第5章三角函数5 7应用

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三角函数的应用课标定位素养阐释了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义,能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.会用三角函数构建刻画物理中周期变化的数学模型.体会数学建模的过程,加强数学建模和数学运算能力的培养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习自主预习·新知导学一、弹簧振子的运动模型【问题思考】1.一个弹簧振子做简谐振动,在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间对应数据绘制成简图如图所示.(1)若用函数y=Asin(ωt+φ)来刻画位移y随时间t的变化规律,你能写出y的关于t的函数解析式吗?提示:由题图可知

ω=𝟐𝛑

𝟏𝟎𝛑,A=20.𝟎.𝟔

𝟑又t=0

时,y=20sin

φ=-20,𝟐解得φ=-𝛑+2kπ,k∈Z.𝟑

𝟐故

y=20sin

𝟏𝟎𝛑

-

𝛑

.(2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响?提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体位置.2.填空:简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中

A>0,ω>0.(1)A是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;𝝎(2)简谐运动的周期T=𝟐𝛑,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;𝑻

𝟐𝛑(3)简谐运动的频率由公式

f=𝟏

𝝎

给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;(4)ωx+φ

称为相位;x=0

时的相位φ

称为初相.3.做一做:y=sin𝟓-𝛑

的初相是.答案:-𝛑𝟓二、拟合函数模型【问题思考】我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的散点图,观察

散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”.(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.(√)(2)在研究具体问题时,我们常常利用搜集到的数据,作出相应√的“散点图”来获得相应的函数模型.(

)(3)函数y=|cos

x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线.(

×

)合作探究·释疑解惑探究一三角函数模型在物理中的应用【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为𝟑s=4sin

𝛑

,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?分析:确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.解:列表如下:t-𝝅𝟔𝝅𝝅𝟑𝟕𝝅𝟏𝟐𝟓𝝅𝟔2t+𝝅𝟑0𝟏𝟐𝝅𝟐π𝟑𝝅𝟐2πsin𝝅𝟑010-10s040-40描点、连线,图象如图所示.𝟑(1)将

t=0

代入

s=4sin

𝛑

,得

s=4sin𝛑=2

,𝟑所以小球开始振动时的位移是

2

cm.小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4

cm和-4

cm.因为函数s的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π

s.反思感悟三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.【变式训练1】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离𝟔𝛑

.s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数解析式为s=6sin(1)作出该函数的图象;(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(4)单摆来回摆动一次需多长时间?解:(1)利用“五点法”可作出其图象,如图.(2)因为当t=0

时,s=6sin𝛑=3,所以此时单摆离开平衡位置3

cm.𝟔(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置6

cm.𝟐𝛑(4)因为T=𝟐𝛑=1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1

s.(2)因为当t=0

时,s=6sin𝛑=3,所以此时单摆离开平衡位置3

cm.𝟔(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置6

cm.𝟐𝛑(4)因为T=𝟐𝛑=1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1

s.t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0探究二数据拟合问题【例2】某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是有关时间t与水深y的数据:在平面直角坐标系中描出上表中的点.根据表中的数据,你能选用一个函数描述时间与水深的关系吗?并求出选用函数的解析式.分析:(1)先建立平面直角坐标系,再描点;(2)根据散点分布趋势,寻找函数关系.解:(1)以时间t(单位:h)为横轴,水深y(单位:m)为纵轴,建立平面直角坐标系.在坐标系中画出散点图如图.(2)从拟合曲线可知,函数y=Asin

ωt+b能描述时间与水深的关系.函数y=Asin

ωt+b

在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h),𝝎此为半个周期,所以函数y

的最小正周期为12

h.所以𝟐𝛑=12,𝛑即ω=𝟔.又当t=0时,y=10;当t=3

时,ymax=13.所以b=10,A=13-10=3.𝟔所以所求函数的解析式为y=3sin𝛑t+10(0≤t≤24).反思感悟本题中没有明确函数的类型,可通过画散点图来拟合曲线.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数,再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.因为实际问题的背景往往比较复杂,所以要注意认真审题,从中抽取基本的数学关系.【变式训练2】已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据.t/h03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用光滑的曲线连接起来(如图),由图可设f(t)=Acos

