七年级数学几何图形初步(培优篇)(Word版-含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)问题情境2如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；（2）如图5中,∠ABM=13∠ABF,∠CDM=1（3）若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE∴∠FBE+∠FDE=∠BFD∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°∴80°+∠BFD+∠BFD=360°∴∠BFD=140°（2）结论为：6∠M+∠E=360°证明：∵∠ABM=13∠ABF,∠CDM=1∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°∵∠M=∠ABM+∠CDM∴6∠M+∠E=360°（3）证明：根据（2）的结论可知2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°∵∠M=∠ABM+∠CDM∴2n∠M+m°=360°∴∠M=【解析】问题情境1:

图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；【分析】问题情境1和2

过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。2．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30=120°．由角平分线的性质可知：∠MOC=12∠AOC=60°，∠CON=1∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=60°﹣15°=45°（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°．由角平分线的性质可知：∠MOC=12∠AOC=12α+15°，∠CON=∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=12α+15°﹣15°=1（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．由角平分线的性质可知：∠MOC=12∠AOC=12β+45°，∠CON=12∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=12β+45°﹣1（4）解：根据（1）、（2）、（3）可知∠MON=12【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分线的定义可知∠MOC=12α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC=12β+15°，∠CON=3．

综合题（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．（2）对于（1）问，如果我们这样叙述：“已知点C在直线AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果；如果没有，说明理由．【答案】（1）解：∵AC=6cm，且M是AC的中点，∴MC=12AC=1同理：CN=2cm，∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，∴线段MN的长度是5m（2）解：分两种情况：当点C在线段AB上，由（1）得MN=5cm，当C在线段AB的延长线上时，∵AC=6cm，且M是AC的中点∴MC=12AC=1同理：CN=2cm，∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，∴当C在直线AB上时，线段MN的长度是5cm或1cm．【解析】【分析】（1）根据线段的中点定义，由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC+CN的值；（2）当点C在线段AB上，由（1）得MN的值；当C在线段AB的延长线上时，再由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC﹣CN的值.4．根据下图回答问题：（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，∵∠MAC+∠ACM=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，理由：如图，过M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，∵∠M=90°，∴∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．理由：过点G作GP∥AB，∵AB∥CD∴GP∥CD，∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．5．如图，已知点B(a,b)，且a，b满足|2a+b-13|+a-3b+4=0.过点（1）求出点B的坐标；（2）点M是边OA上的一个动点（不与点A重合），∠CMA的角平分线交射线CB于点N，在点M运动过程中，∠（3）在四边形OABC的边上是否存在点P，使得BP将四边形OABC分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：由|2a+b-{2a+b-∴点B的坐标为(5,3)（2）解：不变化∵BC⊥∴BC∥x轴∴∠∵MN平分∠∴∠∴∠∴∠（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形OABC的面积为15若点P在OC边上，可设P点坐标为(0,a)，则CP=3三角形BCP的面积为12剩余部分面积为15-所以15-5a2P点坐标为(0,9若点P在OA边上，可设P点坐标为(a,0)，则AP=5三角形BAP的面积为12剩余部分面积为15-所以15-3a2P点坐标为(3,0).综上,点P的坐标为(3,0)，(0,9【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明∠CMN=（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.6．探究与发现：（1）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系.（2）探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.（3）探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系.（4）探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：▲

