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文档简介

定积分证明题例1.利用积分中值定理计算下列极限：

(1)解

根据积分中值定理，

因时，因此从而解

根据积分中值定理，

因从而有界，因此(2)

(a为一非零常数).

证

因为

f(x)C[a,b],根据闭区间连续函数的性质，

f(x)在[a,b]上存在最大值M和最小值m，即

因g(x)在[a,b]上连续且不变号，不妨设

g(x)>0则由定积分的性质有，

例2.g(x)在[a,b]上不变号，证明在[a,b]内至少存在一点x，使

根据闭区间连续函数的介值定理，在[a,b]内至少即存在一点x，使即同样可证g(x)<0时的情形.

例3证明证一由广义积分中值定理证二例4

设f(x)是以T为周期的连续函数，则它在

任何一个长度等于T的区间上的积分都相等.即对任何a,证一对于期的连续函数，则作换元x=t+T,注意到f(x)是以T为周于是例4

设f(x)是以T为周期的连续函数，则它在

任何一个长度等于T的区间上的积分都相等.即对任何a,证二于是根据零点定理，方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根.

证

(1)(2)

例5.设证明:(1)(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根.

证明显然例6若函数f(x)连续，且f(x)单调减少.证明证明F(x)单调增加.当0<t<x时，f(t)-f(x)>0,即所以F(x)单调增加.证一例7若函数f(x)上连续，证明证二证明例8当x>0且n为正整数，解则x=0,x=1,x=kπ(k是1的整数),由于f(0)=0,综上所述，f(1)是f(x)的最大值，于是例9若f(x)在[a，b]上连续可微，且f(2)=f(4)=0,证记例10若f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0,证显然

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