双直线二次曲线系方程的几个应用实例

双直线二次曲线系方程的几个应用实例具体可以参考中等数学2009年第8期文章《二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程》华东师大《奥数教程》高二分册，本文为原创，如有雷同，纯属巧合！大家都知道解析几何里有一个重要的工具：曲线系。灵活用好曲线系，可以一定程度上减少计算量，甚至收获意想不到的效果。不管是参加高考还是联赛，都有必要了解一下设曲线系一些基本思路。一、首先要了解的是二次曲线的三条线：1、过曲线上一点与曲线相切的直线,称为切线。2、过曲线外一点引两条切线,得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦。3、过曲线内一点任作两条弦,与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹。（特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时， 对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线。 ）2 2二、二次曲线一般形式为 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0夕和c不同日寸为。）。注：上述二次曲线方程可以表示：圆，椭圆，抛物线，双曲线（圆锥曲线）；两条相交直线；两条平行直线（可以通过因式分解得到）；一条直线（直线一般式方程平方即可得到）；一个点（例如点圆，在圆的方程中令r为0即可）。三、贯穿本文的一个基本原理是：过二次曲线f（x,y）和g（x,y）的交点的二次曲线系，可以记为： 入f（x,y）+g（x,y）=0.目录第一题：2008全国高中数学联赛一试解析几何题第二题：2010全国高中数学联赛A卷一试解析几何题第三题：比较常见的高考解析几何题第四题：2012版天利38套，太原市高三模拟考试（一）第五题：2012版天利38套，太原市高三年级调研考试第六题：2010全国高中数学联赛B卷一试解析几何题第一题：(2008全国高中数学联赛一试， 改编)P(2t2,2t)是抛物线y2=2x上的动点，点B,C在设是圆/+/-2；r=I段于点P的一条切点弦。其方程为:+2的一卜+2/)=U即—l]x+2®2*=0TOC\o"1-5"\h\z将其升华为二次曲线:[仅产—1卜十期’— '-0所以双直线/邛，「方程可以表示为：r» 1 p厂+if-21+A[2t^-1jj*+2如一一I)把点P代入求得入=-二 于是：1h \ Pz2+tf-21 [2t2-1)£+母+一2产-04/卜 ，当，=(的，求得%〃「=乙1Xtjrju2即BC=上一产一1第二题：（2010全国高中数学联赛A卷一试）【解答过程】t 9 2作斜率为1的直线/与椭圆。：啜+4=1交于45两点（如图所示）,3 3d4目尸（3及在直线的左上方口证明tAP4硒内切圆的圆心在一条定直线上。设f"—：切十m=（）. 又过点唯切线方程为四十®=112 4m：而+-i2=（k所以设双直线卬」%方程为：-12—3g+ -~——11=0注意到此方程中修的系数为零。所以当上式可以分解为：（4雳+8阴+。，（乩/+ +C）=。时，必再：A乌+耳4-。•:当儿为不同的点时，pa尸。均不与上轴垂直.•洞除以44gL1-图=-%即PL关于，=人历谕。AHW的内切圆的圆心就在此对称轴上口【总结】过圆锥曲线上任意一点作两条斜率互为相反数的直线，那么两条直线与曲线的两个交点连线的斜率为定值。第三题:【解答过程】已知抛物线犷=2e及定点工(L1).仇-L0)』/是抛物线上的点口设直线4M和8V与抛物线交于不同于M的点AqM2求证：当点M在变动时直线过彗°设M(对2入则嬴—⑵？—12—1),而(2/+L2t)法向量[—(1一洱2产一。%-(—2士⑵'+1)直线力匕+⑵*-1加+2(-加=0BM:(-2/k+⑵，+1加—2f=0双=[(1.2i>+(2f-l)g+才一2白[(一2)]+(2/+l)y—2/=0.设。出y)=凡工M+刖木正⑼…① 其中『也力二才一2.r.令g(心力含有因子』为，力(：H工.,力=0为过W的切线方程)故设心=3：-25+2/心洲120r+Htf+或21…②1J-2上啕时②中划项的系数。得3=1-k二于是直线AJ,■(—2^)(1—21)工“+(1—2^")y+2，—2=0.当『和，的系数同为0.得此打,过定点RL2)这就完成了证明。