五一特训突破解三角形课件

解三角形专题一．解答题（共50小题）1．（2022秋•丽水月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝2﹣2cosB．（1）求tanB的值；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长L的最小值．2．（2022秋•绍兴月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求；（2）若边上的中线，求△ABC的面积．3．（2022•镇海区校级模拟）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA．（1）若f（0）＝﹣，a＝3，b＝1，求△ABC的面积；（2）当x＝时，f（x）取最大值，求f（x）在上的值域．4．（2022秋•宁波月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求的值；（2）若，求cosA．5．（2022秋•杭州期中）锐角△ABC中，已知．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积S的取值范围．6．（2022•温州开学）锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c＝a（2cosB+1）．（Ⅰ）求证：B＝2A；（Ⅱ）求的取值范围．7．（2022秋•大理市校级期中）在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．（1）求角B的大小；（2）若，b＝2，求△ABC的面积．8．（2022秋•温州月考）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝1，求的最大值．9．（2022•江苏三模）在△ABC中，已知．（1）求sinA的值；（2）若AD是∠BAC的角平分线，求AD的长．10．（2022秋•朝阳区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．11．（2022秋•湖南月考）在△ABC中，内角A，B，C满足2a2+b2＝2c2且B≠90°．（1）求证：tanC＝3tanA；（2）求的最小值．12．（2021秋•驻马店月考）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是：a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA）．（1）求角A；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝3，求△ABC的周长的取值范围．13．（2022秋•浙江月考）如图，在△ABC中，D为AC的中点，且∠ABC+∠DBC＝π．（1）证明：BA＝2BD；（2）若AC＝3BC＝3，求sin∠BDC．14．（2022•枣庄模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：（1）A；（2）的取值范围．15．（2022春•荔湾区校级期中）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边，分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若边c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．16．（2022春•山西月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c（1﹣cosA）＝acosC+2bcosA．（1）证明：A＝2B；（2）若c＝4，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．17．（2022春•温岭市校级月考）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4cS＝（2a﹣c）（a2+c2﹣b2）tanC．（1）求B；（2）求cos2A+cos2B+cos2C的取值范围．18．（2022•浙江开学）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝1，且（1+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．19．（2022秋•浙江月考）已知△ABC的内的A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．若a＝5，c＝3，O为△ABC的_____，求△OAC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20．（2022•嵊州市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若D是AB边上一点，且AD＝2DB，若CD＝2，求△ABC面积的最大值．21．（2019秋•武昌区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，且sinA＝，角C为锐角．（1）求角C的大小；（2）若c＝，且△ABC的面积为，求a2+b2．22．（2022秋•常德月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ab+a2＝c2．（1）求证：C＝2A；（2）求的取值范围．23．（2022秋•湖北月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B﹣cosA＝cos（A+2B）．（1）若A＝，求C；（2）若b2≠a2+c2，求的最小值．24．（2022秋•崂山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CD＝6，BC＝2，cos∠CBD＝﹣．（1）求∠BDC；（2）若∠A＝，S△ABD＝16，求△ABD的周长．25．（2022秋•岳阳月考）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝b﹣a．（1）求C；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积S的取值范围．26．（2022秋•栖霞市校级月考）在锐角△ABC三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若a＝2，b＝3，求sinC；（2）若A为△ABC的最大内角，求sinA+sinC的取值范围．27．（2022秋•璧山区校级月考）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＝cosC（sinB+cosB）．