新人教版高中数学教材例题课后习题必修二101随机事件与概率

10.1随机事件与概率有限样本空间与随机事件例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为正面朝上，反面朝上.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间.例2抛掷一枚骰子（tóuzi），观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为.例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用表示.于是，试验的样本空间（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为.如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.例4如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：“恰好两个元件正常”；“电路是通路”；“电路是断路”.解：（1）分别用，和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间.如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.（2）“恰好两个元件正常”等价于，且，，中恰有两个为1，所以.“电路是通路”等价于，，且，中至少有一个是1，所以.同理，“电路是断路”等价于，，或，.所以练习1.写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析【解析】【分析】（1）随机选择一名同学的性别有两种可能结果：男或女；（2）由血型有四种，可得样本空间；（3）由每个小孩的性别有男或女两种可能，可得样本空间；（4）由每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3。{男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O；（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为.【点睛】本题考查样本空间，要注意问题（2）有四种血型，以及（4）和（5）问题的差别。2.如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间；（2）对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；（3）对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）A，B两个元件均由正常或失效两种可能，由此可得样本空间；（2）若电路是通路，则A，B均正常；（3）若电路是断路，则A，B均失效。【详解】解：A，B两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为；（2）对串联电路，只有当A，B都正常时电路才是通路，故M包含的样本点为；（3）对并联电路，只有当A，B都失效时电路才是断路，故N包含的样本点为.【点睛】本题考查样本空间和样本点，是基础题。3.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）摸出一个球，上面的标号有9种可能；（2）由球的标号可得事件对应的样本空间。【详解】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为；（2）；；.【点睛】本题考查样本空间，属于简单题。事件的关系与运算例5如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“甲元件正常”，“乙元件正常”.（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；（3）用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系.分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组表示样本点.这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.解：（1）用，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为.（2）根据题意，可得，，，.（3），；表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件.例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？解：（1）所有的试验结果如图所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间，事件“第一次摸到红球”，即或2，于是；事件“第二次摸到红球”，即或2，于是.同理，有，，，.（2）因为，所以事件包含事件R；因为，所以事件R与事件G互斥；因，，所以事件M与事件N互为对立事件.（3）因为，所以事件Ｍ是事件R与事件G的并事件；因为，所以事件R是事件与事件的交事件.练习4.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没中靶【答案】D【解析】【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.故选：D.5.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.【解析】【分析】根据题意分别计算各个事件的基本事件,再逐个判断即可.【详解】解：该试验的样本空间可表示为,由题意知,,,,,.（1）,,满足,所以与互斥,故正确；（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）,所以,故正确；（7）,故正确；（8）因为,,所以E,F为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.【点睛】本题主要考查了事件间的关系判断,属于基础题型.古典概型例7单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率.例8抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：“两个点数之和是5”；“两个点数相等”；“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.（2）因为，所以，从而；因为，所以，从而；因为，所以，从而.例9袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：（1）“第一次摸到红球”；（2）“第二次摸到红球”；（3）“两次都摸到红球”.解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表表示.表第一次第二次123451×2×3×4×5×（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即，所以.（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即，所以.（3）事件包含2个可能结果，即，所以.例10从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间.不放回简单随机抽样的样本空间.按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间.（2）设事件“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，.因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此对于不放回简单随机抽样，.因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.练习6.判断下面的解答是否正确，并说明理由.某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.【答案】解答错误,详见解析【解析】【分析】要观察样本点发生的可能性是否相同，即是否是古典概型．题中命中与不命中的概率不相等，因此样本点发生的可能性是不相等．