八平稳随机过程课件

2023/7/51平稳随机过程与各态历经过程平稳随机过程的概念平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。*平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。*实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。*非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？(1)定义如果对于任意的n和，随机过程X(t)的n维概率密度满足：则称X(t)为严平稳（或狭义）随机过程。t严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关。5.1平稳随机过程5.1.1严平稳(2)一、二维概率密度及数学特征严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关t严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,

t2的时间间隔有关，而与时间起点无关按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：

(1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。

(2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t0)具有相同的统计特性。(3)严平稳的判断若随机过程X(t)满足则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。5.1.2宽平稳随机过程平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题例1.设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求：Z(t)的均值和自相关函数；证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。解：因此，Z(t)是宽平稳的。因此，Z(t)不是严平稳的。例2.设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。解：X(t)不是平稳过程。Y(t)是平稳过程。5.1.4平稳随机过程相关函数的性质1)实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即，同理可得。证明：

2)平稳过程的均方值就是自相关函数在时的值

3)平稳过程自相关函数的最大值在处，，同理可得证明：

4)周期为T的平稳过程，其自相关函数也是周期为T的函数

5)不含任何周期分量的非周期平稳过程满足

6)若平稳过程含有平均分量为mX，则自相关函数将含有固定分量mX2，即

7)自相关函数必须满足并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续 数学期望 均方值 方差 协方差例3：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为

RX(τ)=100e-10|τ

|+100cos10τ

+100

求X(t)的均值、均方值和方差。

RX(τ)=（100cos10τ

）+（100e-10|τ

|+100）

=RX1(τ)+RX2(τ)式中，RX1(τ)=100cos10τ是X(t)中周期分量的自相关函数，此分量的均值mx1=0;RX2(τ)=100e-10|τ

|+100是X(t)的非周期分量的自相关，由性质4，可得所以有解：严平稳随机过程宽平稳随机过程严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关。一维概率密度与时间无关均值、均方值、方差及与时间无关二维概率密度仅与时间间隔有关相关函数仅与时间间隔有关均值与时间无关，相关函数仅与时间间隔有关此值在[－1，1]之间。相关系数表示不相关表示完全相关表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。5.1.5平稳过程的相关系数和相关时间当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。

(1)相关系数从最大值1下降至0.05时所经历的时间间隔，记做相关时间,即:

(2)用钜形（高为,底为的矩形）面积等于阴影面积(积分的一半）来定义相关时间，即物理意义相关时间越小，就意味着相关系数随增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，越大，则表示随机过程随时间变化越慢。

相关时间例4：已知平稳随机过程X1(t)的自相关函数为求它们的相关系数和相关时间

平稳随机过程X2(t)的自相关函数为解：由知由知1遍历性过程的定义

如果一个随机过程X(t),它的各种时间平均（时间足够长）依概率1收敛于相应的集合平均,则称X(t)具有严格遍历性,并称它为严遍历过程。严遍历性的定义5.2遍历性或各态历经性

设X(t)是一个平稳随机过程，且满足：则称X(t)为宽(或广义)遍历过程。时间均值均值遍历时间相关函数相关函数遍历依概率1成立

宽遍历性的定义2遍历过程的实际应用

一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。

3遍历过程和平稳过程的关系

遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）解：例5：已知随机过程,其中a和w0是常数，是在(0,2π)之间均匀分布的随机变量。请判断X(t)的平稳性和遍历性。X(t)是平稳随机过程。(1)(2)X(t)是宽遍历随机过程。解：例6：讨论随机过程的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。X(t)不是遍历性过程。一两个随机过程的联合概率分布设有两个随机过程和,它们的概率密度分别为定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数为：5.3联合平稳随机过程定义这两个过程的(n+m)维联合概率密度为：注1)若则两个随机过程是相互独立的3）可以由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布。4）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依。2）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的全部统计特性也确定了。两个随机过程和，如果：和分别宽平稳

互相关函数仅为时间差的函数，与时间t无关即则称和为联合宽平稳或宽平稳相依。1.定义联合宽平稳2.互协方差与互相关系数当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差互相关系数又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。注：。当时，随机变量和互不相关。3.联合宽平稳随机过程互相关函数的性质

(1)证明：按定义即可证明，说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。互相关函数的影像关系(2)证明：由于，为任意实数展开得：这是关于的二阶方程。注意,要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，则方程的系数应该满足,则有所以，

同理，(3)证明：由性质(2)，得注意到因此，（任何正数的几何平均小于算术平均）两个随机过程和，如果：和联合宽平稳

定义它们的时间互相关函数为：若依概率1收敛于互相关函数则称和具有联合宽遍历性。即联合宽遍历

平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数为：故这两个随机过程是平稳相依的。设两个平稳随机过程试问：X(t)和Y(t)是否平稳相依？是否正交、不相关、统计独立？例1故CXY(τ)仅在时等于零，所以X(t1)和Y(t2)是相关的，因而它们不是统计独立的。解：

必须首先判断随机过程X(t)和Y(t)的平稳性以及它们的联合平稳性。解：设两个随机过程其中a、b、w为常数，例2在(0,2π)之间均匀分布，讨论X(t)和Y(t)是否联合遍历？因此X(t)是平稳的。因此Y(t)是平稳的。因此X(t)和Y(t)是联合平稳的。因此X(t)和Y(t)是联合遍历的。5.4随机序列将连续随机过程X(t)以ts为间隔进行等间隔抽样，即得到随机序列，表示为：对于固定的j，Xj为一随机变量。N点随机序列可以看成一个N维的随机向量，即若随机序列X(n)的N个随机变量相互独立如果对任意的i，上式中的都相同，则称X(n)是独立同分布的，记为i.i.d。均值向量自相关矩阵矩阵元素为协方差矩阵

易证