2021年北京平谷县王辛庄中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年北京平谷县王辛庄中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,,则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.【详解】解:,即.又,故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.2.等比数列{an}中，若a4a5=1，a8a9=16，则a6a7等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】由数列{an}为等比数列，利用等比数列的性质得到a8a9=q8?a4a5，将已知a4a5=1，a8a9=16代入求出q8的值，开方求出q4的值，然后把所求的式子再利用等比数列的性质化简后，将q4的值与a4a5=1代入，即可求出值．【解答】解：∵数列{an}为等比数列，a4a5=1，a8a9=16，∴a8a9=q8?a4a5，即q8=16，∴q4=4，则a6a7=q4?a4a5=4．故选A3.有下列说法：（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件；（3）“”为

真是“”为假的必要不充分条件；（4）“”为真是“”为假的

必要不充分条件。其中正确的个数为A.

1

B.

2

C.

3

D.

4参考答案：B4.对一个容量为N的总体抽取容量n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽样时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.（5分）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．参考答案：[1，2）略6.函数的最大值与最小值之差为A

B.

4

C.

3

D.参考答案：A7.已知数列{an}满足，且，则数列{an}的通项公式为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.双曲线的渐近线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知点，则与同方向的单位向量是（

）A．

B．

C．D．参考答案：A略10.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（

）A．

B．

C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在R上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则在区间上的值域为

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参考答案：12.已知向量中任意两个都不共线,且与共线,与共线,则向量=

．参考答案：13.函数的最小正周期是__________．参考答案：略14.若数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，那么就称数列{an}具有相纸P，已知数列{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=．参考答案：15【考点】数列递推式．【分析】根据题意，由于数列{an}具有性质P以及a2=a5=2，分析可得a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，结合题意可以将a6+a7+a8=21变形为a3+a4+a5=21，计算可得a4的值，进而分析可得a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）；分析可得a2017的值．【解答】解：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2=a5=2，则有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，若a6+a7+a8=21，可得a3+a4+a5=21，则a4=21﹣3﹣3=15，进而分析可得：a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）则a2017=a3×672+1=15，故答案为：15．15.在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则_______________.参考答案：略16.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为

．参考答案：【知识点】几何概型【试题解析】

故答案为：17.若loga4b=－1，则a+b的最小值为

。参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，．（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围；（3）求函数的单调区间．参考答案：（1）当时，，其定义域为（0，+?）.因为，…………1分所以在（0，+?）上单调递增，…………2分所以函数不存在极值.

…………3分（2）由存在一个，使得成立，等价于，即成立…………4分令，等价于“当时，”.…………5分因为，且当时，，所以在上单调递增，…………7分故，因此.

…………8分（3）函数的定义域为．…………9分当时，因为在（0，+?）上恒成立，所以在（0，+?）上单调递减.……………10分当时，当时，方程与方程有相同的实根.①当时，?>0，可得，，且……………11分因为时，，所以在上单调递增；因为时，，所以在上单调递减；因为时，，所以在上单调递增；……………12分②当时，，所以在（0，+?）上恒成立，故在（0，+?）上单调递增.……………13分综上所述，当时，的单调减区间为（0，+?）；当时，的单调增区间为与；单调减区间为；当时，的单调增区间为（0，+?）.……………14分19.（14分）设等差数列的各项均为整数，其公差，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，且

成等比数列，求；（Ⅲ）若

成等比数列，求的取值集合.参考答案：解析：（Ⅰ）因为等差数列的各项均为整数，所以.……..1分由，得，即，解得.注意到，且，所以

或

.3分（Ⅱ）解：由，，得，从而，

故.

…..5分由成等比数列，得此等比数列的公比为，从而由，解得，.

……..7分（Ⅲ）解：由，得.由成等比数列，得.由，化简整理得 ……..9分因为，从而，又且，从而是的非的正约数，故

…………..10分①当或时，，这与的各项均为整数相矛盾，

所以，且. ……..11分②当时，由，但此时，这与的各项均为整数相矛盾，

所以，.

…..12分③当时，同理可检验，

所以，.

……..13分当时，由（Ⅱ）知符合题意.综上，的取值只能是，即的取值集合是.

……..14分

20.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关

甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀

成绩不优秀

总计

P≥（k2≥k）0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8145.024参考答案：【分析】（1）根据题意求出随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2然后根据题意求出ξ取每一个值的概率再根据分布列和期望的定义即可得解．（2）根据频率分布直方图中每个小矩形的面积即为随机变量落在此区间的概率以及概率=求出“成绩优秀”的人数和“成绩不优秀”的人数然后即可填表，再利用附的公式求出K2的值再与表中的值比较即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4ξ的所有可能取值为0，1，2则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，p（ξ=2）==故ξ的分布列为（Ⅱ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46根据列联表中数据可得：≈4.762由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望和方差、及独立性性检验，属新型的题目，较难．解题的关键是要理解频率分布直方图中每个小矩形的面积即为随机变量落在此区间的概率同时要牢记公式概率=！21.已知函数；（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣2x，是否存在实数a，对?x1∈（0，2]，?x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题．【分析】（1）先求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，可求a的值；（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（3）由题意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（2）求出的f（x）的单调区间，即可求出f（x）的最大值，进而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：（1）∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行∴f′（1）=f′（3）∴（2）函数的定义域为（0，+∞），=当a=0时，单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；当时，单调增区间为（2，），单调减区间为（0，2），（，+∞）；当时，单调增区间为（0，+∞）；当时，单调减区间为（0，），（2，+∞）；单调增区间为（，2）；当a＜0时，单调减区间为（2，+∞）；单调增区间为（0，2）；（3）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．由x∈（0，2]，得到g（x）max=g（2）=0，当a≤时，f（x）在（0，2]单调递增，此时f（x）max=f（2）=﹣2a﹣2+2ln2，∴﹣2a﹣2+2ln2＜0∴，当时，f（x）在（0，）上递增