第07讲相似三角形综合（原卷版）

第07讲相似三角形综合掌握相似三角形多种解法灵活运用多知识结合的相似三角形问题模块一：平行线与相似三角形1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型．如图，已知中，AD、BE相交于G，，．ABCDEGABCDEG如图，在中，点D在线段BC上，，，AD=2，ABCDBD=2DC，求ABCD MM模块二：角平分线与相似三角形1、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．ABCDM如图，AD是的内角平分线．ABCDMABCDEFG如图，在中，，过点C作CE//AB，交的平 分线AD于ABCDEFG（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：．模块三：a2=b·c与相似三角形1、a2=b·c与相似三角形常见及扩展模型如下：BBACDABCD图1图2由图1可证：；由图2可证：，，．如图，中，，于点D．ABCD ABCD如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E， AD=BD，过E的直线EF//AB交AD于点F． （1）AF=BE；ABCDEF （2）AF2ABCDEF模块四：内接矩形与相似三角形1、内接矩形与相似三角形ABABCDEFGHT常用结论：．ABC如图，已知中，AC=3，BC=4，，在内部求做一正方形， 问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．ABCDDFEABCDEFG如图，中，四边形DEFG为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在 AB上，，，求ABCDEFGHH模块五：一线三等角与相似三角形1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：ABCDEF已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边ABCDEFABCDE如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点E在边BC上，且， AD=10，求的面积ABCDE如图（1），在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB，AC上（点P不与点C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC。若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长；（2）若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABCDABPQCQP（3）正方形ABCD的长为5，如图（2），点P，Q分别在直线CB，DC上（点P不与点C，B重合），且保持ABCDABPQCQP模块六：旋转与相似三角形在中，CA=CB，在中，DA=DE，点D、E分别在CA、AB上． （1）如图1，若，则CD与BE的数量关系是____________； （2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与 BE的数量关系是____________．AABCDEABCDE图1图2HH把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF图1图2图3模块七：函数与相似三角形ABCPQ如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出 发沿边一直移动到点为止．经过多长时间后，与相似？ABCPQ如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C 重合），DE与AC相交于点F．（1）求证：∽；ABCDEF（2）若BC=1，设BD=x，CF=yABCDEF（3）当x为何值时，？一、单选题（2023·上海·一模）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如图，在中，点，分别在和边上且，点为边上一点（不与点、重合），连接交于点，下列比例式一定成立的是（

）．A． B． C． D．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．（2023·上海·一模）如果点分别在中的边和上，那么不能判定的比例式是（

）A． B．C． D．（2023·上海·一模）在梯形中，，对角线与相交于点O，下列说法中，错误的是（

）A． B． C． D．（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如图，在中，，，则（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如图，在中，中线与中线相交于点G，联结．下列结论成立的是（

）A． B． C． D．二、填空题（2023·上海崇明·统考一模）如图，在梯形中，，，，则________．（2023·上海松江·统考一模）如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是________．（2023·上海金山·统考一模）如图，在平行四边形中，F是边上的一点，射线和的延长线交于点E，如果，那么_________．（2023·上海宝山·一模）如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为_____．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，在中，，，，点是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，那么的长为________．（2023·上海崇明·统考一模）如图，菱形的边长为8，为的中点，平分交于点，过点作，交于点，若，则的长为___________．（2023·上海·模拟预测）在矩形中，（如图）．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边上，如果联结，那么的长为_____．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，点A的横坐标为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数图象上，联结和．如果四边形是矩形，那么k的值是__________．三、解答题（2023·上海·一模）如图，在与中，，与相交于点G，．(1)求证：；(2)若，求的长．（2023·上海青浦·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，已知平分，点E在边上，联结交于点F，且．(1)求证：点F在边的垂直平分线上；(2)求证：．（2023·上海崇明·统考二模）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于E，M是边延长线上的一点，联结，与边交于F，与对角线交于点G．(1)求证：；(2)联结，如果，求证：平行四边形是菱形．如图，，，下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．如图，已知在中，，点G是的重心，，垂足为E，如果，则线段GE的长为（

）A． B． C． D．如图，为等腰直角三角形，为的重心，E为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点D在直线的上方），为的重心，设两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是____