（1）求C的值；（2）若c＝，求△ABC面积S的最大值．28．（2022秋•广州月考）在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角B；（2）已知点D在AC边上，且AD＝2DC，BC＝6，，求△ABC的面积．29．（2022秋•沙坪坝区校级月考）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA，b＝2．（1）求角B的大小；（2）求2a﹣c的取值范围．30．（2022秋•普宁市校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面积．31．（2022秋•襄州区月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+2c2＝2b2．（1）证明：sinBcosC＝3sinCcosB；（2）求B﹣C最大值．32．（2022•淮北一模）在△ABC中，已知sinAsinB+cos2A＝sin2B+cos2C，D是AB的中点．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB＝2，CD＝，求△ABC的面积．33．（2022•蒸湘区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC上一点．（1）若BD为∠ABC的角平分线，求CD的长；（2）若，求sin∠DBC的值．34．（2022春•大祥区校级期末）△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a＝ccosB+bsinC．（1）求C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形且c＝，求a2+b2的取值范围．35．（2022春•沈阳月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A角的值；（2）若△ABC为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围．36．（2022春•鄂州期末）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosA+2acosC＝b+2asinB．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．37．（2022春•铁西区校级期末）请在①（bsinC+csinB）＝4asinCsinB，②bsinA﹣acosAcosC＝ccos2A，③sinC+cosC＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并求解该问题．已知锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，c＝4，且______．（1）求角A的大小；（2）求边b的取值范围．38．（2022•鞍山开学）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc＝a2﹣c2．（1）若，且，求△ABC的面积；（2）求cosA+sinC的最大值．39．（2022春•公安县校级月考）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C的大小；（2）若边长，求△ABC的周长取值范围．40．（2022春•开福区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，且．（1）求角C的大小；（2）若b＝3，点D为AB边的中点，CD＝，求sinA的值．41．（2022春•苏州期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角C；（2）CD是∠ACB的角平分线，若的面积为，求c的值．42．（2022春•襄阳月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣c2＝2b（bcosB+acosC）．（1）求角B；（2）若，求△ABC的面积．43．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．44．（2022春•岳麓区校级月考）在△ABC中，已知sin2A﹣sin2B＝sinC（sinB+sinC）．（1）求角A的值；（2）设∠BAC的平分线交BC边于D，若AD＝1，BC＝，求△ABC的面积．45．（2022春•宜昌期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且且b＝5．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围．46．（2022春•湖北期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinAsin2A＝（1﹣cosA）（1﹣cos2A）．（1）求角A；（2）若△ABC的面积，求cosC．47．（2022•淄博模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（tanA﹣sinC）（tanB﹣sinC）＝sin2C．（1）求证：c2＝ab；（2）若a+b＝3，求的最小值．48．（2022春•湖北期中）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（2a﹣b）cosC＝ccosB．（1）求角C；（2）若a＝2，b＝3，CD为角C的平分线，求CD的长；（3）若acosB+bcosA＝4，求锐角△ABC面积的取值范围．49．（2022•武汉模拟）如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC，AC＝BP＝2．（1）若AB＝，PC＝，求sin∠ACP的值；（2）若AB＝，sin∠ACP＝，求AP的长．50．（2022•南京开学）在①bsin＝csinB，②（ccosA﹣b）＝﹣asinC，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为4，BC的中点为D，求AD长的最小值．