第四题:【解答过程】已知中心在原点。的椭圆<十1-L过点小3.。）的直线与椭圆相交于P.Q两点罚"旧L求直线PQ的方程.反向延长。PQQ与椭圆交于匕Q「则△OPQ与A0电送于O成中心对称，故有PQII时.且牛%交上轴于（-工。）.设4居"率为此则：APikxy3k=0 :kxi/APikxy3k=0 :kxi/+3A：=0故双直线P7QQ方程可以设为：考察两条过原点且互相垂直的直线之性质，设一条斜率为，”\mr-yj 1 =00-；r方程①应与②有相同的特征.首先，常数项为零.=>A=其次，M与，的系数互为相反数.05*=1-&-士三.由此可计算加的值.问题获得解决.第五题:【解答过程】7已知椭圆方程为彳十=l(fl>b>0)过点M(oR分别作直线AUMD交椭圆于aU两点，设两直线的斜率分别为加%目&+K=3求证：直线49定点，并求出直线」加斜率4的取值范围.设M4:5苫+?/—1=0MB*kt£+y—1=0过点时的切线方程显然为："-1=。.记为/则双直线的方程可以设为：伏产+〃-1)［涧;+y-lj4-AI/-1=。…*■J上面方程左边的多项式必有因子1二0因此当$=1时，*对任意工e国恒成立.得大二—3怩设J/X方程为：,1」+%+C=。则双直线/1/1，：(4工+H犷+tj(v—l)=u…②上班①②中闻的系数得A二k+A;比较①②中)的系数得B=13k内上眼①②中的常数项得「——1—3A,人/-/防程|可+门卜+(1—3卜/jg—1—3勺&=0取不=「V=】即可.(下面的收尾工作略去前五题已经解答完成了，总结一下：第一，都没有使用韦达定理。韦达定理是个经典的不能再经典的工具，固然强大，但联立方程计算易错，两根和，两根积， 一般是一摞一摞的分式，在卷面上总是有点那什么呢。第二，利用曲线系方程，实际上把计算难度转移到直线方程系数比较上。但是，比较系数，直观，不易错，原理也不难理解。调整两个多项式恒等，其对应系数必须都相等。第三，设出来的曲线系含有待定的系数 ’入"或者"u’；有些时候我们需要先计算出待定系数的值，再去比较系数。更多的时候设而不求，因为这个待定系数对整个多项式的 x,y,xy没有贡献。第四，要联系几何意义，知道它表示什么曲线。要表示这种曲线，就必须满足什么条件。由此得到系数间的一些关系。第五，话不能说绝了，这种方法有它缺点。参见下面的第六题。第六题：知4（工]，4m1%M（4，%）是抛物线炉=2px（p>o）上不同的三点.△444有两边所在的直线与抛物线/=2qy（q>。片目切.证明：对不同的仃W{123},?/*打+gj为定值.设44,44是。2：£=2以切线中点4（2pt:2p,双直线心的方程可设为：入卜”一2g句+—q仅十2"=0同时过点4仅*aw），入卜2pF『-2（i-2pt+12时•2pt2-2q-2pd=0A二4『於4P汨h0—4p2f1）（——2卿）+ +2P4=0上面方程看成以4（24.28）为中心的双直线，则设在&上以a为切点的切线方程为：2pty= +2P产1即：2ty=x+2pf=>x—2ty+2pt，=0设34的方程为：月窜+By+c=0 记上式为r则双直线A4/的曲线系方程可设为：口小成4“中）（/-2qy\+\2pt'：rr/[//+2"）|+ 2”）=*孝式中必定含有因子：x-2ty+2pt'=。与4/+Bfy+O'=0其中41+8,+Cf=0与+Bn+C=。表示的是同一条直线.其对应系数成比例,因此对于确定的。数组(4区。)是唯一的.*中常数项为：(一2］磔丫=4?六泮2.则0，=噜二=2Pd取C=G'=2p/,成为(r—2ty+2pt2^Ax+By+2p，)=口…。因此*和。两个方程左边对应的多项式恒等.比较*和口中"r”的系数。得:4pqt-4p2f1+4p2tl=4pqt=AA=4pg/比较*和口中“咽哨系练得：—■Ipqt=B—2/A代入力=4Pqi.1,B—・4pg产+Spqt;i=4/咐产 13=4pqt2在上面确定系数4办时，利用了多项式恒等定理。其中在“式，待定的系数〃对八通力以及常数项无贡献。，从4方程得到确定。即：4A:4pqh:+-lpqt2y+2p『=0对给定的f.确定点4(2娟2叫同时确定了直线A6，令与c两方程联立,为方便仍以4江。表示相关系数,得:Ax+By+C=0y2=2px=>4/-2pAj;aAif—2p[—By-C)fA/+2pBif+2pC=。又系数A应不为零2nB、Cc今J+2p-t/+2p-=0由此得到一个关于y的一元二次方程.由题干中的几何意义,点儿必对应一个八4