第一章集合与常用逻辑用语1 1概念

第一章

集合与常用逻辑用语1.1

集合的概念成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期核心知识目标核心素养目标1.通过实例了解集合的含义,掌握集合中元素的三大特征.2.理解元素与集合的“属于”关系,并能用符号“∈”或“∉”来表示.3.掌握常用数集的表示符号并会应用.4.理解并掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,能选择合适的方法表示一些简单集合.1.通过对集合有关概念的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.通过集合中元素的三大特征的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.3.通过列举法与描述法的应用,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪情境导入一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他就请教数学家:“尊敬的先生,请您告诉我,集合是什么?”数学家只是笑了笑,没有立即回答渔民.有一天,数学家来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,一拉动,许多鱼儿在网中跳动.数学家就激动地大喊:“找到了,找到了,这就是一个集合”.探究:数学家所说的集合指的是什么?提示:数学家所说的集合是指渔网中的鱼.知识探究

1.元素与集合的概念实例观察下面的语句(1)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点;

(2)方程x2-1=0的所有实数根;

(3)我们班的所有帅哥.[问题1-1]以上各语句中要研究的对象分别是什么?提示:分别为点,实数根,帅哥.[问题1-2]哪个语句中的对象不确定?为什么?提示:(3)中对象不确定.因为“帅哥”没有明确的划分标准.[问题1-3]高一(1)班的全体同学能否组成一个集合?为什么?提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性).[问题1-4]分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?提示:相等.梳理1 元素与集合的相关概念元素:一般地,我们把

研究对象

统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.集合:把一些

元素

组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.集合相等:只要构成两个集合的元素是

一样的

,我们就称这两个集合是相等的.2.元素与集合的关系[问题2]设集合A表示“1～10之间的所有素数”,3和4与集合A是何关系?提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即

4不属于集合A,记作4∉A.梳理2 元素与集合的关系

(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a

∈

A.

(2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a

∉

A.3.常用数集及符号表示[问题3-1]非负整数集与正整数集有何区别?

提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.[问题3-2]若a∈Q,则一定有a∈R吗?反过来呢?提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,则不一定有a∈Q.梳理3 常用数集及符号表示数集名称非负整数集

(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集字母表示N

.N*或N+

.ZQR4.集合的表示方法[问题4-1]设集合M是小于5的自然数构成的集合,集合M中的元素能一一列举出来吗?提示:能.0,1,2,3,4.[问题4-2]“绝对值小于2的实数”构成的集合,能用列举法表示吗?如果不能,又该如何表示?提示:不能.{x∈R||x|<2}.梳理4集合的表示方法(1)列举法:把集合的所有元素

一一列举

出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.(2)描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为

{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线,写成

{x∈A:P(x)}或

{x∈A;P(x)}.小试身手1.(多选题)下列各组对象能组成集合的是(

(A)大于6的所有整数

(B)高一数学课本中所有的简单题

(C)被3除余2的所有正整数

(D)函数y=x图象上所有的点ACD

)2.集合A={x-2,x+5,12},若-3∈A,则x=

.解析:由-3∈A知x-2=-3或x+5=-3.故x=-1或-8.答案:-1或-8(1)2

N;(2)√𝟑

Q;(3)𝟏

Z;(4)0

˘

.𝟑

𝟑3.(人教A教材P5练习T2改编)用符号“∈”或“∉”填空.答案:(1)∈(2)∉(3)∉(4)∉4.英语单词mathematics(数学)中所有英文字母构成的集合有

个元素.解析:该集合为{m,a,t,h,e,i,c,s}.答案:8课堂探究·素养培育探究点一 集合的概念[例1]观察下列各组对象能否组成一个集合?①二十国集团的所有成员国;②无限接近零的数;③方程x2-2x-3=0的所有解;④平面直角坐标系中,第一象限内的所有点.解:①能.因为二十国集团的所有成员国是确定的;②不能.因为“无限接近”标准不明确,不具有确定性,不能构成集合;③能.因为方程x2-2x-3=0的解为x1=3,x2=-1确定,所以可以组成集合,集合中有两个元素-1和3;④能.因为第一象限内的点是确定的点.解析:A,B,D所表示的对象都能确定,能组成集合,由于著名没有一个确定的标准,因此选项C抗日战争中著名的民族英雄,不能组成集合.故选

ABD.)即时训练1-1:(多选题)下列各组对象能够组成集合的是(

(A)2023年国际篮联篮球世界杯参赛队伍

(B)中国文学四大名著(C)抗日战争中著名的民族英雄

(D)我国的直辖市方法总结判定一组对象能否构成集合的关键是所给的这组对象是否确定,也就是是否有明确的标准.若一组对象能构成集合,则给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.探究点二 元素与集合的关系[例2]已知集合M是由三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4组成的,若2∈M,求实数x的值.解:因为2∈M,所以3x2+3x-4=2或x2+x-4=2,当3x2+3x-4=2时,即x2+x-2=0,解得x=-2或x=1.

