某大学2022年《1083几何基础》期末考试真题及答案（共2套）

试卷代号:1083

国家开放大学202I年秋季学期期末统一考试

几何基础试题

2022年1月

ー、单项选择题(每个题4分,本题共2〇个)

1.设握{1,0,-1},b=[-2,1,1)»则2x」=().

A.{-1,1,1}B.{-1,1,-1}

C.{1,1,1}D.{1,-1,1}

2.()在射影对应下不变.

A.长度B.角度

C.面积D.交比

3.设(CA,DB)=2,则(AC,BD)=().

A.-1B.0

C.1D.2

4.若两个ー维基本图形成射影对应,则对应四元素的交比().

A.1B.相等

C.不等D.-1

5.给定无三线共点的()直线,可决定唯ーー条二级曲线.

A.三条B.四条

C,五条D.不定

二、雙空题(每小题タ分,本题共20分)

6.设。={1,-2,%),b=(-2,4,2),若公=瓦贝リア=.

7.仿射变换把等腰三角形变成.

8.由配极原则可知,无穷远点的极线一定通过.

9.二阶曲线就是个射影线束对应直线交点的全体.

10.^(AB,CD)=-1.则(AC,BD)=.

三、计算题(每小题10分,共30分)

11.求使三点(0,1),(1,-1),(1,2)的对应点分别为(1,2),(-1,3),(2,4)的仿射变

换式.

12.求过两直线[1,-1,1],[1,2,-1]的交点与点%ーめ+“3=。的连线的坐标.

13.已知A和B的齐次坐标分别为(2,1,1)和(1,-1,1),求直线AB上一点C,使(ABC)

=-1.

四、证明题(每小题10分,共30分)

14.过任意三角形的三个顶点作平行于对边的直线可做ー个三角形.

15.设△ABC,D是BC边的中点,E是AB上任意一点,连结EC交AD于〇,连结B0交AC于

F.利用完全四线形定理证明,EF〃BC.

第15题图

16.证明如果两个三点形对应顶点的连线共点,则对应边的交点共线.

第16題图

试卷代号:1083

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

几何基础试题

2022年7月

ー、选择题（每小题4分,本题共20分）

1.两个向量平行的充要条件是二者（）.

A.向量积为1B,内积为零

C.成比例D.不一定

2.若二次曲线「的极点为无穷远点,则「在此处与无穷远直线（）.

A.相切B.有两个不同交点

C.相离D.不相切

3.无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（）.

A.半径B.切线

C.渐近线D.直径

4.下列元素（）具有仿射不变性.

A.中位线B.直角

C.直径D.椭圆两轴

5.下面结论在射影变换下成立的是（）.

A.三角形中位线平行于底边且等于底边的一半

B.两条直线相交于一点

C.椭圆的两条轴相互垂直

D.等腰直角三角形顶点的中线垂直于底边

二、填空题（每小题4分，本题共20分）

6.仿射变换把平行四边形的对边变成.

7.已知共线四点的交比（CA,DB）=3,则（AB,CD）=.

8.射影对应把三角形的中线变成.

9.极线上的点与极点.

10.公理法的结构包括、

三、计算题(每小题10介，共30分)

11.求使三点(0,0),(1,1),(1,-1)的对应点分别为(2,3),(2,5),(3,-7)的仿射变

换式.

12.求四点ル(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0),D(1,5,-5)的交比(AB,CD}.

13.求点(1,-1,0)关于二阶曲线的3x；+5x扌+X：+7XIX2+4xxx3+5x2x3=〇极线

方程.

四、证明题（每小题10分,共30分）

14.证明等边三角形的中线垂直于底边.

BC

第】，恭用

15.设p，Q，R，S为完全四点形的顶点,PSXQR=A（PS与QR的交点为A）,

PRXQS

=B,PQXRS=C,BCXQR=ArCAXKP=BpABXPQ=Cr试证:A1

，Bi，J

共线.

B.AーL

第15甥图

16.设切2是完全四点形カ如9的对边三点形,超分别交”;如于厶M不用笛沙格定理,

证明YZ,BL,C"共点.

