2021年3月广东省2021届高三下学期3月一模考试数学试卷及解析

2021年3月广东省北大附中深圳南山分校2021届高三下学期3月一模考试

数学试卷

★祝考试顺利★

（含答案）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知（［/）ns=0,则下面选项中一定成立的是（）

A.A^B=AB.A^\B=BC.4U8=8D.A^B=R

解：.•/U8,4^8时，（［』）H8W0,「J错误；

AHB=B,.'.BQA,（［RX）C8=0,j.8正确；

■：A^B=B,：.AQB,同选项4错误；

'：A^B=R,.,.4W/?时，（［源）D8H0,错误.

故选：B.

2.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高'规模最大、最具影响力的

数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔

赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（）

7I2344557

8345556

A.85,75B.85,76C.74,76D.75,77

解：由茎叶图可知，集训队考试成绩为71,72,73,74,74,75,75,77,83,84,85,

85,85,86,

故众数为85,中位数为至/_=7色

故选：B.

3.已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）

A.64nB.48nC.32nD.16n

解：因为圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，

故圆锥的底面半径为4,底面周长为8n,

故圆锥的侧面积是"・8兀-8=3211.

故选：C.

4.将函数尸(x)=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的士(3>0),纵坐标不变，得到

函数g(x)的图象，若g(x)的最小正周期为6n,则3=()

A.—B.6C.—D.3

36

解：将函数尸(x)=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的[(3>0),纵坐标不变，

得到函数g(X)的图象，

即g(x)=sin3x,

若g(x)的最小正周期为6n,

贝I]T="^=6n,得3=方，

故选：4

5.已知等比数列｛aj的前"项和为S,则“以>S”是“｛“｝单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：在等比数列中，若则2-s>o,即时>0,

数列a〃=1,满足%>0,即满足以>£,但｛，｝为常数列，不是单调递增数列，不满足条

件，即充分性不成立，

当d=-1,9=^■时，满足｛a｝单调递增，但Se>S,不成立，即必要性不成立，

即“Se>S”是“｛4｝单调递增”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

6.已知抛物线C：?=-2py(p>0)的焦点为尸，点"是C上的一点，"到直线片=20的距离

是"到C的准线距离的2倍，且⑻=6,则0=()

A.4B.6C.8D.10

解：由抛物线的方程可得准线方程六=5，

设P(x°,%),由抛物线的性质可得I麻I=6=^-%①

由"到直线y=2p的距离是"到C的准线距离的2倍可得：20-%=12②，

由①②可得0=4,

故选：A.

7.已知a=3.23b=log25,c=log32,则()

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

解：•.•1=3.2°<a=3.20,<3,205<405=2,

d=log25>log24=2,

log3V3<c=log32<log33=1,

b>a>c.

故选：4

22

8.已知椭圆三卷=1（a>6>0）的左'右焦点分别为E,F2,过石的直线交椭圆C于4B

两点，若瓦•画=0,且|名|,|明，|小|成等差数列，则C的离心率为（）

A.返B.返C.返D.—

2232

解:因为|8引，I阳，I伤I成等差数列，

设|8R|=X,公差为d,\AB\—>&d,\AF2\—x^2d,

因为就,画=0,所以

由勾股定理可得：（（/2a2=4+（肝协2,解得x=3d,

由椭圆的定义可得三角形48E的周长为4a,

由4a=394954即a=3d,|BF2\=a=\BFy\^

在直角三角形勿石中，3+3=44

所以离心率e=£=坐，

a2

故选：4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.若复数2=«-/,贝I］（）

A.|z\=2B.|z\=4

C.z的共拆复数J》/D.幺=4-2网/

解：因为复数2=«-/,

所以Iz|=d（愿）2+（-1）2=2,故选项4正确，选项8错误；

Z的共拆复数三=位/,故选项C正确;

z2=（V3-i）2=（V3）2-2V3i+i2=2-2V3i，故选项，错误•

故选：相

10.已知（1-2x）2。2]=4+句户当f+当父+“・+*严'，则（）

A.展开式中所有项的二项式系数和为2202,

O20211

B.展开式中所有奇次项系数和为^一堂

2

O20211

C.展开式中所有偶次项系数和为^一堂

2

ala2^32021,

D.--4---1

22222021

解：（1-2X）2°2'=3。+才/当必+且3*3+…+a021/2',

故所有项的二项式系数和为2"=2由，故4正确；

2021

令x=-1,可得a。-4+a-a3+---32021=3（D,

令x=1,可得a^ay+a2+a3+'-+a2my=-1②，

O20211

①+②，并除以2,可得展开式中所有偶次项系数和为a+且2+包+d+…+加0=^~~

故C正确；

12021

②-①，并除以2,可得奇次项的系数和为句+a+%+…+而产土|O一，故8错误;

人1"，曰a,a2a2021门h“

令可侍比+号+五…+懑~=0,而ao=1,

，萼+券…+需=-1,故〃正确，

故选：ACD.

