新教材数学人教A版选择性课时素养评价3122椭圆方程及性质的应用

二十二椭圆方程及性质的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知直线l过点(3,-1)和椭圆C:QUOTE+QUOTE=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为 () 或2 【解析】选C.因为直线过点(3,-1)且QUOTE+QUOTE<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.2.点A(a,1)在椭圆QUOTE+QUOTE=1的内部,则a的取值范围是 ()QUOTE<a<QUOTE B.a<-QUOTE或a>QUOTEC.-2<a<2 D.-1<a<1【解析】选A.由题意知QUOTE+QUOTE<1,解得-QUOTE<a<QUOTE.3.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为QUOTE|F1F2|,则椭圆C的离心率e= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a),由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0,所以QUOTE=QUOTEc,因为b2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍),所以e=QUOTE.4.若AB是过椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM= ()QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE【解析】选B.设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),kAM·kBM=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.【一题多解】(特殊值法):选B.因为四个选项为定值,取A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可得kAM·kBM=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.过椭圆QUOTE+QUOTE=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.

【解析】将椭圆与直线方程联立:解得交点A(0,-2),BQUOTE.设右焦点为F,则S△OAB=QUOTE·|OF|·QUOTE+2=QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,原点O与线段MN的中点P连线的斜率为QUOTE,则QUOTE的值是.

【解析】由QUOTE消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为QUOTE.所以kOP=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)7.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2QUOTE,OC的斜率为QUOTE,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得aQUOTE+bQUOTE=1,①aQUOTE+bQUOTE=1.②②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而QUOTE=kAB=-1,QUOTE=kOC=QUOTE,则b=QUOTEa.又因为|AB|=QUOTE|x2-x1|=QUOTE|x2-x1|=2QUOTE,所以|x2-x1|=2.又由QUOTE得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=QUOTE-4·QUOTE=4,将b=QUOTEa代入,得a=QUOTE,b=QUOTE,所以所求的椭圆方程为QUOTE+QUOTEy2=1.8.椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离为QUOTE+QUOTE,椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为QUOTE-QUOTE.(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为1的直线l经过椭圆上顶点,并与椭圆交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)设椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的半焦距为c,由题意可得:QUOTE解得a=QUOTE,c=QUOTE.所以b2=a2-c2=1.则椭圆C的方程为QUOTE+y2=1.(2)如图,椭圆C的上顶点A(0,1),则直线l的方程为y=x+1.联立QUOTE得2x2+3x=0.解得:xA=0,xB=-QUOTE.所以|AB|=QUOTE|xA-xB|=QUOTE.(15分钟·30分)1.(5分)已知椭圆C的方程为QUOTE+QUOTE=1(m>0),如果直线y=QUOTEx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为 () QUOTE QUOTE【解析】选B.根据已知条件c=QUOTE,则点MQUOTE在椭圆QUOTE+QUOTE=1(m>0)上,所以QUOTE+QUOTE=1,可得m=2QUOTE.2.(5分)椭圆QUOTE+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE 【解析】QUOTE+y2=1,得a2=4,b2=1,所以c=QUOTE=QUOTE,不妨设P在x轴上方,则F1(-QUOTE,0),设P(-QUOTE,m)(m>0),则QUOTE+m2=1,即m=QUOTE.所以|PF1|=QUOTE,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,得|PF2|=4-|PF1|=4-QUOTE=QUOTE.3.(5分)黄金分割比ω=QUOTE≈被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=QUOTE的椭圆被称为“优美椭圆”,在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,“优美椭圆”C上动点P(异于椭圆的左右顶点),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.

【解析】设P(m,n),代入椭圆方程,则QUOTE+QUOTE=1,离心率e=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,整理得:n2=-QUOTE(m2-a2),又k1=QUOTE,k2=QUOTE,所以k1k2=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(5分)设F1,F2是椭圆E:QUOTE+QUOTE=1的左右焦点,P是椭圆E上的点,则|PF1|·|PF2|的最小值是.

【解析】由椭圆E:QUOTE+QUOTE=1得a2=25,b2=16,则a=5,c=QUOTE=3,因为P是椭圆E上的点,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,且5-3=2≤|PF2|≤5+3=8,所以|PF1|·|PF2|=(10-|PF2|)·|PF2|=-|PF2|2+10|PF2|,所以当|PF2|=2或8时,|PF1|·|PF2|有最小值,最小值是16.答案:165.(10分)(2020·渭南高二检测)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为QUOTE和QUOTE.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设平行于l1的直线l交C于A,B两点,且|+|=||,求直线l的方程.【解析】(1)由直线l1:y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°,故长轴端点到直线l1的距离为QUOTEa,短轴端点到直线l1的距离为QUOTEb,所以QUOTEa=QUOTE,QUOTEb=QUOTE,解得a=2,b=1,所以椭圆C的标准方程为QUOTE+y2=1.(2)设直线l:y=x+t(t≠0),联立QUOTE整理得5x2+8tx+4t2-4=0,则Δ=64t2-16×5(t2-1)>0,解得-QUOTE<t<QUOTE且t≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-QUOTE,x1x2=QUOTE,故y1y2=(x1+t)(x2+t)=(x1+x2)t+x1x2+t2=QUOTE,因为|+|=||,所以OA⊥OB,即·=x1x2+y1y2=QUOTE+QUOTE=0,解得t=±QUOTE,满足-QUOTE<t<QUOTE且t≠0,所以直线l的方程为y=x+QUOTE或y=x-QUOTE.1.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系.如图所示,底面半径为1,高为3的圆柱内放有一个半径为1的球,球与圆柱下底面相切,作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F,若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ,τ是以F为一个焦点的椭圆,则τ的离心率的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.当α与底面趋于平行时,τ几乎成为一个圆,因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时,τ的离心率达到最大,下面求解这一最大值.如图,AB为长轴,F为焦点时,e最大.a+c=|BF|=|BG|=2,易知b=1,所以QUOTE则e=QUOTE=QUOTE.则离心率的取值范围是QUOTE.【加练·固】已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)短轴的一个端点为P(0,b),AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积为-QUOTE,则椭圆的离心率为.

【解析】根据题意可得P(0,b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB的斜率之积为-QUOTE,则kPA·kPB=QUOTE=-QUOTE,由A在椭圆上可得椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),得QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即a=2b,a2=4(a2-c2),可得e=QUOTE.答案:QUOTE2.已知曲线Γ:QUOTE+QUOTE=1的左、右顶点分别为A,B,设P是曲线Γ上的任意一点.(1)当P异于A,B时,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2是定值.(2)设点C满足=λ(λ>0),且|PC|的最大值为7,求λ的值.【解析】由椭圆方程可得A(-4,0),B(4,0),设P(x0,y0).(1