2021年河南省中考数学试卷

2021年河南省中考数学试题

考试时间：120分钟满分：100分

一、选择题（每小题3分，共30分）.

1.（2021•河南）-2的绝对值是（）

11

A.2B.—2C.—D.

22

｛答案｝A

2.（2021♦河南）河南省人民济困最“给力”！据报道，2020河南省人民在济困方面捐款达到2.94

亿元.数据“2.94亿”用科学记数法表示为（）

A.2.94x107B.2.94x108C.0.294x108D.0.294x109

(答案｝B

3.（2021・河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

正面

｛答案｝A

4.（2021•河南）下列运算正确的是（）

A.（-a）2=-a2B.2a2-a2=2C.cr-a-a3D.(a-l)2=a2-l

｛答案｝C

5.（2021•河南）如图，a//b,Zl=60°,则N2的度数为（

A.90°B.100°C.110°D.120°

｛答案｝D

6.（2021・河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

｛答案｝B

7.（2021•河南）若方程炉-级+优=0没有实数根，则，"的值可以是（）

也

A.-1B.0C.ID.

｛答案｝D｛解析｝&/-4ac=(-2)2-4xlxm<(),因此本题选D.

8.（2021•河南）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝

上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是''天问”和“九章”的概率是（）

1

B.-8

6

｛答案｝A

（解析｝北斗天问,北斗高铁，北斗九章，天问高铁，天问九章，高铁九章共6种结果，因此

本题选A.

｛题目｝9.（2021・河南）如图，平行四边形0ABe的顶点。（0,0）,A（1,2）,点C在x轴的正半轴

上，延长8A交了轴于点。.将△OD4绕点。顺时针旋转得到△。。⑷，当点。的对应点。落在OA上

时，。夕的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）

A.(273,0)B.(2V5,0)C.(26+1,0)D.(2后+1,0)

｛答案｝B

｛解析｝如图，旋转/.△ODA^AOD,A',...NA'=ZDAO,ZADO=ZAyD'O,；

BD〃OC,：.Z\OC=ZDAO=ZA',：.△ODA-△CD'O,：.—=­,即正，：.OC=2

OCOD'OC2

居,因此本题选B.

｛题目｝10.（2021.河南）如图1,矩形ABC。中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C,设

B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象，则2C的长为（）

｛答案｝C

｛解析｝由函数图象得到动点P的两个特殊位置，当P与8重合时，A8-8E=1,当尸不与E重合

时，组成△APE,，当P与E重合时，附一尸£最大=AE=5,.*.设BE=x,则AB=x+\,

由勾股定理可得产+（》+1）2=52,.,.x-3,.,.BC=2x-6,因此本题选C.

二、填空题（每小题3分，共15分）.

11.（2021.河南）若代数式」一有意义，则实数x的取值范围是.

X—1

｛答案｝印

12.（2021.河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式.

｛答案）y=x（答案不唯一）

13.（2021•河南）某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，

他们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均

质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是（填

“甲”或“乙夕.

n质量（克）

｛答案｝甲

14.（2021・河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,D均在小正方形的顶点上，且

点5,C在弧AO上，ZBAC=22.5°,则弧BC的长.

54

｛答案｝二

4

｛解析｝圆心在4?和AO的垂直平分线的交点，由此可知半径=5,由圆周角定理可知，弧8c

所对的圆心角为45°,...弧长=4左5、2万*5=53乃.

3604

15.(2021.河南)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RSABC中，/4CB=90。，

/B=30。，AC=l.第一步，在AB边上找一点£>,将纸片沿CQ折叠，点A落在⑷处，如图2；

第二步，将纸片沿C©折叠，点。落。处，如图3.当点。恰好落在直角三角形纸片的边上时,

线段A7T的长为_______________

｛解析｝(1)当少落在BC边上时，由题意可知，/AC£>=/HC£>=ZA'CB=30°,：.A'D'=A'D=AD=

(2)当。落在AB边上时，如图所示，由对称可知4C垂直OO,©C=AC=1,A'D'^A'D,

2

/C4'D=/A=60°,：.OC=^-,：.A'O=\-^-,：.A'D'=A'D=2A'O=2-43.因此本题答案是,

222

或2-百.

AC

三、解答题(本大题共8个小题，共75分).

16.(2021•河南)(1)计算:3一1一

解：原式=1-14-1=1-

33

2x-2

（2）化简：解不等式组:

x"

｛答案｝解：原式=±1.」—=2.

x2（x-l）2

17.（2021.河南）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生幽民管理工作的通知》，明确要求初

中生每天睡脚寸间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名

进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.

调查问卷

1.近两周你平均每天睡眠时间大约是小时.

如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答笫2个问题.

2.影响你睡眠时间的主要原因是—（单选）.

A.校内课业负担重B.校外学习任务重

C.学习效率低D.其他

影响学生睡眠时间的主要原因统计图

平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①5Wx<6；②6Wx<7；③7Wx<8：®8^x<9；⑤9Wx<10.

