复变函数幂级数

复变函数幂级数第1页，课件共34页，创作于2023年2月1幂级数的定义：

形式的复函数项级数称为幂级数,其中c0,c1,c2,…,a都是复常数.

幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.4.2.1幂级数的敛散性具有若令z←z-a,则以上幂级数还可以写成如下形式第2页，课件共34页，创作于2023年2月

定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.证:设z是所述圆内任意点.因为(n=0,1,2,…),注意到|z-a|<|z1-a|,故级数

a收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使收敛z1第3页，课件共34页，创作于2023年2月其次,对K内任一闭圆在圆K上有收敛的优级数因而它在K上一致收敛.再由定理4.8,此级数必在圆K内内闭一致收敛.在圆K内绝对收敛.上的一切点来说,有:

a第4页，课件共34页，创作于2023年2月

推论4.11

若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.

az1z2第5页，课件共34页，创作于2023年2月

其敛散性有以下三种情况:(1)对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.2.幂级数的敛散性讨论对于一个幂级数,首先它在z=a点处总是收敛的，例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.第6页，课件共34页，创作于2023年2月(2)除z=a

外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.例如,级数通项不趋于零,故级数发散.(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理4.10的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使第7页，课件共34页，创作于2023年2月发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论4.11知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.)在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛,在圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收敛半径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它的收敛圆和收敛圆周.在第一情形约定R=0;在第二情形,约定R=+∞,并也称它们为收敛半径.第8页，课件共34页，创作于2023年2月..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.收敛圆周第9页，课件共34页，创作于2023年2月答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?第10页，课件共34页，创作于2023年2月例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.第11页，课件共34页，创作于2023年2月

一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种可能:(1)处处发散;(2)既有收敛点,又有发散点;(3)处处收敛.定理4.12如果幂级数(4.3)的系数cn合于或或4.2.2幂级数的收敛半径的求法第12页，课件共34页，创作于2023年2月则幂级数的收敛半径为:(4.4)定理4.13(1)幂级数(4.5)的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.4.2.3幂级数的和函数的解析性第13页，课件共34页，创作于2023年2月(2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即：(p=1,2,…)(4.6)(3)(p=0,1,2,…).(4.7)

证由阿贝尔定理(定理4.10),幂级数第14页，课件共34页，创作于2023年2月在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内闭一致收敛于f(z),而且各项又都在z平面上解析.故由维尔斯特拉斯定理(定理4.9),本定理的(1)、(2)部分得证,逐项求p阶导数(p=1,2,…)后,即得(4.6).

在(4.6)中令z=a,得注意到即得(4.7).第15页，课件共34页，创作于2023年2月4.2.4、典型例题例1

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为第16页，课件共34页，创作于2023年2月级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,第17页，课件共34页，创作于2023年2月例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为第18页，课件共34页，创作于2023年2月所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数第19页，课件共34页，创作于2023年2月说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)第20页，课件共34页，创作于2023年2月故收敛半径例3求幂级数的收敛半径:解第21页，课件共34页，创作于2023年2月解所以例4求的收敛半径.第22页，课件共34页，创作于2023年2月例5把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出第23页，课件共34页，创作于2023年2月级数收敛,且其和为第24页，课件共34页，创作于2023年2月例6求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以第25页，课件共34页，创作于2023年2月例7求级数的收敛半径与和函数.解第26页，课件共34页，创作于2023年2月例8计算解第27页，课件共34页，创作于2023年2月五、小结与思考

这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.第28页，课件共34页，创作于2023年2月思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?第29页，课件共34页，创作于2023年2月由于在收敛圆周上确定,可以依复数项级数敛散性讨论.思考题答案放映结束，按Esc退出.第30页，课件共34页，创作于2023年2月阿贝尔资料Born:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),Norway

Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbel第31页，课件共34页，创作于2023年2月非凡的数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的第32页，课件共34页，创作于2023年2月数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。

第33页，课件共34页，创作于2023年2月1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

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