第七章重积分第六章电子6 1zh

多元函数的概念偏导数与全微分多元复合函数求导法隐函数求导法•多元函数微分学的几何应用•方向导数与梯度•多元复合函数的极值及其求法第6

章多元函数的微分学及其应用6.1

多元函数的概念平面点集的有关概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的概念平面点集的有关概念1.

邻域设P0

(x0

,y0

)是xoy平面上的一个点，d

是某一正数，与点P0

(x0

,y0

)距离小于d

的点P(x,y)的全体，称为点P0

的d

邻域，记为U

(P0

,d

)，00U

(

P

,d

)

=

{P

|

PP

|<

d}2

2(

x

-

x0

)

+

(

y

-

y0

)=

{(

x,

y)

|

<

d}.0

d

PEP12

区域内点

设

E

是平面上的一个点集，

P

是平面上的一个点．如果

存在点

P

的某一邻域U

(P

)

E

，则称P

为E

的内点.E

的内点属于E

.外点

如果存在点

P的某一邻域

U

(

P

)，使得U

(

P

)

E

=

˘

，则称

P

为

E

的外点.开集

如果点集

E

的点都是内点，则称E

为开集.=

{(

x,

y)

1

<

x

2

+

y

2

<

4}1例如，E即为开集．P2(4)

边界点 如果点P

的任一个邻域内既有属于

E的点，也有不属于

E

的点（点

P

本身可以属于

E

，也可以不属于

E

），则称

P

为

E

的边界点．E

的边界点的全体称为E

的边界．记为¶E.EP且该折线上的点都属于

D

，则称开集D

是连通的．(5)

连通集 设

D

是开集．如果对于D

内任何两点，都可用折线连结起来，(6)区域例如，{(

x,

y)

|

1

<

x

2

+

y

2

<

4}.连通的开集称为区域或开区域．yxo开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，{(

x,

y)

|

1

£

x

2

+

y

2

£

4}.xyo{(

x,

y)

|

x

+

y

>

0}£

4}

有界闭区域；无界开区域．xyo例如，{(

x,

y)

|

1

£

x

2

+

y

2使E U

(O,

r

)则称

E

为有界点集，否则称为无界点集．对于点集E

如果存在正数r

,３有界集4

聚点设E

是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P

的任何一个去心邻域内总有点属于点集E，则称P

为E

的聚点.注：(1)

内点一定是聚点；(2)

边界点一定是聚点；例如

{(

x,

y)

|

0

<

x

2

+

y

2

£

1}(0,0)既是边界点也是聚点．(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．{(

x,

y)

|

0

<

x

2

+

y

2

£

1}例如,(0,0)

是聚点但不属于集合．{(

x,

y)

|

x

2

+

y

2

=

1}例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．5

n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组(

x1

,

x2

,,

xn

)的全体为

n维空间，而每个

n元数组(

x1

,

x2

,,

xn

)称为

n维空间中的一个点，数xi

称为该点的第i

个坐标.注：(1)

n维空间的记号为Rn

;(2)

n维空间中两点间距离公式P(

x1

,

x2

,,

xn

),

Q(

y1

,

y2

,,

yn

),2

2

2(

y1

-

x1

)

+

(

y2

-

x2

)

+

+

(

yn

-

xn

)

.|

PQ

|=特殊地当n=1，2，3

时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．注：n维空间中邻域、区域等概念{

}n0

0<

d,

P

˛

RU

(

P

,d

)

=

P

|

PP

|内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为6.1.2

多元函数的概念1

二元函数的定义定义6.1.１设D是平面上的一个点集，则称映射f:Dfi

R为定义在D上的二元函数，记为

z

=

f

(

x

,

y

),

(

x

,

y

)

˛

D

,

或z

=

f

(

P

),

P

˛

D类似地可定义三元及三元以上函数．当n

‡2时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.例1

求f

(x,y)=的定义域arcsin(3

-

x

2

-

y

2

)解

x

-

y

2

>

0x

-

y

2

3

-

x

2

-

y

2

£

12x

>

y2

£

x

2

+

y

2

£

4所求定义域为D

=

{(

x,

y)

|

2

£

x

2

+

y

2

£

4,

x

>

y

2}.二元函数的图形通常是一张曲面.2

二元函数z=f(x,y)的图形设函数z

=f

(x,y)的定义域为D,

P0

(x0

,y0

)是其聚点，如果对于任意给定的正数

，总存在正数d

，使得对于适合不等式0

0

00

<|

PP

|=

(

x

-

x

)2

+

(

y

-

y

)2<d

的一切点，都有|

f

(

x,

y)