■X<

財

第1G题图

试卷代号:1083

国家开放大学2021年秋季学期期末统一考试

几何基础试题答案及评分标准

（供参考）

2022年1月

ー、单项选择题（每小题4分,本题共20分）

1.C2.D3.A4.B5.C

二、填空题（每小题4分,本题共20分）

6.-1

7.任意三角形

8.中心

9.两个

10.2

三、计算题（每小题10分,共30分）

11.解将每对对应点分别代入仿射变换公式,

'i'=a+au£+ai2ッ

ィ.........................................................................................3分

y=b+a2\i+a22y

得

1=a+

2=〃+a22

-1=a+«n一田2

v

3=6+a2i-a22

2=Q+a”+2ai2

4=6+a2）+2a22

a=0

5

an=0

解得［卅2=1.....................................................................................................................8分

5

“I

1

Ci22=~

（1083号）几何基础答案第1页（共3页）

代人仿射变换式,得所求的仿射变换式

-r=y

，55110分

ヽ=§+プ+で

12.解直线ロ,一1,1コ,[1,2,一ロ的交点为

U\u2%

1-11=(-1,2,3),.......................................................................................................4分

12-1

点(一1,2,3)与点小ー以+〃3=0的连线方程为

マ2

—123=[5,4,——1]=0................................................................................................9分

1-11

于是,所求连线的坐标为

[5,4,—1コ•..............................................................10分

13.解由x=一‘ツ==’

尤213

A(支,ツ)=(2,1),B(x,ヨ)=(1,-1),...................................................................................................3分

ACJC—2

设C=(i,yノノ,再利用(ABC)=^y7・贝リ----=-1,...................................................................................6分

nCx—1

解得ユ=テキ=T,解得尸。•即c=（テ。），c点的齐次坐标为（万,。,1）..........................1。分

四、证明题（每小题10分,共30分）

14.证明如图,

设AB=c,BC=a.CA=b.则a+b+c=0........................................3分

设E,F,D分别为过△ABC三个顶点平行于对边的三条直线的交点,则

△ABC相似于△DEF,于是对应边成比例,设比例常数为ス,则EF=XBC=

第!4题图

ka.FD=XAC=Xb,ED=XAB=Ac,....................................................................7分

EF+FD+ED=XBC+XAC+XAB=Xa+Xb+Xc=X(a+b+c)=0.即,以中位线EF,FD,ED为边

可作成一个三角形...........................................................................10分

15.证明如图所示,AB,BC,AC,EC构成完全四线形,设EFXBC=A

P”则（BC,DP）=-1,......................................................................................5分

因为D是BC边的中点,所以P是BC边上的无穷远点,于是EF〃8DCP,

BC................................................................10分第!5题图

（1083号）几何基础答案第2页（共3页）

第!6题图

（1083号）几何基础答案第3页（共3页）

试卷代号:1083

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

几何基础试题答案及评分标准

（供参考）

2022年7月

ー、选择题（每小题4分,本题共20分）

1.C2.A3.D4.A5.B

二、填空题（每小题4分,本题共20分）

6.平行四边形的对边

7.-2

8.过原顶点且与对边相交的任意一条直线

9.共规

10.原始概念的列举定义的叙述公理的叙述定理的叙述和证明

三、计算题（每小题10分,共30分）

11.解仿射变换把点（x，y）变成（x'，c）的仿射变换式为

%=a+aux+a12y

=

yb+a2ix+a22y...............3分

将每对对应点分别代人仿射变换公式,得

2=a

3=b

2=Q++a12

5=b+a21+a22

3=a+a〔］一a12

-7=b+a2i-a22

fa=Z

b=3

an=2

321=-4

1

a12="2

解得产22=68分

代人仿射变换式.得所求的仿射变换式

X=2+X

2-2y

,y=3-4x+6y....................10分

12.解取A和B为基点.将A、B、C、D四点的坐标依次表示ス仇a+ス也a+ス2［则四点的交

,.（AB.CD）=ズ公

比为ム............5分

这里3C=A+B于是ス1=1,D=2A-3B.于是ス2=-2

因此,

ス12

(AB.CD)==-.

10分

13.解将(1，T，〇)的坐标及％&=123)的值代人极线方程

+旳2y2+旳3y3)巧+(a21yl+a22y2+a23y3)め+(a31yl+a32y2+a33y3)旳=0

3分

即(3_：+°)X1+5+°)x2+(2-|+〇卜3=0......................8分

整理即得所求极线方程

%1+3刀2+“3=0.......................10分

四、证明题(每小题通分,共30分)