线性矩阵不等式

关于线性矩阵不等式第1页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三线性矩阵不等式概论第2页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式：——仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为f(x)=Ax+b，这里，A是一个m×k矩阵，x是一个k向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从k维到m维的空间映射关系。设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为其中可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。第3页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三凸（约束）问题定义（凸集）一个集合的连线仍在集合内。和及参数有称为的凸组合。称为凸的，如果集合中任意两点即任意给定两点和将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中第4页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三关于凸集定义的理解第5页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三Schur补定理引理(SchurComplement)

对于分块对称阵其中b)，且c)，且a)为方阵，则以下三个条件是等价的：第6页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三Schur补应用

若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等式成立

只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立

Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具第7页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三标准的线性矩阵不等式问题可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解检验是否存在x，使得成立。特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问题LinearMatrixInequality(LMI)第8页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三系统性能分析第9页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三连续时间系统3.1.1系统增益指标

考虑第10页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三L2范数对于平方可积的信号，定义其中是向量的欧式范数。这样定义的

正好是信号的能量。将所有有限能量的全体记成即

也称为信号的范数

第11页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三L∞范数对幅值有界的信号，定义当

是一个标量信号时，等于

的峰值。将所有幅值有界的信号全体记成即

也称为信号

的范数。第12页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三四个性能指标IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-to-Peak)增益：第13页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理1---IE若有一最优值，则第14页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理2---EP若有一最优值，则第15页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理3---EE第16页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理4---PP第17页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三H2性能T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统第18页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数第19页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三H∞性能增益有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数

的范数，即第20页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ>0,若存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立则有||T(s)||∞<γ,且系统渐进稳定。第21页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三证明：对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得记X=γP第22页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三运用Schur补，可得若D=0,则有严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系第23页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三给出了系统H∞范数与LMI之间的关系使得H∞控制问题可基于LMI进行求解有界实引理(Boundedreallemma)第24页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三控制器设计第25页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三H∞控制器设计第26页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三第27页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三状态反馈H∞控制第28页，讲稿共31页