经检验,x=-2,x=1均不符合集合中元素的互异性;当x2+x-4=2时,即x2+x-6=0,解得x=-3或2.经检验,x=-3或x=2均合题意.综上,满足题意的实数x的值为-3,2.[变式训练2-1]本例中,试探究是否存在实数x,使元素x-4∈M.解:假设存在实数x,使元素x-4∈M,则x-4=-2或x-4=3x2+3x-4或x2+x-4=x-4.若x-4=-2,则x=2,此时3x2+3x-4=14,x2+x-4=2,因此x=2满足集合中元素的性质;若3x2+3x-4=x-4,则x=0或x=-𝟐.𝟑当x=0时,3x2+3x-4=x2+x-4,不满足集合中元素的性质;当x=-𝟐时满足集合中元素的性质.𝟑若x2+x-4=x-4,则x=0(舍去).𝟑综上可知存在实数x=2或x=-𝟐满足题意.方法总结根据确定的元素属于集合求解含参数(未知量)的问题,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.易错警示根据集合中元素与集合的关系求解参数时,一定要检验所求参数是否满足集合中元素的性质.探究点三探究角度1集合的表示方法列举法表示集合[例3]用列举法表示下列集合.

(1)方程x=|x|,x∈Z,且x<5的解集A;

(2)方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集合B;(3)由1～20以内的所有质数组成的集合C;解:(1)方程x=|x|的解为x≥0,结合x∈Z且x<5可知,集合A={0,1,2,3,4}.(2)由x2-2x+1=0知x=1,故B={1}.(3)C={2,3,5,7,11,13,17,19}.𝒙

=

𝟎,

𝒙

=

𝟏,

𝒙

=

𝟐,解:(4)由于x∈N,y∈N,因此满足x+y=2的解为൜

𝒚=𝟐

或൜

𝒚=𝟏

或൜𝒚=

𝟎.所以D={(0,2),(1,1),(2,0)}.(4)满足x∈N,y∈N的直线x+y=2上的点的坐标组成的集合D.即时训练3-1:用列举法表示下列集合.

(1)大于4而小于10的所有自然数组成的集合A;(2)36与60的公约数组成的集合B;

(3)由所有正整数构成的集合C;(4)若y=x2-3,当x∈Z且|x|≤2时函数值y的集合D.解:(1)A={5,6,7,8,9}.

(2)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,因此所求集合B={1,2,3,4,6,12}.(3)正整数有1,2,3,…,故C={1,2,3,…}.(4)因为|x|≤2,x∈Z,所以x=-2,-1,0,1,2.结合y=x2-3知y=1,-2,-3.故函数值y的集合D={-3,-2,1}.方法总结用列举法表示集合时,首先要明确集合的元素属性,然后根据集合中的元素的特征性质将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;要注意元素的属性,如例(4)中的代表元素是点的坐标,因此应是有序实数对,而不是数.探究角度2 描述法表示集合

[例4]

用描述法表示下列集合.(1)被5除余1的正整数集合;(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;(3)三角形的全体构成的集合;(4)如图中阴影部分的点(含边界)的集合.解:(1)由于所有被5除余1的正整数都可表示为x=5k+1,k∈N,因此被5除余

1的正整数集合为{x|x=5k+1,k∈N}.