-

A

|<

e成立，则称

A

为函数z

=

f

(

x,

y)当x

fi

x0

，

yfi

y0

时的极限，记为

lim

f

(

x,

y)

=

Axfi

x0yfi

y0（或f

(x,y)fi

A(

r

fi0)这里r

=|

PP0

|）.6.1.3

多元函数的极限定义6.1.2注：（1）定义中

Pfi

P0

的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限lim

f

(

x,

y);xfi

x0yfi

y0与二次极限lim

lim

f

(

x,

y)及

lim

lim

f

(

x,

y)不同。xfi

x0

yfi

y0

yfi

y0

xfi

x0（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）

二元以上的函数的极限可类似地定义。例2

用定义证明证明:=

01x

2

+

y

2xfi

0yfi

02．二元函数极限问题举例lim(

x

2

+

y

2

)

sin-

01(

x

2

+

y

2

)

sinx

2

+

y

21=

x

2

+

y

2

sin£

x

2

+

y

2"

e

>

0,x

2

+

y

2$

d

=

e,<d时，当0

<

(

x

-

0)2

+

(

y

-

0)2-

0

<

e1x

2

+

y

2(

x

2

+

y

2

)

sin原结论成立．例3

求极限.sin(

x

2

y)limxfi

0yfi

02

2x

+

y解x

2

+

y

2sin(

x

2

y)limxfi

0yfi

02

,sin(

x

2

y)

x

2

y=

limxfi

0yfi

022x

y

x

+

y其中x

ysin(

x

2

y)

u

=

x

2

ylimxfi

0yfi

02usin

ulimufi

0=

1,x

2

yx

2

+

y

2x12£xfi

0fi

0,=

0.sin(

x

2

y)\

limxfi

0yfi

0x

2

+

y

2例4

证明不存在limxyxfi

0

x

2

+

y

2yfi

0分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限不存在。证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有22limxfi

0y

=kxfi

0x

+

yxy显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限不存在limxyyfi

0xfi

0

x

2

+

y

222

22kx

2

k=+

k

x

1

+

k=

limxfi

0

x例4*.是否存在24x

2

ylimyfi

0xfi

0

x+

y解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时，24x

2

ylimxfi

0y

=kxfi

0x

+

y当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,4x

2

yy=kx

fi

0limxfi

02x

+

y2

=

lim它是与k的取值有关的，所以二重极限不存在24x

2

ylimyfi

0xfi

0

x+

y2

24kx

3=

limxfi

0

x=

0=

limkx+

k

x

xfi

0

x

2

+

k

2xfi

0

x

4

+

k

2

x

4kx

41

+

k

2k=（1）

令P(x,y)沿y=kx

趋向于P0

(x0

,y0

)，若极限值与k

有关，则可断言极限不存在；（2）

找两种不同趋近方式，使lim

f

(

x,

y)存在，xfi

x0yfi

y0但两者不相等，此时也可断言f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)处极限不存在．(3)

特殊趋向：y

=x,y

=x

2

,x

=y

2

,y

=x

3等.确定极限不存在的方法：6.1.4

多元函数的连续性1

多元函数连续性的定义定义6.1.3

设n

元函数f

(P

)的定义域为点集D,

P0是其聚点且P0

˛

D，如果

lim

f

(P

)

=

f

(P0

)P

fi

P0则称n元函数f

(P

)在点P0

处连续.设P0

是函数f

(P

)的定义域的聚点，如果f

(P

)在点P0

处不连续，则称P0

是函数f

(P

)的间断点.注:

(1)

间断点的判别与一元函数类似。(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。例5

讨论函数0,

x

3

+

y

3(

x,

y)

=

(0,0), (

x,

y)

„

(0,0)f

(

x,

y)

=2

2x

+

y在(0,0)处的连续性．解

取x

=

r

cosq

,

y

=

r

sinq2

2+

yx

3

+

y

3lim

f

(

x,

y)

=

limxfi

0

xxfi

0yfi

0

yfi

0=

lim

r(sin

3

q

+

cos3

q)

=

0rfi

0lim

f

(

x,

y)

=

f

(0,0),(

x

,

y

)fi

(0,0)故函数在(0,0)处连续.0,在(0,0)的连续性．例6

讨论函数x

2

+

y

2

=

0,

x

2

+

y

2

„

0f

(

x,

y)

=22x

+

yxy解

取limy

=

kxxyyfi

0xfi

0

x

2

+

y

22

2

2kx

2x

+

k

x=

limxfi

0y

=kxk

2k=1

+其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．2

闭区域