【详解】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中目标的概率是不相等的，所以样本点发生的可能性是不相等的，所以该试验并不是古典概型，故解答错误.【点睛】本题考查古典概型的定义，解题关键是样本点发生的概率是否相等．7.从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J或Q或K；（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）0（6）（7）（8）1【解析】【分析】每张牌都是等可能被抽到，整个样本空间中共有52个基本事件，然后计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求得概率．（1）有4个基本事件；（2）有48个基本事件；（3）有13个基本事件；（4）有12个基本事件；（5）为不可能事件（6）有8个基本事件；（7）有26个基本事件；（8）有52个基本事件，为必然事件；【详解】解：（1）52张牌中数字为7的有4张，所以概率为；（2）52张牌中不是7的有（张），所以概率为；（3）52张牌中方片共有13张，所以概率为；（4）52张牌中J，Q，K共有（张），所以概率为；（5）该事件为不可能事件，所以概率为0；（6）抽到的牌为7或8，共有8张，所以概率为；（7）红花色的牌共有（张），所以概率为；（8）该事件为必然事件，所以概率为1.【点睛】本题考查古典概型概率计算．解题关键是确定基本事件的个数．8.从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：（1）这个数平方的个位数字为1；（2）这个数的四次方的个位数字为1.【答案】（1）（2）【解析】【分析】整个样本空间中有10个基本事件，再计算出各事件中含有的基本事件的个数即可求得概率．【详解】解：从0~9这10个教中随机选样一个款，共有10种可能，其样本空间可表示为.（1）若一个数平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为；（2）若一个数四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率.【点睛】本题考查古典概型概率计算．解题关键是确定基本事件的个数，方法是列举法．概率的基本性质例11从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，，那么（1）“抽到红花色”，求；（2）“抽到黑花色”，求.解：（1）因为，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得.（2）因为C与D互斥，又因为是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此.例12为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设“中奖”，“第一罐中奖”，“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.解：设事件“中奖”，事件“第一罐中奖”，事件“第二罐中奖”，那么事件“两罐都中奖”，“第一罐中奖，第二罐不中奖”，“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且.因为，，两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得.我们借助树状图（图）来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的.因为，，，所以.上述解法需要分若干种情况计算概率.注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于“两罐都不中奖”，而，所以.因此.练习9.已知.（1）如果，那么___________，___________；（2）如果A，B互斥，那么___________，___________.【答案】①.0.5②.0.3③.0.8④.0【解析】【分析】（1）由可得,,进而求解即可；（2）由A,B互斥可得,进而求解即可【详解】（1）如果,那么,,所以,（2）如果A,B互斥,那么,所以,故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题10.指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；（2）如果事件A与事件B互斥，那么一定有.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1；（2）只有当A,B互为对立事件时才有（2）如果事件A,B互斥,那么,只有当A,B互为对立事件时才有【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的定义,属于基础题11.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：M182014F17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________【答案】①.②.③.④.0⑤.⑥.⑦.【解析】【分析】根据频数依题意求得概率即可【详解】；；；；；；故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用习题复习巩固12.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.（1）用表格表示试验的所有可能结果；（2）列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)列表表示所有可能结果即可；(2)利用(1)的的表格分别找出事件A，B，C对应的样本点.【详解】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：蓝骰子点数黄骰子点数12341（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.【点睛】本题主要考查了写某事件包含的基本事件，属于较易题.13.在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对dacbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】(1)以第一轮比赛中胜出的情况进行分类，列举出比赛所有可能的结果；(2)在样本空间中找出以开头的所有结果，即可得出事件A；(3)在样本空间中找出在开头或第二位的所有结果，即可得出事件B【详解】解：（1）第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：第一轮的两场比赛中，当胜出时，比赛最终可能的结果为：则该试验的样本空间可表示为:；（2）事件A包含的所有结果为：；（3）事件B包含的所有结果为：【点睛】本题主要考查了写出某事件的所有基本事件，属于中等题.14.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举A和B包含的样本点；【答案】答案见解析．【解析】【分析】按照第一、第二枚朝上的面顺序写出．【详解】事件空间：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝，事件的样本点：（正正），（正反），事件的样本点：（正反），（反反）．15.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）．A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥C.A与B相等 D.【答案】D【解析】【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，A，B都不正确；事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，C不正确；由古典概型知，，所以，D正确.故选：D16.判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件与事件B中至少有一个发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率大；（4）事件与事件B同时发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率小.【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析.