W293数理统计-试题1答案

北京林业大学考试试卷1答案课程名称：数理统计（A卷）课程所在学院：理学院参考答案和评分标准一、填空（每空2分，共18分）1.口袋里有6个球,4个红球2个黑球，现任取3个，则抽取到的这3个球中有两个是红球的概率等于3/5 。2.已知P(A)=0.70,P(B)=0.20;若A、B互不相容，则P(A-B)= 0.70.56。；若人、B相互独立，则P（AB）=13.设X的密度函数f(x)= -x2,则Y=3X+1的密度函数f(y)=Xvπ Y(y⅛294.5.设X~N(2,σ2),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=q设X服从区间［1,4］上的均匀分布，则EX2= 7 。6.X,X,X独立，且X~N(0,1)i=1,2,3,则123J2X1 所服从的分布是 t(2)VX22+X327.X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2)且X和Y独立，则X+Y和X-Y的相关系数等于0Iaxα-1,8.设X,X,…,X为总体X的一个样本，X的密度函数为f（X）=1八12 〃 I0,0<x<1其它，参数α>0未知，X则α的矩估计量为_丁卡1-XIaX+0.5,当0<X<1、（10分）连续型随机变量X的密度为f（X）=1 ,（1）I0,其它求a的值；（2）求X的分布函数；(3)计算概率p{0<X<3}。解：(1) J1(aX+5)dX=1,，a+0.5=1,得a=102F(X)=JXf(t)dt=<-∞0,x<0JX(t+0.5Mt=1X2+0.5X,0≤X≤10 21,X>11 1 11P{0<X<-}=F(Q)-F(0)=-×(-)2+0.5义=2/9=。10分、（12分）.已知二维离散型随机变量（XD的分布律如下表所示。(1)(2)写出X和Y的边缘分布律，并且判断X和Y是否相互独立。求P{X-Y=0}(3)求X与Y的协方差cov（X,Y），并且判断X与Y是否相关。（4）解：（1）求X+Y的分布律。vɪɪɪɪɪɪɪɪɪj-3-1131^00.250.25^0-3~02T^0~~^0~~~025~i3分7分)3V37X-3-113^P^0.250.250.250.25Y13^P^^0Γ"03"(2)P{X-Y=0}=P{X=1,Y=1}+P{X=3,Y=3}=0.25+0.25=0.5⑶EX=-1X0.25+0X0.5+1X0.25=0EY=0X0.5+1X0.5=0.5E(XY)=0X1=0COV=E(XY)-EXEY=0,3分一6分X和Y是不相关(4)9分X+Y-20246P^0-^03^^025~万^025~12分四、(6分)设某居民区有100盏路灯，夜晚每盏路灯开灯的概率均为0.9,并且彼此开闭与否相互独立，用中心极限定理计算夜晚同时开灯数在85到95之间的概率。(结果用①(X)表示)解：用X表示开灯数量，显然X服从B(100,0.9),np=90,np(1-p)=9,因为n=100，充分大由中心极限定理可以认为…X近似服从N(90,9)，即W0近似N(0,1)—一…1分2分…一3分95-90 85-90 5 5 5P{85<X<90}≈Φ(F)-①(—3)=①(3)-Φ(-3)=2①(3)-1五、(8分)从包装机所包装的盐袋中抽取10袋测量它们的重量(斤)，相关数据为：4，3，3，6，5，7，2，3,3(1)4。假定盐袋的重量服从正态分布X~N(μ,σ2)。确定总体均值μ的置信度为95%的置信区间。((9)=2.26)(2)确定总体方差02的置信度为95%的置信区间。0.05(χ2(9)=2.70.975χ2(9)=19.02)0.025解：X=4S=1.563

,6分，，2分μ的置信度为95%的置信区间S-，八[X-1(n-1)-ɪ,X+1(n-1)

α/2 n a/2(2)σ2置信度为95%的估计：S]=n^nIP"X+St

nn0.05(9)=L.883,5.1171(n-1)S2 (n-1)S2χ2(n-1),χ2(n-1)=11.156 ,8.143 ]8分六、(8分)考察甲、乙两车间同种产品的次品率。甲车间抽取200个,发现其中68个为次品,乙车间抽取

