初二数学经典动点问题

初二数学经典动点问题

1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm。动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？2、在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于点E。（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。3、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm。点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s。点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？4、在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动。当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止。已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x/2cm。（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由。5、直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动。（1）直接写出A、B两点的坐标。1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm。点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动。设移动时间为t秒。求S与t之间的函数关系式。设点Q运动时间为t（秒），则点P的运动时间为t+3（秒），因为AD=18，所以点P的坐标为（0，18+t），点Q的坐标为（21-2t，0），点B的坐标为（21，0）。连接PB、PA、QC，可以得到△PAB和△QBC，它们的底边分别为14和21-2t，高均为18+t，所以它们的面积分别为7(18+t)和(21-2t)(18+t)。因此，△OPQ的面积S为：S=△OAB+△QBC-△OPB-△OPQ=7(18+t)+(21-2t)(18+t)-14(18+t)-1/2(21-2t)(18+t)=36t-1/2t^2因此，S与t之间的函数关系式为S=36t-1/2t^2。当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。将S=36t-1/2t^2=485带入得到t=17或t=19。因为点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，所以当t=17时，点P的坐标为（0，35），当t=19时，点P的坐标为（0，37）。当t=17时，点Q的坐标为（21-2×17，0）=(-13,0)。因此，以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标为（-13,35）。当t=19时，点Q的坐标为（21-2×19，0）=(-17,0)。因此，以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标为（-17,37）。2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为。根据三角不等式，有DN+MN≥DM=1。当点N在AC的中点时，DN+MN=1，此时DN+MN取得最小值。3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，如下图所示：因为AC=BC，所以∠CAB=∠CBA，∠CAD=∠CBD，因此△ADC和△CEB的两个锐角分别相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四边形ADME是一个矩形，所以DE=AM。又因为△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此DE=AM=BC^2/2CD=AD+BE。（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，如下图所示：因为AC=BC，所以∠CAB=∠CBA，∠CAD=∠CBD，因此△ADC和△CEB的两个锐角分别相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四边形ADME是一个矩形，所以DE=AM。又因为△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此DE=AM=BC^2/2CD=AD-BE。（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，如下图所示：因为AC=BC，所以∠CAB=∠CBA，∠CAD=∠CBD，因此△ADC和△CEB的两个锐角分别相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四边形ADME是一个矩形，所以DE=AM。又因为△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此DE=AM=BC^2/2CD。因为AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，因此AD=BD=AB/√2=10/√2，BE=CE=BC/√2=7/√2。因此，DE=BC^2/2CD=49/CD，AD=10/√2，BE=7/√2。因此，DE/AD=49/(10√2)、DE/BE=49/(7√2)，因此DE^2=AD×BE×49/2，即DE^2=245/2，所以DE=7√(5/2)。因此，DE、AD、BE满足DE^2=AD×BE×49/2，即它们具有等量关系。4、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点。（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；当点Q的运动速度与点P的运动速度相等时，它们的速度均为3cm/s，经过1秒后，点P到达D点，点Q到达A点，因此△BPD和△CQP的底边均为8厘米，高均为6厘米，因此它们的面积相等，即△BPD≌△CQP。②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？当点Q的运动速度为6cm/s时，它们的速度比为2:1，经过2秒后，点P到达D点，点Q到达A点，此时△BPD和△CQP的底边均为8厘米，高均为6厘米，因此它们的面积相等，即△BPD≌△CQP。（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？点Q的速度为6cm/s，点C到A的距离为10厘米，因此点Q从C到A需要的时间为10/6秒。点P的速度为3cm/s，点B到C的距离为8厘米，因此点P从B到C需要的时间为8/3秒。因此，点Q从C到A的时间为10/6秒，点P从B到C的时间为8/3秒，它们的时间之和为（10/6+8/3）秒=2秒。因此，点P和点Q在△ABC的边BC上相遇，相遇点为D点。5、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合。（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；如下图所示，连接AE、AF、BF、CE、CF、DE。因为ABCD是菱形，所以AD=BC=4，∠BAD=120°，因此△ABD是等边三角形，所以BD=4。因为△AEF是正三角形，所以AE=EF=FA=4，因此△AEF是等边三角形。因为AE=FA=4，所以∠EAF=60°，因此∠BAF=∠BAD-∠EAF=60°，因此△ABF是等边三角形，所以BF=4。因为ABCD是菱形，所以∠ACB=∠BCD=60°，因此△BCD是等边三角形，所以CD=4。因为ABCD是菱形，所以∠ADB=∠BDC=60°，因此△ADB和△BDC是等腰三角形，所以AD=BD=CD=4。因为AE=4，所以∠AEB=∠AED=60°，所以四边形ABED是一个圆形，所以∠EAB=∠EDB=30°，因此∠FCD=∠BCD-∠BCF=60°-30°=30°，因此△FCD是等腰三角形，所以CF=CD=4。因此，BE=BD-DE=4-CE=CF。因此，不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF。当点E、F在线段BC和CD上滑动时，我们需要分别探讨四边形AECF和三角形CEF的面积是否会发生变化。如果它们的面积不会发生变化，我们需要