【解析】【分析】举反例判断(1)，再利用互斥事件的概率公式判断(3)，(4)；由互斥事件与对立事件的定义判断(2).【详解】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.设某试验的样本空间为.（1）中反例，取，则A,B互斥但不对立.（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取,则.（4）中反例，取,则,.【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件关系的辨析以及利用互斥事件的概率公式求概率，属于中等题.17.生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．【答案】C=AB；.【解析】【分析】根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.【详解】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A，B同时发生，所以C=AB；产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以，.18.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的【解析】【分析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.【点睛】本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题.19.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；（1）标签的选取是不放回的；（2）标签的选取是有放回的.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】(1)求出不放回时所有的基本事件的总数，再得出事件“两张标签上的数字为相等整数”包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；(2)求出有放回时所有的基本事件的总数，再得出事件“两张标签上的数字为相等整数”包含的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率即可；【详解】解：（1）从5张标签中不放回地选取两张标签，用m表示第一张标签的标号，n表示第二张标签的标号，设A=“两张标签上的数字为相等整数”，则（1）数组（m，n）表示该试验的一个样本点，，且.因此该试验的样本空间，且}中共有20个样本点，其中m，n为相等整数的样本点个数.故所求概率为0；（2）该试验的样本空间中共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中，所以，故所求概率为.【点睛】本题主要考查了求有放回与无放回问题的概率，属于中档题.20.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.【答案】【解析】【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可.【详解】解：该试验的样本空间可表示为：，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，共3个，故所求概率.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.综合运用21.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A=“恰有1支一等品”；（2）B=“两支都是一等品”；（3）C=“没有三等品”.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】列举出6支中任取2支所有的基本事件，得出事件对应的基本事件以及个数，由古典概型的公式求概率即可.【详解】解：用表示3支一等品，用表示2支二等品，用c表示三等品，则该试验的样本空间可表示为，共有15个样本点.（1），其中有9个样本点，所以.（2），其中有3个样本点，所以.（3），其中有10个样本点，所以.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式求概率，属于中档题.22.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”（1）求事件A，B，C的概率；（2）求的概率.【答案】（1）；；.（2）；【解析】【分析】(1)求出事件A，B，C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；(2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出.【详解】解：该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点（1），有5个样本点，所以；，有11个样本点，所以.，有12个样本点，所以.（2），有2个样本点，所以；所以.【点睛】本题主要考查了计算古典概型问题的概率，属于中档题.23.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？【答案】；【解析】【分析】先列举出事件“第二次才打开门”包含的基本事件，分别求出两种情况对应的所有基本事件以及个数，由古典概型的公式计算概率即可.【详解】解：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含的样本点有，共4个若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为，共有12个样本点，所以此时的概率；若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为，共有16个样本点，所以此时的概率为.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中档题.24.假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；（1）女孩A得到一个职位；（2）女孩A和B各得到一个职位；（3）女孩A或B得到一个职位.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】列举出5个人中2人被录用的所有基本事件，分别找出对应事件的基本事件的个数，利用古典概型的公式计算概率.【详解】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为，共有10个样本点.（1）A得到一个职位包含4个样本点，故其概率为；（2）A.B各得到一个职位包含1个样本点，故其概率为；（3）A或B得到一个职位包含7个样本点，故其概率为.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中等题.25.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数不超过5环.【答案】（1）0.2（2）0.5（3）0.5（4）0【解析】【分析】利用频率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）对应的概率，由对立事件的概率公式得出（4）的概率.【详解】解：用x表示命中的环数，由频率表可得.（1）；（2）（或）；（3）；（4）.【点睛】本题主要考查了利用互斥事件以及对立事件的概率公式求概率，属于中档题.26.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：（1）没有出现6点；（2）至少出现一次6点；（3）三个点数之和为9.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】求出该实验所有的基本事件总数以及对应的事件的基本事件个数，利用古典概型的公式计算概率得出(1)，(3)，利用对立事件的概率公式得出(2)中事件的概率.【详解】解：该试验的样本空间表示为，共有（个）样本点.（1）事件“没有出现6点”包含的样本点满足，共有125个，所以其概率为；（2）事件“至少出现一次6点”与事件“没有出现6点”互为对立事件，故其概率为；（3）事件“三个点数之和为9”包含的样本点有25个，故其概率为.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中档题.拓广探索27.