第六讲二次根式1

第六讲 二次根式（一）【知识概述】本讲主要研究二次根式的概念和性质，模块一重点介绍二次根式的概念及其最重要的性质：双重非负性，模块二介绍二次根式其他一些性质，模块三重点介绍了最简二次根式与同类二次根式概念，以及引出合并同类项这一重要工具，为下一讲实数的运算打下基础．【知识结构】

模块一 二次根式的概念【知识精要】二次根式的概念在实数这一章，讲述了开平方运算．当，表示a的一个平方根．把它看做由平方根号“”与a所成的式子时，这是一个代数式．代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．例如，、、、、等都是二次根式．通常把形如的式子也叫做二次根式．如、、等也是二次根式．在实数范围内，负数没有平方根，如、这样的式子没有意义．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的双重非负性对于二次根式，其实质是一个非负数的算术平方根，是一个非负数．这个非负数可用数表示，也可用代数式表示，如和等．它包含了两个非负性：非负和非负．常考题型①式子表示非负数到本单元为止，已学习三个非负数：绝对值、平方数、算术平方根，它们有独特性质：若几个非负数的和为零，则它们分别为零，它还有一些性质，以后还要继续研究，非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．②若有存在，则由于只有非负数才有平方根和算术平方根，负数没有平方根和算术平方根．所以是存在的必要前提．③若有存在，则，且由于存在，则，即，而是非负数，所以．④若与同时存在，则，且由于与同时有意义，得到，即．【典型例题】若a，b为实数，且，求的值．

【名师点拨】本题中与同时有意义，可以求出a的值，进而求出b的值，但本题要注意分母不为零．

【答案】3．

【解析】根据根号有意义条件得：

且，

，，

又，

，

，

．

下列式子，是二次根式的是_____________．

，，，，，，，

【答案】二次根式有，，，，

【解析】根据二次根式的概念，非负数的二次方根是二次根式．

设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）且；（6）且．

【解析】（1），；

（2），；（3），；（4）且，；（5），且；（6），且．（1）若与互为相反数，则________．（2）如果，求a，b，c的值．【答案】（1）1；（2），，．

【解析】（1）由题意得：，

，，

且，，解得：，，

．

（2）原等式可变形为：

，

，

即，，，

，，．

求的值．【答案】1．

【解析】由根号有意义的条件得：，

，

，

将代入原式，

原式．

已知实数满足，求的值．【答案】2017．

【解析】由根号有意义条件得：，

，

，

，

，

，

．

模块二 二次根式的性质【知识精要】二次根式的性质在平方根的学习中，根据开平方与平方互为逆运算的关系，得到了下列等式．这个两个等式作为二次根式的性质：性质1：

性质2：

需要注意的是这两个性质在运算顺序上是有区别的：

对于性质1，，当时，．

对于性质2，．是由根号有意义条件得到的．由此可以得到与的关系：．

此外二次根式还具有以下两个性质：

性质3： （，）；

性质4：（，）．需要注意性质3成立的条件是，，性质4成立的条件是，（因为分母不能为零）．二次根式的性质在二次根式的化简及其运算中发挥着非常重要的作用，其重要性不言而喻，尤其是需时刻谨记．2、因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．【典型例题】（1）将根号外的部分移到根号内，得__________．（2）将根号外的部分移到根号内，得__________．

【名师点拨】此类型题目需要特别注意的是根据根号内式子有意义，进而确定根号外字母的符号，然后利用将根号外部分移到根号内．【答案】（1）；（2）当时，；当时，．

【解析】（1）由根号有意义条件可得：，．（2）当时，，当时，．

化简：（1） （2）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据根号有意义条件得：，

原式

．

（2）根据根号有意义条件得：，

原式．

（1）如果成立，求的取值范围．

（2）如果成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）【解析】（1），

解得．

（2），

且，

．

（1）实数x满足，化简：_________．

（2）已知，化简：_________．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

两边平方得：，

，

，

，

．

（2）原式，

且，

．

已知，化简．【答案】1007．

【解析】，，同理，，，

原式．

模块三 最简二次根式和同类二次根式【知识精要】1、最简二次根式（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．其中被开方数不含分母也包括了分母中不能有根式这一含义，如和都不是最简二次根式．

2、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．最简二次根式和同类二次根式，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简．

3、合并同类二次根式与多项式中的合并同类项类似，同类二次根式也可以合并．

例如：

【典型例题】将下列式子化成最简二次根式：（1） （2） （3）

【名师点拨】化简二次根式必须使得根式化到最简，即满足：①被开方数中各因式的指数都为1；②被开方数不含分母；在化简过程中必须注意这一性质，根据根号内式子有意义确定字母的范围，再去绝对值．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）根据根号有意义条件得：，

．

（2）根据根号有意义条件得：，

．

（3）根据根号有意义条件得：，

．

下列二次根式中，最简二次根式的有__________．

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

【答案】（1）（4）（5）．

【解析】根据最简二次根式的概念可知、和是最简二次根式．

（1）若最简二次根式和是同类二次根式，则________，________．

（2）已知a为整数，若二次根式和是同类二次根式，则________，________．

【答案】（1）0，2；（2）2或5或8．

【解析】（1）由题意得：，

解得：．

（2）a为整数，由根号有意义条件可得：

且a为整数，

代入a的值可知：或5或8．

合并下列各式中的同类二次根式：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式．

（2）原式．

（3）原式，

，．（4）原式．

计算．【答案】．

【解析】原式．

【课堂练习】有意义的条件是___________．

【答案】．【解析】由题意得：，解不等式得：．

已知的三边长分别为a、b、c，化简：

【答案】．

【解析】由三角形两边之和大于第三边可得：

，，，

原式

．满足等式的正整数对的个数是________．

【答案】2．

【解析】，

，

，

，

，

，

，

是质数，或，有两对．

计算．（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）（2）（3）（4）.【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.先化简，再求值：，其中.【答案】.【解析】原式 .

【课后作业】下列式子中，，，，，，，二次根式有_______________．

【答案】，，．

【解析】根据二次根式概念，及有意义的条件：通过开二次方根，且被开方数非负这两个条件判断是否为二次根式．

若，则化简__________．

【答案】．

【解析】，，

，

．

若a、b为实数，则下