创作于2023年2月利用上述微分关系，可得到球坐标系中速度场的散度：类似地，速度场的涡度可表为球坐标系中的拉普拉斯算子可表为

第48页，课件共57页，创作于2023年2月6球坐标系得连续方程

将球坐标系中的散度表达式代入上连续方程，可将球坐标系中的质量连续方程写为：或：

另一种推导方法：

小体积得空气质量增加＝净的质量流入

第49页，课件共57页，创作于2023年2月

§1.4局地直角坐标系中的运动方程与连续方程

1局地直角坐标系局地直角坐标系的坐标原点位于海平面上指定地点，x轴沿纬线指向东，y轴沿经线指向北，z轴指向天顶。三个坐标轴向的单位向量分别为和，它们与球坐标系中沿和方向的单位矢的指向完全相同，所不同的是，现在，在坐标原点附近的“局部地区”（研究问题的区域），单位矢量将视为不随地点的改变而改变的单位矢量。（当范围不大时，即局地看成一个平面，而不是球面）

第50页，课件共57页，创作于2023年2月2局地直角坐标系中的运动方程与连续方程

在球坐标系的基础上，假定：1）略去球面性所产生的曲率项。

2）形式上，令空气运动的速度分量可表为：

，第51页，课件共57页，创作于2023年2月局地直角坐标系中的运动方程可表为：局地直角坐标系中的连续方程为：或

第52页，课件共57页，创作于2023年2月β-平面近似采用局地直角坐标系，忽略地球的球面性，可以使方程形式变得简单，但是，以后将会看到，如果完全略去地球的球面性，取科氏参数为常数（即所谓的f-平面近似），除了精度降低外，还会带来一个严重的动力学缺陷，即消除了气象学中非常重要的一种波动———罗斯贝（Rossby）波的生存条件。为了弥补这种缺陷，可采用所谓的β-平面近