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轴对称【知识要点】1、轴对称图形:如果沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。2、轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,说这两个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。3、对称点:翻折后(图形重合时)能够互相重合的点。4、垂直平分线(中垂线):垂直并且平分一条线段的直线。结论1:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。结论2:如果一个图形关于某一条直线对称,那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。【典型例题】例1.在下列十个汉字中,哪几个是轴对称图形?他们各有几条对称轴?上下目天田土吕林显王例2.如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例3.下列图形中是轴对称图形的有()①矩形;②菱形;③平行四边形;④四边形;⑤等腰梯形;⑥直角梯形;⑦三角形;⑧等边三角形;⑨等腰三角形;⑩正六边形A.5个B.6个C.7个D.8个例3.判断题①两个关于某直线对称的图形是一模一样的。()②两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线的两旁。()③两个对称图形对应点连线的垂直平分线,就是他们的对称轴()④平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称()AQPl2l1例4.如图,l1、l2交于A点,P、Q的位置如图所示,试确定M点,使它到l1、lAQPl2l1例5.已知如图1,MN垂直平分线段AB,CD垂足分别为E、F,求证:AC=BD,∠ACD=∠BDC.例6.已知:在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,△BCE周长为8,且AC-BC=2,求AB,BC的长。例7.如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,D′E与BC的交点为G,点D、C分别落在点D′、C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.例9.如图是台球桌面矩形网格示意图,图中的四个角各有一个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以多次反射),那么该球最后将落入的球袋是()A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋等腰三角形【知识要点】1、等腰三角形的两个底角相等;2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”);3、等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。4、等边三角形:①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。5、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。【典型例题】例1.若等腰三角形的底边长为10cm,则腰长的取值范围是.例2.若等腰三角形的一个角为40°,则另两个角为__________________。例3.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形例4.设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是()A.0<α<90°
B.α<90°
C.0<α≤90°
D.0≤α<90°例5.若等腰三角形的一个外角为120°,一边长为2cm,则另外两边长为例6.△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AB+BC=6cm,则BC=例7.如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,点E在AB上,DE⊥AB,AD=8cm,则AE=cm,AC=cm例8.如图,△ABC中,、的平分线交于点D,EF过点D,分别交AB、AC于点E、点F,且EF//BC.(1)求证:ED=EB;(2)若△ABC是边长为3的正三角形,求EF。例9.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度数.例10.已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,若AD=AB,∠CAD=36°,求∠DBC的度数。例11.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CD=,∠A=60°,∠D=150°。已知四边形的周长为32,求四边形ABCD的面积.例12.如图所示,P是等边三角形ABC内一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系?并证明;(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连PQ.试判断△PQC的形状并说明理由.课题学习最短路径问题【典型例题】例1.如图,草原上两个居民点A,B在河流L的同旁,一汽车从A出发到B,途中需到河边加水,汽车在哪一点加水,可使行驶的路程最短?在途中画出该点。例2.图中A,B为公路L同旁的两个村庄,在L上找一点P.(1)当P到A,B等距离时,P在何处?(2)当P到两村距离之和最小时,P在何处?例3.如图所示,一牧人带马群从A点出发,先到草地边缘MN放牧,再带马群到河边缘PQ去给马饮水,试问:牧人应走哪条路线才能使总路程最短?例4.草原上有两个居民点A,B在河流的同旁,如图所示,暑假里小颖和父母去旅游恰好路过此地,他们的汽车从居民点A到B,途中需要到河边加水,为了使行驶的路程最短,小颖设计出了汽车应在河边的某一特定位置加水,你能找出这个特定位置在河边的什么地方吗?说明理由.ABCEF例5.如图所示,E、F分别是△ABC的边AB、AC的两定点,在BC上求一点ABCEF【思考题】例6.如图,已知:A、B两点在直线MN的同侧,且AB
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