2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国2卷)

2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国2卷).设集合A={xIxλ2-5x+6>0},B={xlx-l<O},则A∩B=OAo(-∞91)Bo(-2,1)Co(-3,-1)Do(3,+∞)解析：将xzκ2-5x+6=0化为(x-2)(x-3)>0,得至Uχ∈G∞,2)U(3,+∞),将X-IVO化为XV1,得到B={xlxvl},所以A∩B=(-∞,l)o.设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于OAo第一象限B。第二象限C。第三象限D。第四象限解析：实部为-3,虚部为2,所以该点位于第二象限。.已知lz-3l=2,lz+(3+ti)l=l,则IZl=OAo-3Bo-2Co2Do3解析：将IZ-引=2化为lz-3l八2=4,得到(z-3)(z-3*)=4,其中z*为Z的共轲复数，将lz+(3+ti)l=l化为lz+(3+ti)l八2二1,得到(z+(3+ti))(z*+(3-ti))=l,将Z展开得到z=x+yi,代入两式，化简得至Uxλ2+yλ2-6x+4=0和X八2+(y+t)八2=4,联立两式，解得x=l,y=-2-t,代入IZl八2=x八2+y八2,得到lzl=2.4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行。L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M1,月球质量为乂2,地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1M2∕(M1+M2)(R+r)^2=G(M1+M2)∕r^2.设α=GM2∕R^2，由于ɑ的值很小，因此在近似计算中α≈3α^3,则r的近似值为()A。RB。R/3C。R/9D。3R解析：将方程化简得到M3-3aA3rA2-3RaA3r-2M1RA2aA3=0，由于α的值很小，所以r≈Ro.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A。中位数B。平均数C。方差D。极差解析：去掉最高分和最低分后，中位数和平均数都可能发生变化，方差和极差都会发生变化，唯独中位数不变。.若a>b,则(a+b)(a-b)<a^2-b^2.解析：将左边化简得到(a+b)(a-b)=a^2-b^2+ab-ba=a^2-b^2,所以(a+b)(a-b)<a^2-b^2..没有明显的格式错误或问题段落。.小幅度改写每段话：A。比较大小的四个式子，分别是ln(a-b)o0.3a。O.lal。Ibl。.平面α与β平行的充要条件是：α内有两条相交直线与β平行。.若抛物线y^2=2px(po0)的焦点是椭圆χ^2∕4+y^2∕9=1的一个焦点，则P=8..下列函数中，以f(x)=lcos(2x)为周期且在区间(-π∕2.π∕2)单调递增的是f(x)=Sinlxlo10.已知α∈(0.π∕2),且2sin^2α=cos2α+1,则Sina=1/2..设F为双曲线C：x^2∕a^2-y^2∕b^2=1(a。0.bo0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x^2+y^2=a^2交于P,Q两点。若IPQI=IOFI,则C的离心率为2/3..设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0.1]时，f(x)=x(x-1)o若对任意x∈(-∞om],都有f(x)≥-1/2,则m的取值范围是(-1.+∞)o填空题：.经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98..若f(x)是奇函数，且当X<0时，f(x)=-eaxo若f(ln2)=8,则a=-4.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若b=6,a=2c,则4ABC的面积为6√3.16.该半正多面体共有30个面，其棱长为2∕√3.23.已知$出乂)=反也反+反-21(乂也)$。1)当$2=1$时，求不等式$f(x)<0$的解集；2)当$乂\山(-\山仕丫,1)$时，$f(x)<0$,求$a$的取值范围。1)当$2=1$时，$f(x)=lx-1lx+lx-2l(x-1)$。当$x0$，$lx-2l0$，$lx-2l>0$，$f(x)>0$。综上所述，$f(x)<0$的解集为$(-\infty,1)$。2)当$乂\山(-\山仕丫,1)$时，$f(x)=lx-alx+lx-2l(x-a)2$时，$lx-al>0$，$lx-2l0$。综上所述，$a\in(1,2]$。3.根据不等式的基本性质，可以得到a3=-1，b3=-1，因此C选项正确。lal=l-1l=1，与b不相等，因此排除D选项。因此答案为Co.对于选项A,α内有无数条直线与β平行，因此α与β要么相交，要么平行；对于选项B,α内有两条相交直线与β平行，因此α与β要么相交，要么平行；对于选项C,a,β平行于同一条直线，因此α与β要么相交，要么平行；对于选项D,α,β垂直于同一平面，因此α与β要么相交，要么平行。因此答案为B。.根据抛物线的性质和椭圆的性质列出方程，可以得到3p-p=64，解得p=8.因此答案为Do.对于选项A,f(x)=sinlxl不是周期函数，因此排除；对于选项B,f(x)=coslxl是周期为2π的函数，因此排除；对于选项C,f(x)=lsin2xl⅛区间［0,π∕2］单调递增，在区间［π∕2,π］单调递减，因此排除；对于选项D,f(x)=lcos2xl在区间［0,π∕4］单调递增，在区间［π∕4,π∕2］单调递减，在区间［π∕2,3π∕4］单调递增，在区间［3π∕4,π］单调递减。因此答案为Do.根据二倍角的三角函数公式,可以化简已知式,得到4sinacosα=2cos2α，结合角的范围可以得到sina>0,cosα>0,因此CoSa=2sinαo根据同角三角函数的基本关系式，可以得到sin2a+cos2a=sin2a+(2sina)2=5sin2a=1,因此解得Sina=±1∕√5.因为a∈(0,π∕2),所以sina>0，因此答案为B。.根据题意画出图形，可以求出PQ的长度为√(a2-c2),由于IPQi=IOFI，因此可以列出2a-ea=c,代入©2=Η2上2,可以得到e=√(1-b2∕a2)。因此答案为A。点评】本题考查双曲线的简单性质，需要根据给定条件推导出函数的解析式，并结合图像进行分段讨论。改写时可以将公式整理得更加清晰，例如将分段的解析式单独列出来，方便阅读。因为$f(x+1)=2f(x)$，所以$f(x)=2f(x-1)$。