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；（2）用A，B，C表示下列事件：①至少订阅一种学习资料；②恰好订阅一种学习资料；③没有订阅任何学习资料.【答案】（1）答案见详解；（2）①A+B+C；②；③.【解析】【分析】(1)根据题设条件分别写出1，4，5，8各区域所代表的事件即可.(2)将所给事件分别用A，B，C表示出来即可.【小问1详解】由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；区域5表示该生只订阅语文学习资料；区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.【小问2详解】①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：.28.从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；（1）这个数既能被2整除也能被3整除；（2）这个数能被2整除或能被3整除；（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由古典概型的公式计算出事件对应的概率，找出既能被2整除也能被3整除的整数的个数，结合古典概型的公式计算出该事件的概率；(2)由，结合即可计算出；(3)由对立事件的概率公式求解即可.【详解】解：1-20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个,所以.（1）1-20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以;（2）;（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，则.【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率以及利用对立事件的概率公式计算概率，属于中档题.29.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请填写下表：事件概率事件是否满足两两互斥？是否满足等可能性？（2）求下列事件的概率：①A=“在1年内需要维修”;②B=“在1年内不需要维修”；③C=“在1年内维修不超过1次”.【答案】（1）表格见解析；【解析】【分析】(1)由题设条件求出，填写表格，利用互斥事件的定义判断事件两两互斥；(2)利用互斥事件的概率公式计算概率.【详解】解：（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%所以，事件概率事件满足两两互斥，不满足等可能性.（2）①；②；③.【点睛】本题主要考查了互斥事件的判定以及利用互斥事件的概率公式计算概率，属于中档题.变式练习题30.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．（3）若x∈R，则x2＋1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【答案】（1）随机事件（2）随机事件（3）是必然事件（4）不可能事件【解析】【分析】根据必然事件是一定会发生的，随机事件是可能发生，也可能不发生，不可能事件是不可能发生对每个问题逐一判断即可.【小问1详解】中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军可能发生，也可能不发生，所以是随机事件【小问2详解】出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯,可能发生，也可能不发生，所以是随机事件【小问3详解】若x∈R，则x2＋1≥1，一定会发生，是必然事件【小问4详解】抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2，不可能发生，是不可能事件．31.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．（1）写出这个试验的样本空间；（2）求这个试验的样本点的总数；（3）“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？（4）“xy=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？【答案】（1）答案见解析；（2）16；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件按两个转盘中的数字依顺序不重不漏地写出各对数即可得试验的样本空间.(2)利用(1)即可求出样本空间中样本点的总数.(3)借助(1)的样本空间即可写出事件“x+y=5”、“x<3且y>1”的样本点.(4)借助(1)的样本空间即可写出事件“xy=4”、“x=y”的样本点.【小问1详解】Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.【小问2详解】由(1)知，样本点的总数为16.【小问3详解】由(1)知，事件“x+y=5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；事件“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).【小问4详解】由(1)知，事件“xy=4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；事件“x=y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).32.盒子里有大小和质地均相同的6个红球和4个白球现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球、1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}.（1）事件D与A，B是什么运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？【答案】（1）（2）【解析】【分析】将所有情况全部根据取出红球的个数表示后再分析即可.【详解】设“从10个球中任取3个球,得到i个红球”为事件.（1）由题意得,事件3个球中有1个红球、2个白球,事件3个球中有2个红球、1个白球,事件3个球中既有红球又有白球,由此可得.（2）事件3个球中至少有1个红球,事件3个球中有1个红球、2个白球,.【点睛】本题主要考查了事件的基本运算,需要将所有事件统一表达分析,属于基础题型.33.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．（1）恰有1名男生与恰有2名男生；（2）至少有1名男生与全是男生；（3）至少有1名男生与全是女生；（4）至少有1名男生与至少有1名女生．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析【解析】【分析】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．【小问1详解】因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．【小问2详解】因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．【小问3详解】因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．【小问4详解】由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．34.一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．（1）共有多少个样本点？（2）“2个都是白球”包含几个样本点？【答案】（1）10个；（2）3个.【解析】【分析】(1)将袋中的5个求分白球、黑球编号，用列举法写出所有可能结果即可得解.(2)利用(1)写出摸出的2个球都是白球结果即可得解.【小问1详解】用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，所以共10个样本点.【小问2详解】由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.35.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.（2018·高考江苏卷）36.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】【详解】分析：先确定