11.已知函数尸（x）—X-3/nx-1,贝I]（）

A.尸（x）的极大值为0

B.曲线y=F（x）在（1,尸（1））处的切线为x轴

C.f（x）的最小值为0

D.f3在定义域内单调

解：f（x）=3义-3=旦/—..=3/3-1）,

XX

当x>1时，f'（x）>0,flx）单调递增，

当0VxV1时，f（x）<0,f（x）单调递减,

对于A-.f（x）极小值=尸（1）=0,故4错误；

对于8：«切=尸（1）=0,f（1）=0,

所以曲线V=F（x）在（1,f（D）处的切线为0=0（x-1）,即y=0,故8正确；

对于C：f（x）mi=f（%）极小值=尸（1）=0,故C正确；

对于。：f3在（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增，故。错误.

故选：BC.

12.在梯形483中，AB=2AD=2DC=2CB,将△8%沿劭折起，使C到C'的位置（C与C不

重合），E,尸分别为线段48,4C'的中点，〃在直线37上，那么在翻折的过程中（）

A.%'与平面48D所成角的最大值为名

B.尸在以E为圆心的一个定圆上

C.若8//J■平面ADC,则而=3速点

D.当47J•平面8/笈时，四面体CM8D的体积取得最大值

解：如图，在梯开2ABCD中，因为AB//CD,AB=2Ag2Dg2CB,

TTjr

所以得到ZDAB=卞,^BDC^ADBG=—,

3o

在将△8〃C沿劭翻折至△劭C'的过程中，N8%与N4861的大小保持不变，

JT

由线面角的定义可知，%’与平面Z8D所成角的最大值为F，故选项力正确；

因为NZ78C大小不变，所以在翻折的过程中，C'的轨迹在以8D为轴的一个圆锥的底面圆周

上，

而EF是4ABC的中位线，所以点尸的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，

但此圆的圆心不是点£故选项8不正确；

JT

当BH1平面ADC'时，BH1.DH,因为NHC'B=—,

所以DC=BC=2C凡所以而=3厘飞，故选项。正确；

在翻折的过程中，△8。’。的面积不变，故

当平面劭C'时，四面体C'48D的体积取得最大值，故选项。正确.

故选：ACD.

H

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一条与直线x-2^3=0平行且距离大于、♦的直线方程为曰-2^c=0（cV-2或c>

8）.

解：因为所求直线与*-2八3=0平行，故设所求直线方程为x-2八c=0,

因为直线与x-2尸3=0的距离大于娓，

所以（1』,匣>泥，解得eV-2或c>8,

故与直线x-2尸3=0平行且距离大于娓的直线方程为x-2尸c=0（cV-2或c>8）.

故答案为：x-2尸c=0（cV-2或c>8）.

14.若向量】三满足|口=4,|bl=272,（a+b）・；=8,则Z，%的夹角为一等_,1：+=

解：因为|；|=4,国=2我,

所以（a+b）•合铲+0.16+；兀=8,

故之用=-8,所以cosV；,E>=奇3=不韧=一坐，

因为<Z,b>€[0,兀],故<；,

4

而Ia+E|=V（a+b）2=Va2+2a*b+b2==742+（2A/2）2-2X8==2近.

故答案为：等，犯.

15.若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据:

X24568

y2040607080

根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为：=：/1.5,据此预测，当投入

yb

10万元时，销售额的估计值为106.5万元.

—1—1

解：x=Tx（2+4+5+6+8）=5,=^X（20+40+60+70+80）=54,

5y5

样本中心为(5,54),

将其代入回归直线方程5中，有54=5：+1.5,解得：=10.5,

ybbb

，回归直线方程为'=10.5/1.5,

y

当x=10时，=10.5X10+1.5=106.5,

y

二.当投入10万元时，销售额的估计值为106.5万元.

故答案为：106.5.

16.已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的xGR,f(A+2)=fLx)恒成立,

当一1WxVO时，f(x)=2\贝I]f(2021)==

解：根据题意，y=D的图象关于坐标原点对称，即y=F(x)是奇函数，则有五(-幻

=一尸(x),

又由对任意的x£R,f(A+2)=f(-%)恒成立，即尸(/2)=-尸(x)恒成立，

则有f(A+4)=-f(A+2)=f(x)对任意的x都成立，

故"x)是周期为4的周期函数，则尸(2021)=f(1+4X505)=f(1)=-f(-1),

当-1WxV0时，f(x)=2*,贝I]尸(-1)=2'=p

则尸(2021)=f(1)=-f(-1)=-p

故答案为：-

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面四边形48微中，ADA.CD,NBAD=斗,2AABD=4.

4

(1)求cosZ-ADB\

(2)若BC=反,求8.

222

解：（1）△/劭中，由余弦定理得，COSN"8=<PF则

2AD*AB

cosZ^AD2+BD2-AB2.