解三角形专题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2022秋•丽水月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝2﹣2cosB．（1）求tanB的值；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长L的最小值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由sin（A+C）＝2﹣2cosB得，，因为，解得．所以．（2）由，可知，．由△ABC的面积为2，得，故ac＝5．所以，即．（等号成立当且仅当a＝c）又（等号成立当且仅当a＝c），所以．故△ABC周长（等号成立当且仅当）．因此△ABC周长L的最小值为．2．（2022秋•绍兴月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求；（2）若边上的中线，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由得，故sin（B+C）＝2sinB，所以，由正弦定理可得；（2）在△BCE中由余弦定理得BE2＝BC2+CE2﹣2BC⋅CE⋅cosC，即，因为a＝2b，解得b＝2，a＝4，又C∈（0，π），所以，所以△ABC的面积．3．（2022•镇海区校级模拟）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA．（1）若f（0）＝﹣，a＝3，b＝1，求△ABC的面积；（2）当x＝时，f（x）取最大值，求f（x）在上的值域．【答案】（1）或；（2）（﹣，1]．【解答】解：（1）因为f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA，所以f（0）＝﹣2sinA+sinA＝﹣sinA＝﹣，所以sinA＝，由A为三角形内角可得A＝或，当A＝时，由正弦定理可得sinB＝＝＝，所以cosB＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinBcosA+sinAcosB＝＝×，此时△ABC的面积S＝absinC＝×＝；当A＝时，由正弦定理可得sinB＝＝＝，所以cosB＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinBcosA+sinAcosB＝此时△ABC的面积S＝absinC＝＝；（2）因为f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA＝2sin（x﹣A）cosx+sin[x﹣（x﹣A）]＝2sin（x﹣A）cosx+sinxcos（x﹣A）﹣sin（x﹣A）cosx＝sin（x﹣A）cosx+sinxcos（x﹣A）＝sin（2x﹣A），当x＝时，f（x）取最大值，所以2×﹣A＝，k∈Z，所以A＝﹣2k，k∈Z，由A为三角形内角得A＝，f（x）＝sin（2x﹣），由x∈可得，所以，即函数的值域为（﹣，1]．4．（2022秋•宁波月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求的值；（2）若，求cosA．【答案】（1）2．（2）．【解答】解：（1）△ABC中，因为，结合余弦定理，得＝4×，化简可得a2+b2＝2c2，所以．（2）由＝，可得，即，即a2+c2＝3b2，又a2+b2＝2c2，所以，，所以．5．（2022秋•杭州期中）锐角△ABC中，已知．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】（I）．（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝＝，又∵B∈（0，π），∴．（Ⅱ）＝＝＝＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，∴，∴．6．（2022•温州开学）锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c＝a（2cosB+1）．（Ⅰ）求证：B＝2A；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（I）证明详见解析．（II）（，）．【解答】证明：（I）∵c＝a（2cosB+1），∴由正弦定理可得，sinC＝sinA（2cosB+1），∴sinC＝sin（A+B）＝2sinAcosB+sinA，即sin（B﹣A）＝sinA，解得B＝2A或B＝π（舍去），∴B＝2A．（II）在锐角△ABC中，B，∵，又∵，∴，即A＞，∴，由正弦定理可得，＝，∴，即，综上所述，的取值范围为（，）．7．（2022秋•大理市校级期中）在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．（1）求角B的大小；（2）若，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得，，∵B，C∈（0，π），则sinC＞0且，∴，即，∴，即，∴．（2）∵，，∴sinAsinC＝sin2B，∴ac＝b2＝4，故．8．（2022秋•温州月考）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝1，求的最大值．【答案】（1）详见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：因为，所以sinAcosBcosC﹣sinBcosAcosC＝sinAcosCcosB﹣sinCcosAcosB，整理得sinBcosAcosC＝sinCcosAcosB，因为A为锐角，cosA＞0，故sinBcosC﹣sinCcosB＝sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；（2）解：由（1）得b＝c，因为asinC＝1，且asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝1，所以a＝，b＝，＝sin2A+sin2B＝sin2B+sin2（B+C）＝sin2B+sin22B＝+sin22B＝﹣cos22B﹣cos2B+（*），因为，所以，﹣1＜cos2B＜0，根据二次函数的性质可知，当cos2B＝﹣时，（*）取得最大值．9．（2022•江苏三模）在△ABC中，已知．（1）求sinA的值；（2）若AD是∠BAC的角平分线，求AD的长．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即25＝16+BC2﹣2×，整理得7BC2﹣40BC﹣63＝0，解得BC＝7（舍负），由B为三角形内角得sinB＝＝＝，由正弦定理得sinA＝＝＝；（2）设∠BAD＝θ，AD＝x，则S△ABC＝S△ABD+S△ADC，所以＝，整理得x＝＝，△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝，由于cosA＝cos2θ＝2cos2θ﹣1，所以cosθ＝，则AD＝．10．（2022秋•朝阳区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．【答案】（1）（2）．【解答】解：（1）在△ABC中，已知，整理得：2acosA＝ccosB+bcosC；利用正弦定理整理得：2sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，由于0＜A＜π，所以sinA≠0，故cosA＝，解得A＝．