浙江省杭州市天目高中2021年高二数学理月考试题含解析

浙江省杭州市天目高中2021年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：

①函数在区间内单调递减；

②函数在区间内单调递减；

③当时，函数有极大值；

④当时，函数有极小值．

则其中正确的是

（

）A．②④

B．①④

C．①③

D．②③

参考答案：A略2.在平面内，，是的斜线，，则点在上的射影在（

）

A．直线上

B．直线上

C．直线上

D．内部

参考答案：C略3.直线与曲线相切于点A（1，3），则的值为（

）A．3 B． C．5 D．参考答案：A4.

参考答案：C略5.以x轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y2=9x参考答案：D【考点】圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】求出圆的圆心坐标，设出抛物线方程，然后求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心（1，﹣3），以x轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线设为：y2=2px，抛物线过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心，可得：9=2p，所求抛物线方程为：y2=9x，故选：D．6.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＞0}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．? B．（﹣∞，1） C．（2，+∞） D．（5，+∞）参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，再由交集的运算性质计算得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x﹣5＞0}={x|x＞5或x＜﹣1}，B={x|x＞2}，∴A∩B={x|x＞5或x＜﹣1}∩{x|x＞2}=（5，+∞）．故选：D．7.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（

）A.1 B.2 C. D.参考答案：D【分析】先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.【详解】，，.故选D.【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.8.已知，则的值为（

）A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.不确定参考答案：A【分析】根据微积分基本定理，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，.故选A【点睛】本题主要考查求定积分的值，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.9.一个作直线运动的物体，它的运动路程(米)与时间（秒）满足，如果它在秒内的平均速度与秒时的瞬时速度相等，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D10.观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足，记g(x)为f(x)的导函数，则（）A.－g(x) B.f(x) C.－f(x) D.g(x)参考答案：A【分析】由，可发现原函数都是偶函数，得到的导函数是奇函数，可归纳出偶函数的导函数为奇函数，从而可得到答案．【详解】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为导函数，则奇函数，故，即，故选A．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，属于中档题．归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落入正方形内的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形内对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：设正方形的边长为1，由已知易得：S正方形=1S外接圆=故豆子落入正方形内的概率P=．故答案为．12.在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则数列的前项和＝ 。参考答案：13.

.参考答案：8略14.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则____________。参考答案：

解析：设，则中点，得，，得即15.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则________

参考答案：-15略16.若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________．参考答案：∵，∴不等式对一切非零实数恒成立，等价于，∴，∴．∴实数的取值范围是．因此，本题正确答案是：．17.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点是它的两个焦点，长轴长，焦距，静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线）发出，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程为

．参考答案：20

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.⑴求的单调增区间；⑵若关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.参考答案：（1）

由题意，得,由得的单调增区间是（2）由（1）知令则,由得当变化时，的变化情况如下表：

0+

极小值

当时，关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根的充要条件是,

19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x145130120105100物理成绩y110901027870

（1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程；（2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请写出2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：，；，；参考答案：（1）；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关。【分析】（1）依据最小二乘法的步骤即可求出关于的线性回归方程；（2）根据题意写出列联表，由公式计算出的观测值，比较与6.635的大小，即可判断是否有关。【详解】（1）由题意可得，所以，，故关于的线性回归方程是。（2）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36，抽出的5人中，数学优秀但是物理不优秀的共有1人，故全班数学优秀但是物理不优秀的共有6人，于是得到列联表为：

物理优秀物理不优秀合计数学优秀24630数学不优秀121830合计362436

于是的观测值为，因此，在犯错误的概率不超过的前提下认为数学优秀与物理优秀有关。【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，以及利用列联表进行独立性检验。20.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，,

（1）求证：；（2）求证：；（3）当的长为何值时，二面角的大小为60°？

参考答案：（1）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG。因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。……3分(2)由平面ABCD⊥平面BEFG，DC⊥BC，得DC⊥平面BEFC，所以DC⊥EF,又

EF⊥EC,DC与EC交于点C所以EF⊥平面DCE…………6分；（3）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。

由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，

从而AH⊥EF，

所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。

在Rt△EFG中，因为EG=AD=

又因为CE⊥EF，所以CF=4，

从而BE=CG=3。于是BH=BE·sin∠BEH=

因为AB=BH·tan∠AHB,所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°.12分21.(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项