根据以上信息，解答下列问题：

（I）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到9小时的学生人数

占被调查人数的百分比为;

（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

｛答案｝解：（1）③；17%；

（2）多数学生平均每天的睡眠时间没有达到9小时.建议学校加强管理，减轻学生的校内课

业负担：建议家长不要给孩子增加过多的校外学习任务.（注：答案不唯一，合理即可）

18.（2021.河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点。重合，边分别与坐标轴平

行，反比例函数y=K的图象与大正方形的一边交于点A（1,2）,且经过小正方形的顶点艮

X

（1）求反比例函数的解析式;

（2）求图中阴影部分的面积.

（1）把A点坐标代入直接求公

（2）由反比例函数的几何意义直接得出正方形OCBD的面积，由A点坐标可求得正方形OEFG

的面积，两者面积差的4倍即为所求.

｛答案｝解：（1）•••反比例函数y=&的图像经过点A（I.2）,

X

・•.kIX2=2,

...反比例函数的解析式为y=2；

X

（2）如图，•.•反比例函数y=2的图像过点8,

x

二正方形OC8O的面积为2.由图可知，0E=2,

二正方形OEFG的面积为2x2=4,

.••阴影部分的面积为4x（4-2）=8.

19.（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的

佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A与佛像8。的

底部。在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部8的仰角为45°,头底部C的

仰角为37.5°,求佛像的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5。心0.61,cos37.5°«0.79,tan37.5°

*=0.77).

｛答案｝解：设3O=xm,在RSBD4中，ZBDA=9()°,ZBAD=45°,

.'.AD^BD-x,

在RtACDA中,ZC4ZJ=37.5°,

：.CD=AD-tan3>1.50g0.77x,

：8C=4,：.BD-CD=4,即『0.771,

解得x《17.4,

答：佛像BD的高度约为17.4m.

20.(2021.河南)在古代智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定

长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲

线连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”

AP,8P的连接点P在。。上，当点尸在。。上转动时，带动点A,B分别在射线。M，ON上滑动，

OM1ON.当AP与。O相切时，点8恰好落在。。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

(1)求证：ZPAO=2ZPBO；

(2)若。。的半径为5,AP=—,求8尸的长.

图2

｛答案｝解：(1)连接OP,

是。。的切线,

AOPVAP,：.ZOPA=90°,

：.ZPAO+ZPOA=90°,

.'.ZPOA+Z1=90°,

/.ZMO=Z1,

・.・OP=OB,

：.ZOPB=ZPBO,

：.Z\=2ZPBO,

：.ZPAO=2ZPBO；

(2)过点P作PCLON,垂足为C

70

在RtMOA中，OP=5,AP=—,

3

3

・・tanNB4O=一,

4

VZ1=ZB4O,

・.八_PC3

••tonz_1-------=—,

OC4

设心3x,OC=4x,KOOP=V(9C2+PC2=5x,

.*.x=l,

・・・PC=3,OC=4,

ABC=5+4=9,

在RtAPBC中，BP=^PC2+BC2=存+92=3V10.

21.（2021•河南）称猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，物猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两

款舜猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

A款玩偶B款玩偶

价格

进货价（元/个）4030

销售价（元/个）5645

（1）第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个;

(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小

李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利

润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

(注：利润率=迎,、100%).

成本

［答案｝解：(1)设A款玩偶购进尤个，8款玩偶购进y个，

根据题意，得｛《Ox+30y=1100.

解得仁能

答：A款玩偶购进20个，8款玩偶购进10个.

(2)设A款玩偶购进a个，8款玩偶购进(30-«)个，根据题意，得

(30-a).

解得壮10.

设利润为w元,则卬=(56-40)。+(45-30)(30-a)=a+450.

，卬随。的增大而增大.

.■•当a=10时,w有最大值，w最大=10+450=460.

30/=30・10=2().

答：应购进A款玩偶购进10个，8款玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为460元.

(3)•・,第一次销售利润为(56-40)X20+(45-30)X10=470,

利润率为您.X100%七43%,

1100

,第二次销售利润率为------......X100%=46%,

10x40+20x30

43%＜46%,

.•.从利润率的角度分析，第二次更合算.

22.(2021・河南)如图，抛物线＞=¥+侬与直线y=-x+Z＞交于点A(2,0)和点艮

(1)求相和〃的值；

(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式/+,八＞_》+〃的解集；

(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物

线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标XM的取值范围.

y

解：（1）•••抛物线经过点A(2,0)，/.4+2/n=0./.m=-2.

;直线产-户7?经过点A(2,0),，-2+0=0./.b=2.

(2)当d-Zruf+Z时，xi=-l,X2=2.・,•点3的坐标为(-1,3)

结合图象可知，不等式x^^-nvO-x^b的解集为x<-l或x>2.

（3）-1<XM<2或XM=3.

｛题目｝23.（2021河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请

仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线0B上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合)；

(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线12,交点为P,垂足分别为点G,H；(3)作射线0P.射

线。尸即为/A08的平分线.简述理由如下：

由作图知，NPGO=NPHO=9Q°