170个，发现其中60个为次品。(1)求以0.95为置信度的甲车间次品率的置信区间；(2)在显著水平α=

0.05下检验甲车间次品率是否明显低于乙车间的次品率。(u=1.645)。0.10m解：(1)w=-11n12680=0.34，1分Δ≈UJWI(I-W1)/n1=1.96XJ0.34(1-0.34)/200=0.066,区间估计：(W-A,W+Δ)=(0.274,0.406)4分(2)记甲、乙两地区儿童营养状况优良率分别为W和W,检验问题：H:W≥W01 212H:W<W1 1 2 X—s-/5分α2甘2分11，5分n=200,n=170,m=68,m=60,W≈7+勺=68+60—0.346,ι 2 ι 2 n+n200+17012mm—1——2-w—w nnU= ι2 ——=I1 2 ———0.262, 8分(―+LW(1—W) ：(—+LW(1—W)Ynn Fnn1 2 1 2M<—M，故拒绝H，不能容纳后认为甲车间次品率明显低于乙车间的次品率。0.10 0七、(6分)在对一品种菊花的调查中里,观测了600朵花,发现其中淡红、紫红、粉红、深红四种颜色的花朵数量如下表所示。试在显著水平α=0.05下检验花开时，该品种菊花的淡红、紫红、粉红、深红的花朵数量是否符合4:3:8:5的理论比例值。(χ2(3)=7,815)^色淡红紫红粉红深红总计数量(朵)132100200168∑二600解：H:淡红、紫红、粉红、深红的花朵数量符合4:3:8:5的理论比例值0H1:淡红、紫红、粉红、深红的花朵数量不符合4:3:8:5的理论比例值 」分V=132,，V=100,V=200,V=1681 23 443E=600X—=120E=600X—=9020 2 2085E=600X一=240,E=600X—=15020 3 20(v—E )2 (v —E)2 (v —E )2 (v —E )2检验统计量： χ2 =1 1—+ 2 2—+ 3 3—+ 4 4—=11.14 5分EEEE1234χ2>χ2(3)=7.815，所以拒绝H0,不符合理论比例 6分八、(8分)设甲、乙两种齿轮的直径都服从正态分布。各取8个，测直径并计算得相关数据:样本均值元=15,甲X=17；样本方差S2=25,S2=24。在显著水平α=0.05下检验(1)两种齿轮直径的方差有无显著差乙乙甲异；(2)两种齿轮直径的均值有无显著差异(Fn”(7,7)=4.99,t(14)=2.145)。0.025 0.05解：(I)Ha:σ2=O2-H:02≠σ2 1分0甲乙1甲乙F=Si=25=1.041, 3分5乙24 F(7,7)=4.990.025F=1.43<F0,025(7,7)=4.99，所以不能拒绝原假设，认为两者方差相等。----4分(2)Ho：，=,一H1：四甲≠N乙 5分N—N 八t= 甲乙 =0.808 7分：(n-1»甲+(n乙-1)S乙"~F n+n—2nnn' 甲乙 二甲一乙e|t|=0.808<t(14)=2.145,所以接受原假设,认为两者无显著差异。 8分0.05九、(12分)为了观察注射不同菌型和喂养不同的食物对小白鼠的存活天数差异是否显著,给小白鼠注射三种菌型(A)与喂养三种不同食物(B)o实验结束后，测得小白鼠的存活天数的数据如下表。设小白鼠存活天数分布满足正态分布、等方差条件，且菌型与食物不存在交互作用。(F(2,6)=5.14,F(2,4)=6.94)(1)0.050.05若把此试验看作菌型（因素A）对存活天数的重复实验，列出单因素方差分析表，并且在显著水平α=0.05下检验菌型对存活天数有无显著影响。（2）填写下面双因素方差分析表，并且在显著水平α=0.05下检验菌型与食物对存活天数有无显著影响。(α=0.05)因素B1B2B3A1563A2354A3463解：（1）变差来离差平方和自由度均方和 F比值及显著性源组间SS=2/3f=2_MS=:1/3—F=3/17=0.17647组内1SS=34/31f=6-1MS=17/9222总计SS=12f=-8-F<F（2,6）=5.14，菌型对存活天数无显著影响 每空0.5分共4分，结论2分0.05（2）变差来源离差平方和自由度均方和F比值及显著性因素ASS=2/3f=2,MS=1/3_F=1/2=0.5AAAA因素BSS=26/3Bf=2,BMS=B13/3F=13/2=0.65B误差SS=8/3ef=AeMS=_e2/3总计SS=12Tf=-8T菌型与食物对存活天数都是无显著影响 每空0.5分共5分，结论1分十、（12分）某种林木的胸径x（厘米）和树高y（米）资料如下：胸径X91112141618-树高y-4691214-15-（1）求y对X的经验线性回归系数，并写出线性回归方程；（2）求回归剩余方差S2yx⑶计算样本相关系数。在显著水平α=0.05下用相关系数法对线性回归方程的显著性进行检;r（4）=0.7545）0.05解1）回