.【答案】（1）解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；（2）探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-1=180°-12=180°-12=90°+12（3）探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-1=180°-12=180°-12=12（4）探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=1∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-12∠EDC-1=180°-12=180°-12=12即∠P=12【解析】【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可.7．如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线（1）如图1，当BP=BA时，∠EBF=________°，猜想∠QFC=________（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC【答案】（1）30；60（2）解：结论：∠QFC=60如图：∵∠BAP=∠BAE+∴∠BAP=在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∴△ABP∴∠AEQ=∴∠BEF=180∴∠QFC=【解析】【解答】证明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°，∴∠EBF=30°；猜想：∠QFC=60理由如下：如图，∵∠BAP=∠BAE∴∠BAP=∵AB=AE，AP=AQ，∴△ABP∴∠AEQ=∴∠BEF=180∴∠QFC=故答案为：30；60；【分析】（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；（2）先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.8．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）x的取值范围是________；（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；（3）在平面直角坐标系xOy中，①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；②描出当x＝120°时，y的值；（4）若∠AOB＝a°，题目中的其它条件不变，用含a、x的代数式表示y为________。【答案】（1）40°<x<140°（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+y°，∠DPB=12∴40°+y°=12（40°+x°），即y=1x=60时，y=12x-20=1x=70时，y=12x-20=1x=80时，y=12x-20=1x=90时，y=12x-20=1补全表格如下：；（3）解：①②如图：

x=120时，y=12x-20=1（4）y=12【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，∴∠CPB=40°+x°，∠CPB一定小于180°，即40°+x°<180°，x<140°，∵PD平分∠CPB，∴∠DPB=12∠CPB=1∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，即12∴x的取值范围是40°<x<140°；（4）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP，∠AOB＝a°，∠CDP的度数为y°，∴∠DPB=a°+y°，∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝a°，∠OCP的度数为x°，∴∠CPB=a°+x°，∵PD平分∠CPB，∴∠DPB=12∠CPB=12（∴a°+y°=12（a°+x°），即y=1【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+x°，∠DPB=12（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.9．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点A1，（1）分别计算：当∠A分别为700、800时，求∠A1的度数.（2）根据（1）中的计算结果，写出∠A与∠A1之间的数量关系________.（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于点A2，∠A2BC的角平分线与∠A2CD的角平分线交于点A3，如此继续下去可得A4，…，∠An，请写出∠A5与∠A的数量关系________.（4）如图2，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时，有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠D-∠A1的值为定值.其中有且只有一个是正确，请写出正确结论，并求出其值.【答案】（1）解：∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=1由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：∠A1=12（∠ACD-∠ABC）=1当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°（2）∠A=2∠A1（3）∠A5=132（4）解：△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1=2（180°-∠Q），化简得：∠A1+∠Q=180°故①的结论是正确，且这个定值为180°【解析】【解答】解：（2）由（1）可知∠A1==12即∠A=2∠A1（3）同（1）可求得：∠A2=12∠A1=1∠A3=12∠A2=1…依此类推，∠An=12当n=5时，∠A5=125∠A=【分析】（1）由三角形的外角性质易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，可得∠A1=12（∠ACD-∠ABC）=12∠A（2）根据（1）可得到∠A=2∠A1（3）根据（1）可得到∠A2=12∠A1=122∠A，∠A3=12∠A2=123∠A，…依此类推，∠A10．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF（1）证明：BD⊥BC;（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD的度数：（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ=________.【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF∴∠ABC=12∠ABE，∠ABD=1∴∠ABC+∠ABD=12（∠ABE+∠ABF）=1∴BD⊥BC（2）解：∵CD∥EFBD平分∠ABF∴∠ADP=∠DBF=12又AP平分∠DAG，∠BAG=50°∴∠DAP=12∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP=180°－12∠DAG－1=180°－12(∠DAB－∠BAG)－1=180°－12∠DAB+12×50°－=180°－12=180°－12=115°（3）45°【解析】【解答】（3）解：如图，∵AQ∥BC∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，∵BC平分∠ABE，∴∠1=∠2=∠4，∴12又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN∴∠PAN=12∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ=12=45°-12=135°-（12=135°-90°=45°.【分析】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠CBD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ADP=∠DBF=12∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP=12∠DAG，然后根据出三角形内角和即可求出∠APD的度数；（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即12∠3+∠4=90°，根据垂直和平行线的性质以及角平分线的定义可得∠PAN=111．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，则∠APB=________．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用(2)的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代数式表示)．【答案】（1）110（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为：∠APB=（3）