根据这个递推式，可以得到以下分段解析式：当$x\in(-\infty,1]$时，$f(x)=x(x-1)\in[-\infty,0]$；当$x\in(1,2]$时，$x-1\in(0,1]$，所以$f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\in[-\infty,0]$；当$x\in(2,3]$时，$x-1\in(1,2]$，所以$f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)\in[-1,0]$。当$x\in(2,3]$时，由$4(x-2)(x-3)=0$解得$x=2$或$x=3$。如果对任意$x\in(-\infty,m]$,都有$f(x)\geq-1$,那么$m\leq3$。因此选项B正确。点评】本题考查了函数与方程的综合运用，需要根据给定条件列出方程并解出未知数的值。改写时可以将文字描述转化为数学表达式，例如将“对任意$x$”转化为$\forallX$。根据奇函数的定义，对于任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。因此$f(-\ln2)=-f(\ln2)$，而已知$f(-\ln2)=-8$，所以$f(\ln2)=8$。又因为$f(x)=-ae\ax}$，所以$f(\ln2)=-ae^{-a'ln2}=-a/2$。因此$a=-3$，答案为$-3$。点评】本题考查了三角函数的基本知识，需要根据给定条件列出方程并解出未知数的值。改写时可以将公式整理得更加简洁，例如将面积公式的三角函数表达式合并。根据余弦定理，有*b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$。代入已知条件$b=6$、$a=2c$和$B=\pi/3$，得至U$i2=12$。根据三角形的面积公式$S_{\triangleABC}=ac∖sinB=c^2∖sin8/2$,代入已知条件，得到$S_{\triangleABC}=6$。因此答案为$6$。.分析：本题讲述了一个半正多面体，其中中间层为正八棱柱，共有26个面，棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45倍。解答：该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为X,则x+x*cos45=-1,解得x=-1.故答案为26.点评：本题考查了球内接多面体，属于中档题。.分析：本题要求证明BE垂直于平面EB1C1,并求出二面角BEC1的正弦值。解答：证明：长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1垂直于平面人8人181，因此B1C1垂直于8£；又因为BE垂直于EC1，所以BE垂直于平面EB1C1.解：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AE=AIE=1，因为BE垂直于平面EB1C1，所以BE垂直于£81，因此AB=1，所以E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，C(0,0,0)。因为BC垂直于EB1，所以EB1垂直于面EBC，所以取平面EBC的法向量为(-1,0,1)，设平面ECC1的法向量为(x,y,z)，由点E在平面ECC1上得到方程x+y+z=2.又因为BC垂直于EC1,所以EC1垂直于平面EBC,所以平面EBC的法向量也是平面EB1C1的法向量，即(0,-1,1),所以(x,y,z)与(0,-1,1)垂直，又因为x+y+z=2所以(x,y,z为(1,-1,0)。因此cos=-1∕√6,所以sin=√(1-1∕6)=√5∕√6.点评：本题考查了线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题。.分析：本题要求求出比赛双方平了10:10后，甲获胜第2个球的概率，以及甲获胜第4个球且比赛结束的概率。解答：设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k=1,2,3.)。则P(X=2)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3A4)+。其中P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)，P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A4)+P(A1)P(A3)P(A4)+P(A2)P(A3)P(A4)，以此类推。因此P(X=2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+。=P(AI)P(A2)/(1-P(A1))。P(X=4且甲获胜)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)P(A4)+P(A2)P(A3)P(A4)。因此P(X=4且甲获胜)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)∕P(A1A2A3)+P(A1)P(A3)∕P(A1A3)+P(A2)P(A3)/P(A2A3)+P(A1)P(A2)P(A4)/P(A1A2)+P(A1)P(A4)/P(A1A4)+P(A2)P(A4)/P(A2A4)+P(A3)P(A4)/P(A3A4)。点评：本题考查了概率计算的基本方法，考查了条件概率、乘法原理等知识，属于中档题。x,x)处的斜率为1,与曲线y=lnx的切线斜率相同，因此两个曲线在点(1，0)处相切，证毕．点评】本题考查了函数的单调性、导数、零点的求法以及曲线的切线方程,是中档题．需要注意格式错误和表述不清晰的地方,进行适当的改写和修正。剔除下面文章的格式错误,删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。21．【分析】(1)利用直接法不难得到方程；2)⑴设P(x,y)，则Q(-χ,-y),E(x,),利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ,PG斜率之积为-1；打)利用S=函数可得最值.解答】解：(1)由题意得，y=x+1∕x，代入已得数据，并对换元，利用“对号”整理得曲线C的方程：x^3-2x^2+x-2=0,・・・曲线C是焦点在X轴上不含长轴端点的椭圆；2)(i)设P(x,y)，则Q(-x,-y),E(x,),G(xG,yG),.,・直线QE的方程为：y=x,与x^2∕4+y^2=1得y=√(1-x^2∕4),联立消去y,得x^2+4y^2=4,Λy=√(4-x^2)∕2,把y代入x+1/x,得kPG=-1∕2x,JkPQxkPG=-I,・・・PQ⊥PG,故△PQG为直角三角形；ii)S=1∕2×PQ×PG,设PG=x,PQ=y,・・.丫二1仅，利用“对号”函数f(t)=2t+1∕t在［2,+∞)的单调性可知，f(t)单调递增，f(2)=5,故S=5∕2,(此时)x=2,y=1∕2,故^PQG面积的最大值为5/2.点评】此题考查