二重积分的变量变换

二重积分的变量变换第1页，课件共34页，创作于2023年2月教学目标教学内容：二重积分的极坐标变换二重积分的一般变量变换公式教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换，极坐标变换）教学难点：变量变换后积分限的确定第2页，课件共34页，创作于2023年2月引例21D0y

xD1D2D3D4D:.需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦第3页，课件共34页，创作于2023年2月利用极坐标计算二重积分将变换到极坐标系(r,)0D用坐标线=常数；r

=常数分割区域Diriri+1iii+irir第4页，课件共34页，创作于2023年2月利用极坐标计算二重积分0Diriri+1iii+iI=rir第5页，课件共34页，创作于2023年2月利用极坐标计算二重积分极坐标系下的面积元素I=直角坐标系下的面积元素第6页，课件共34页，创作于2023年2月极点不在区域D的内部

0ABFEDD:

rr(1)极点不在区域D的内部第7页，课件共34页，创作于2023年2月0ABFEDD:(1)极点不在区域D的内部

r第8页，课件共34页，创作于2023年2月极点位于区域D的内部

0D.rD:r(2)极点位于区域D的内部第9页，课件共34页，创作于2023年2月D:D0(2)极点位于区域D的内部

r第10页，课件共34页，创作于2023年2月(3)极点位于区域D的边界区域特征如图极点位于区域D的边界

第11页，课件共34页，创作于2023年2月步骤步骤：1化被积函数为极坐标形式；2面积元素dxdy化为rdrd3从D的图形找出r,上、下限，写出累次积分的形式0r0Dr第12页，课件共34页，创作于2023年2月边界的确定把极坐标代入边界得出D'的边界常见区域D'的确定xOy2RR第13页，课件共34页，创作于2023年2月常见区域的确定常见区域D'的确定Oxy2RRxyORR第14页，课件共34页，创作于2023年2月适用范围极坐标。当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域，且被积函数又呈或时，宜采用第15页，课件共34页，创作于2023年2月例10y

x2a解例1第16页，课件共34页，创作于2023年2月例221D0y

xD:变换到极坐标系例2

计算D:r=1和

r

=2第17页，课件共34页，创作于2023年2月例30y

x12

y=xD例3第18页，课件共34页，创作于2023年2月例40y

x4r=4cosr=8cos8D12例4计算y=2xx=y第19页，课件共34页，创作于2023年2月例40y

xr=8cosD48r=4cos21.I=第20页，课件共34页，创作于2023年2月例5例5第21页，课件共34页，创作于2023年2月例6例6第22页，课件共34页，创作于2023年2月解例7

计算，其中D

是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域。.注：此积分在直角坐标系下无法计算。在极坐标系下

例7第23页，课件共34页，创作于2023年2月反常积分事实上,当D为R2时,利用例7的结果,得①故①式成立

.第24页，课件共34页，创作于2023年2月定积分换元法二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,第25页，课件共34页，创作于2023年2月证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则第26页，课件共34页，创作于2023年2月同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为第27页，课件共34页，创作于2023年2月因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,

直角坐标转化为极坐标时,第28页，课件共34页，创作于2023年2月利用一般变量替换求二重积分利用一般变量替换求二重积分步骤：⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;第29页，课件共34页，创作于2023年2月利用一般变量替换求二重积分(3)在变换下确定u,v的范围△;作图(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;(5)用§2求二重积分的方法求出其值。第30页，课件共34页，创作于2023年2月例911解则令例9第31页，课件共34页，创作于2023年2月故例9第32页，课件共34页，创作于2023年2月例10Oxy例10令第33页