(2)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0,而纵坐标大于0,又由于集合的代表元素是点,因此用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.(3)三角形的全体构成的集合{x|x是三角形}或{三角形}.(4)图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集,用描述法可表示为𝟐

𝟐{(x,y)|-1≤x≤𝟑,-𝟏≤y≤1且xy≥0}.即时训练4-1:用描述法表示下列集合.(1)使函数y=

𝟏

有意义的实数x的集合;𝒙-𝟑(2)平面直角坐标系内不在第一、三象限的点的集合;解:(1)使函数y=

𝟏

有意义的实数x的集合是{x|x∈R,且x≠3}或{xy=

𝟏

}.𝒙-𝟑 𝒙-𝟑(2)因为在第一、三象限内的点(x,y)的横坐标x、纵坐标y同正(第一象限)或同负(第三象限),即xy>0,所以不在第一、三象限内的点(x,y)满足xy≤0,因此该集合可用描述法表示为{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}.(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合;

(4)大于1且小于20的正整数构成的集合.解:(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点构成的集合为{(x,y)|y=x2-10}.(4)大于1且小于20的正整数构成的集合为{x|1<x<20,x∈N}或{x∈Z|1<x<20}或{x∈N|1<x<20}或{x|1<x<20,x∈Z}.方法总结(1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.如果一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是点集.

(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内.

(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.易错警示由于“{}”本身包含集合的含义,因此在“{}”的内容中不能出现“全体”“集合”的字样.如由三角形构成的集合就不能写为“{全体三角形}或{三角形的集合}”;由于R,N等表示具体的数集,因此实数集不能写为{R},自然数集不能写为{N}.探究点四 由集合中元素的个数求参数的取值范围[例5]集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解:(1)当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}.(2)当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.[变式训练5-1]将本例改为“集合A至少有一个元素,求k的取值范围”.解:由集合A至少有一个元素可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论:①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题解析过程可知k=0或1;②方程

kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足Δ=64-64k>0,解得k<1,综上所述k的取值范围是{k|k≤1}.方法总结对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是否为零,否则容易漏解.[例

1]

设集合

B={x∈N|

𝟔

∈N}.𝟐+𝒙(1)试判断元素1,2与集合B的关系;𝟐+𝟏解:(1)当

x=1

时,

𝟔

=2∈N.𝟐+𝟐

𝟐当

x=2

时,

𝟔

=𝟑∉N.所以1∈B,2∉B.备用例题(2)用列举法表示集合B.解:(2)因为

𝟔

∈N,x∈N,𝟐+𝒙所以2+x只能取2,3,6.所以x只能取0,1,4.所以B={0,1,4}.(1)方程组ቊ𝒙

+

𝒚-𝟏

=

𝟎,𝒙-𝒚

+

𝟑

=

𝟎的解集;𝒙-𝒚

+

𝟑

=

𝟎𝒚

=

𝟐,𝒙

+

𝒚-𝟏

=

𝟎,解:(1)由于方程组ቊ

的解是ቊ𝒙

=

-𝟏,

程组的解集可用因此方列举法表示为{(-1,2)},也可用描述法表示为𝒙

+

𝒚-𝟏

=

𝟎,{(x,y)|𝒙

=

-𝟏,ቊ

}或ቊ(𝒙,𝒚)|

ቊ

ቋ.𝒙-𝒚

+

𝟑

=

𝟎

𝒚

=

𝟐(2)不等式2x-9<0的非负整数解.(2)不等式2x-9<0的非负整数解用列举法表示为{0,1,2,3,4},用描述法表𝟐示为{x∈N|x<𝟗}.[例2]用适当的方法表示下列集合.𝟏-𝒂(1)解:由a∈A,则

𝟏

∈A,得𝟏-𝟐因为2∈A,所以

𝟏

∈A,即-1∈A;从而

𝟏

∈A,即𝟏∈A.𝟏-(-𝟏)

𝟐𝟐所以A中另外两个元素为-1,𝟏.𝟏-𝒂[例3]已知由实数构成的集合A满足条件:若a∈A,a≠1,则

𝟏

∈A.(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素,求出这两个元素;𝟏-𝒂(2)证明:由a∈A知

𝟏

∈A.𝟏-

𝟏𝟏-𝒂𝒂所以

𝟏

∈A,即

1-𝟏∈A.𝒂(2)求证:若a∈A,则1-𝟏∈A.[例4]已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}.

(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;解:(1)①当a=0时,方程-3x-4=0的根为x=-𝟒.故A={-𝟒}.𝟑

𝟑②当a≠0时,由Δ=(-3)2-4a·(-4)=0,得1

2𝟏𝟔

𝟑a=-𝟗

,此时方程的两个相等的根为x=x=-𝟖.𝟑综上,当a=0时,集合A中的元素为-𝟒;当a=-𝟗

时,集合A中的元素为-𝟖.𝟏𝟔

𝟑解:(2)集合A中有两个