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文档简介
关于量词及其否定第1页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3;(2)2x+1是整数;(3)对所有的x∈R,x>3;(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。语句(1)(2)不能判断真假,不是命题;语句(3)(4)可以判断真假,是命题。全称量词、全称命题定义:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示。含有全称量词的命题,叫做全称命题。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等。第2页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三全称命题举例:全称命题符号记法:命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数;所有的正方形都是矩形。
通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。第3页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三解:(1)假命题;例1判断下列全称命题的真假:(1)所有的素数都是奇数;(2)(3)对每一个无理数x,x2也是无理数。小结:——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可(举反例)(2)真命题;(3)假命题。第4页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三练习:1判断下列全称命题的真假:(1)每个指数函数都是单调函数;(2)任何实数都有算术平方根;(3)第5页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3;(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x0∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。语句(1)(2)不能判断真假,不是命题;语句(3)(4)可以判断真假,是命题。存在量词、特称命题定义:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示。含有存在量词的命题,叫做特称命题。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。第6页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三存在性命题举例:存在性命题符号记法:命题:有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数。
通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,存在性命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为:读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。第7页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三解:(1)假命题;(2)假命题;(3)真命题。例2判断下列存在性命题的真假:(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数。小结:——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在。——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可(举例证明)第8页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三练习:2判断下列特称命题的真假:(1)(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;(3)(4)存在这样的实数它的平方等于它本身。(5)任一个实数乘以-1都等于它的相反数;(6)存在实数x,x^3>x^2;第9页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法:命题全称命题存在性命题①所有的x∈M,p(x)成立②对一切x∈M,p(x)成立③对每一个x∈M,p(x)成立④任选一个x∈M,p(x)成立⑤凡x∈M,都有p(x)成立①存在x
0∈M,使p(x)成立②至少有一个x
0∈M,使p(x)成立③对有些x
0∈M,使p(x)成立④对某个x
0∈M,使p(x)成立⑤有一个x
0∈M,使p(x)成立表述方法第10页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三思考:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定
.想一想这些命题和它们的否定在形式上有什么不同?(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)x∈R,x2-2x+1≥0;第11页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三(1)p:
x∈R,x2+2x+2≤0;(2)p:有的三角形是等边三角形;(3)p:有些函数没有反函数;(4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分;(5)p:不是每一个人都会开车;(6)p:在实数范围内,有些一元二次方程无解;探究:写出命题的否定第12页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是存在性命题.第13页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三一般地,对于含有一个量词的存在性命题的否定,有下面的结论:存在性命题它的否定存在性命题的否定是全称命题.第14页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三关键量词的否定
词语是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个成立
第15页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三例3
写出下列全称命题的否定:(1)p:所有人都晨练;(2)p:xR,x2+x+1>0;(3)p:平行四边形的对边相等;(4)p:
x∈R,x2-x+1=0;第16页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三例4
写出下列命题的否定(1)所有自然数的平方是正数。(2)任何实数x都是方程5x-12=0的根。(3)对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.(4)有些质数是奇数。第17页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三例5
写出下列命题的否定(1)若x2>4则x>2.。(2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。(3)可以被5整除的整数,末位是0。(4)被8整除的数能被4整除。第18页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三例6写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。(1)p:若x>y,则5x>5y;(2)p:若x2+x﹤2,则x2-x﹤2;(3)p:正方形的四条边相等;(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0。第19页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三练习:写出下列命题的否定:(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;(3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3;(4)p:任意素数都是奇数;(5)p:每个指数函数都是单调函数;(6)p:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;第20页,讲稿共22页,2023年5月2日,星期三命题的否定与否命题是完全不同的概念1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若
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