ωt+b,并且周期T=12,故

ω=𝟐𝛑

𝟐𝛑

𝛑.𝑻

𝟏𝟐

𝟔由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;由t=3,y=1.0,得b=1.故A=0.5,b=1.所以y=𝟏cos𝛑t+1.𝟐

𝟔𝟐

𝟔(2)由题知,当y>1

时才可对冲浪爱好者开放,故𝟏cos𝛑t+1>1,𝛑

𝛑解得

cos𝛑t>0,故

2kπ-𝛑

t<2kπ+

(k∈Z),𝟔

𝟐

𝟔

𝟐即12k-3<t<12k+3(k∈Z).①因为0≤t≤24,所以可令①中k

分别取0,1,2,得0≤t<3

或9<t<15

或21<t≤24.所以在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.易

错

辨

析不能正确认识简谐运动的过程致错【典例】弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C两点相距20

cm,某时刻振子处在点B,经0.5秒振子首先到达点C.求:振子振动的振幅、周期和频率;振子在5秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小.错解:(1)因为B,C两点相距20

cm,所以振幅A=20

cm.𝟏因为振子从点B经0.5秒首次达到点C,所以周期T=0.5

s,频率f=

𝑻

=2Hz.(2)5秒内的路程=位移=5A=100(cm).以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)算错了周期,误认为由点B到点C是一个周期,实际上是半个周期;(2)混淆了物理上的路程和位移,导致错解.正解:(1)设振幅为A,则2A=20

cm,即A=10

cm.设周期为T,则𝑻=0.5,T=1

s,故频率f=1

Hz.𝟐(2)振子在1个周期内通过的距离为4A,当t=5

s时,可知振子振动了5个周期,故距离s=5×4A=20A=20×10=200(cm)=2(m).

因为5秒末物体处在点B,所以它相对平衡位置的位移为10

cm.防范措施在应用三角函数模型求解物理问题时,要注意对物理量的准确理解,防止出错.【变式训练】已知交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)𝟔的关系可用

E=220

sin

𝛑

来表示,求:(1)开始时的电压;电压值重复出现一次的时间间隔;电压的最大值和第一次获得最大值的时间.解:(1)当

t=0

时,E=110

伏,即开始时的电压为

110

伏.(2)T=

𝟐𝛑

𝟏𝟎𝟎𝛑

𝟓𝟎𝟏

(秒),即时间间隔为0.02

秒.𝛑

𝛑(3)电压的最大值为

220

伏,当

100πt+𝟔

𝟐,𝟑𝟎𝟎即

t=

𝟏

秒时,第一次取得最大值.随

堂

练

习1.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin𝒕𝟐(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t

的单位是分,则车流量是增加的时间段是()A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]解析:当

10≤t≤15

时,有𝟑𝛑<5≤𝒕

𝟏𝟓

𝟓𝛑,𝟐

𝟐

𝟐

𝟐𝟐此时F(t)=50+4sin𝒕

是单调递增函数,即车流量在增加.答案:C2.一质点做简谐运动的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)该质点的运动周期为0.7

s该质点的振幅为5

cm该质点在0.1

s和0.5

s时运动速度最大该质点在0.3

s和0.7

s时运动速度为零答案:B3.已知简谐运动

f(x)=2sin

𝛑

|𝟑

𝟐|

𝛑

的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期

T

和初相

φ

分别为(

)A.T=6,φ=𝛑

B.T=6,φ=𝛑𝟔

𝛑

𝟑

𝛑C.T=6π,φ=𝟔

D.T=6π,φ=𝟑𝛑𝟑解析:由题意可知T=𝟐𝛑

=6,f(0)=2sin

φ=1,𝛑

𝛑又|φ|<𝟐,所以φ=𝟔.故选A.答案:A4.某简谐运动的图象如图所示,这个简谐运动需要

往返一次.