2AD-BD

ojr

因为N班—,48=2,BQ4,

4

故册=百^-亚，COSN/1〃8=4^

（2）由（1）得sinN4?8=

因为4?，3,即N4%=90°,

所以cosN/Oacos（ZADB^ZBD<X）=0,

解得，cosN8〃仁返，

4

根据余弦定理得，cosN6%=理工处型;

_2BD-CD

所以返=坨£上二22,

42X4XCD

故33&或CD=-42（舍），

故33M.

18.已知数列｛4｝满足2a=3a^-a^,a2-a,=1.

（1）证明：数列（a.「aj是等比数列;

（2）若&=£,求数列｛〃｝的通项公式.

【解答】（1）证明：./2d=3.-a~

又名一4=1,

二数列匕向-a｝是首项为1,公比为2等比数列；

（2）解：由⑴可得：-a=T\d=看

2n30

a=（a〃-ai）+（a…-a-）+…+（a「a、）+a]=2"+2~+--+2+ay=^^——+^==2"

1-22

一/，"22，

又d=/,也适合上式，

n

.\3=2-'-j.

19.如图，平面48C平面AD//BC,BC±AB,AB=BC=2AE=2,尸为宏上一点，且

BF1平面ACE.

（1）证明：平面8比;

(2)若平面4%与平面61^所成锐二面角为60°,求和.

解：(1)证明：因为平面ABCD1.平面ABE,

平面4830平面BCLAB,8Cu平面483,

所以BC1.平面ABE,又因为平面ABE,所以BC1.AE,

又因为夕」平面/宏，力比平面4%所以8/」〃，

又因为BFCBC^B,所以作，平面BCE.

(2)设由(1)知4RL平面8宏，BEu平面BCE,

所以建立如图所示的空间直角坐标系，

4(0,1,0),8(«,0,0),Z?(0,1,t),E(0,0,0),C(«,0,2),

ED=(0,1,t)，EC=(&，0，2),

设平面C宏的法向量为7=(x,y,z),

ED*m=y+tz=0人「-"r~l、

\—►,令z=-ir=(2,tv3»-加)，

EC•m=V3x+2z=0

平面4国法向量为(0,0,1),

因为平面/纪与平面61宏所成锐二面角为60°,

20.某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下:

时间周一周二周三周四周五

活动项目篮球国画排球声乐书法

要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况,

任选三项.

(1)求甲选排球且乙未选排球的概率;

(2)用不表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求才的分布列和数学期望.

C1C?

解：(1)甲选排球的概率=-1■=!•,乙未选排球的概率="=!■,

・•・甲选排球且乙未选排球的概率

OD10

(2)用不表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，贝1]¥=0,1,2,3.

9Q_333

P(%=2)=—X2X—Xxx=

35Hf5-75

3_^8

P(4=3)=XX=

tt5-75

••・4的分布列为:

0123

P4203318

75757575

数学期望E(乃=0义Xxf+3x#=f

22

21.已知双曲线C：J-%=1(a,b>0)的左、右焦点分别为£(-c,0),E(c,0),

其中c>0,M(c,3)在C上，且C的离心率为2.

(1)求C的标准方程；

22

(2)若。为坐标原点，N石伤的角平分线/与曲线。：号表=1的交点为凡0,试判断

cbz

。。与。。是否垂直，并说明理由.

解：(1)由题意可得e=*=2,即c=2a,-a?=，行出

a

2g

又"(c,3)在C上，可得£另一-^"=1,

a2丁

解得。=«,3=1,

则双曲线的方程为"-亡=1；

3

22

(2)由(1)可得"(2,3),曲线〃的方程为。+二=1,

43

在直角三角形物中，伤•!■££,

I伤|=3,|££|=4,|版|=5,

设NE伤的角平分线/与x轴交于M

iNFo||MF?|n

由角平分线的性质定理可得而斤=黄奇

又|帆|+|帆|=|£引=4,

解得I伤|=去

|MF2।

所以tanN网5=~jj而丁=2,

可得直线/的方程为-3=2(x-2),即y=2x-1,

fy=2x-l

联立｛92>可得19V-16x-8=0,

(3x^+4y=12

设P(X,必)，。(*2,%)，可得△=162-4X19X(-8)>0,

,_16_8

X+XL甘%X2--奇

必先=(2%-1)(2x2-1)=4x^2-2(*+x2)+1=一普-条+1=一黑,

iyiyiy

r-r-.X1,84553,

所以一百-五一―直n

所以OP与0。不垂直.

(1)若分(x)(X)恒成立，求a的取值集合；

(2)若a>0,且方程尸(x)-g(x)=0有两个不同的根毛,%,证明：也出2a.

2

【解答】(1)解：令力(x)=f(x)-g(%)=ex-2ax-1,hf(x)=ex-2a,

当aWO时，hf(x)20恒成立，所以力(x)在R上单调递增，

因为力(0)=0,所以当xVO时，h(x)<0,与题意不符；

当a>Q时，令hf(x)=0,解得x="2a,

当(-8,Inia)时，hf(x)<0,h(x)单调递减，当("2a,+°°)时，hr

(x)>0,