2021考研数学（一）真题

2021年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）

（科目代码：301）

（考试时间：上午8:30-11:30）

考生注意事项

L答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考

单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定

位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须

使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

2021年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试题

一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的.

elC

⑴函数/(x)={x''在％=0处()

1,x=0

(A)连续且取得极大值.

(B)连续且取得极小值.

(C)可导且导数等于零.

(D)可导且导数不为零.

v2

⑵设函数/(x,y)可微且/(x+1,e)=x(x+1)?,/(x,f)=2xInx,则"(1,1)=()

(A)dx+dy.

(B)dx-dy.

(C)dy.

(D)-dy.

sinx

(3)设函数/(x)=-7在x=0处的3次泰勒多项式为or+hV+cY,则()

1+x

,7

(A)6?=1,Z?=0,c=—.

6

7

(B)a=l,Z?=0,c=—.

6

(C)6Z=-l,/?=-l,c=-^-.

6

7

(D)a=-l,b=—1,c=一.

6

(4)设函数/(x)在区间［0,1］上连续，则£f(x)dx=()

(A)lim斗隹斗.

I2〃)2n

叫蛭《今2〃明)几•

n—*cr

22

(5)二次型/(x,,x2,x3)=(x,+x2)+(x2+x3)一(七一%产的正惯性指数与负惯性指数依次

为()

(A)2,0.

(B)l,l.

(C)2,l.

(D)l,2.

⑹己知四=0,%[2]，%]J,记B\=囚,尸2=4-3血=%-/£一，262,若

四,四，四两两正交，则/1，12依次为()

(7)设A,B为〃阶实矩阵，下列结论不成立的是()

AO

=2r(A).

0ATA

AA3、

=2r(A).

OAT,

ABA、

(C)r2r(A).

T

、0AA7

(A0}

(D)r=2r(A).

{BA心

(8)设A,8为随机事件，且0<P(8)<1,下列为假命题的是()

(A)若P(A|B)=P(A)，则P(A|B)=P(A).

(B)若尸(A|B)>P(A)，则P(A|B)>P(A).

(C)若P(A|B)>P(A\B)JiJP(A|B)>P(A).

(D)若P(A\A\JB)>P(A\A\JB)厕P(A)>P(B).

(9)设(X「X),(X2泻)，…为来自总体NJ”2H的简单随机样本.令

0=^-ju2,X=-y'Xi,Y=-tYi,0=X-Y)

n,=in,=1

2.2

(A)3是。的无偏估计,0(4)=12.

n

22

(B)往不是e的无偏估计,。(，)="十%.

n

(C)4是。的无偏估计,w)=可+/-2西巴

n

(D)0不是。的无偏估计,D(0)=%+药-2西巴

n

(10)设％,X2,---,X16是来自总体N(〃,4)的简单随机样本，考虑假设检验问

题：“°：从，10，"|：〃>10，。(*)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为

__116

w={》..11},其中又=—yX,,则〃=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为()

16/=,

(A)l-0(0.5).

(B)1-0(1).

(C)1-0(1.5).

(D)1-0(2).

二、填空题：11〜16小题,每小题5分，共30分.

尸1,

(11)------------dx=__________.

Jox+2x+2

x-2e'+t+l,(j2vl

(12)函数y=y(x)由参数方程《，确定，则驾=___________.

[y=4"-l)e'+厂dr]。

(13)欧拉方程x2y"+xy'-4y=0满足条件y⑴=1,y'⑴=2的解为y=.

(14)设2为空间区域｛(x,y,z)\x2+4yW,0z?2｝表面的外侧，则曲面积分

@Ydydz+>,2dzdx+z2dxdy=.

z

(15)设A=(囱)为3阶矩阵,&为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|41=3,则

A”+4|+A=----------------

(16)甲、乙两个盒子中有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,

再从乙盒中任取一球,x,y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x,丫的相关系数

PxY=-----------------

三、解答题：17〜22小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

14-[ezd/i

求极限lim—囱------------.

A

XTOe-1sinx

\/

(18)(本题满分12分)

”+100

设un3=e"+----------("=L2,…)，求级数y”,(x)的收敛域及和函数.

»(«+!)M

(19)(本题满分12分)

己知曲线C:+2厂—Z=6,求。上的点到xOy坐标面距离的最大值.

4x+2y+z=30,

(20)(本题满分12分)

设。uR2是有界单连通闭区域,1(D)=jj(4-%2-r)dxdy取得最大值的积分区域记

D

为。.⑴求/(/),)的值;(2)计算((屁…+y)d^+(4；e…-只由，，其中合4是A的

A厂+4厂

正向边界.

(21)(本题满分12分)

'a1-P

已知A=1a-1.(1)求正交矩阵P,使得「TAP为对角矩阵;(2)求正定矩阵C,使

、—1-1a,

得C?=(a+3)E—A.

(22)(本题满分12分)

在