（2）由（1）的2R＝，所以b+c＝2sinB+2sinC＝＝＝＝，由于，所以，故，所以．故b+c的取值范围为．11．（2022秋•湖南月考）在△ABC中，内角A，B，C满足2a2+b2＝2c2且B≠90°．（1）求证：tanC＝3tanA；（2）求的最小值．【答案】（1）详见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：因为2a2+b2＝2c2且B≠90°，所以2（c﹣a）（c+a）＝b2，由正弦定理可得2（sinC﹣sinA）（sinC+sinA）＝sin2B＝sin2（A+C），所以8（sin•cos）（cos•sin）＝sin2（A+C），即2sin（C﹣A）sin（C+A）＝sin2（A+C），因为sin（A+C）＞0，故2sin（C﹣A）＝sin（C+A），所以2sinCcosA﹣2sinAcosC＝sinCcosA+sinAcosC，整理得tanC＝3tanA；（2）解：设tanA＝t，则tanC＝3t，由（1）得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝，＝＝（t），当且仅当t＝时取等号，所求最小值为．12．（2021秋•驻马店月考）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是：a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA）．（1）求角A；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝3，求△ABC的周长的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是：a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA），由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以2bccosA＝accosC+c2cosA，由于c＞0，所以2bcosA＝acosC+ccosA，由正弦定理得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，由于sinB＞0，所以cosA＝，由于A∈（0，π），故A＝．（2）由正弦定理，整理得b＝，c＝2，则b+c＝＝6．由于△ABC为锐角三角形，故，整理得，所以，故．所以a+b+c＝3+6sin（B+）；故△ABC的周长的取值范围为．13．（2022秋•浙江月考）如图，在△ABC中，D为AC的中点，且∠ABC+∠DBC＝π．（1）证明：BA＝2BD；（2）若AC＝3BC＝3，求sin∠BDC．【答案】（1）详见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：△ABC中，D为AC的中点，所以S△ABC＝2S△BDC，则＝BD•BCsin∠DBC，所以AB•sin∠ABC＝2BD•sin∠DBC，又因为∠ABC+∠DBC＝π，所以∠ABC＝∠DBC，则BA＝2BD；（2）设BD＝x，则AB＝2x，因为AC＝3BC＝3，△BCD中，由余弦定理得x2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，则，△ABC中，由余弦定理得4x2＝BC2+AC2﹣2BC•ACcos∠BCA，即4x2＝10﹣6cos∠BCD，解得cos∠BCD＝，BD＝x＝，又因为＝，即＝，所以sin∠BDC＝．14．（2022•枣庄模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：（1）A；（2）的取值范围．【答案】（1）A＝；（2）（﹣，1）．【解答】解：（1）因为．所以sinBcos＝sinAsinB，因为sinB＞0，所以cos＝sinA＝2sincos，由A为三角形内角得cos＞0，所以sin＝，由A为三角形内角得A＝；（2）由题意得0＜B＜，所以0＜，0＜tan＜，正弦定理得＝＝＝＝×﹣＝﹣＝．故的取值范围为（﹣，1）．15．（2022春•荔湾区校级期中）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边，分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若边c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．【答案】（1）C＝45°；（2）（，1+]．【解答】解：（1）因为，因正弦定理得，＝＝＝＝，因为A，B为锐角，所以sinA＞0，cosB＞0，所以sinC＝cosC，即tanC＝1，由C为三角形内角，得C＝45°；（2）由余弦定理得，c2＝＝4，又＝（+），两边同时平方得，＝（++2•）＝（a2+b2+）＝（4+2）＝1+ab，由正弦定理得，＝＝＝＝2，所以ab＝8sinAsinB＝8sinBsin（）＝8sinB（）＝4sinBcosB+4sin2B＝2sin2B+4＝4sin（2B﹣）+2，由题意得，，解得，所以＜2B﹣，sin（2B﹣）∈（，1]，所以ab∈（4，4+2]，||2∈（5，3+2]，所以CD的取值范围（，1+]．16．（2022春•山西月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c（1﹣cosA）＝acosC+2bcosA．（1）证明：A＝2B；（2）若c＝4，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）详见解答过程；（2）（6+2，8+4）．【解答】（1）证明：因为c（1﹣cosA）＝acosC+2bcosA，由正弦定理得，sinC（1﹣cosA）＝sinAcosC+2sinBcosA，即sinC＝sin（A+C）+2sinBcosA＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，所以sinB＝sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A﹣B），所以B＝A﹣B，所以A＝2B；（2）解：由（1）得C＝180°﹣A﹣B＝180°﹣3B，由题意得，，所以30°＜B＜45°，所以，由正弦定理得，b＝＝＝＝＝，a＝＝＝2bcosB，所以a+b＝2bcosB+b＝•（1+2cosB）＝∈（2+2，4+4），所以a+b+c∈（6+2，8+4）．17．（2022春•温岭市校级月考）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4cS＝（2a﹣c）（a2+c2﹣b2）tanC．（1）求B；（2）求cos2A+cos2B+cos2C的取值范围．【答案】（1）；（2）[，1）．【解答】解：（1）因为4cS＝（2a﹣c）（a2+c2﹣b2）tanC，所以4c×＝（2a﹣c）•2accosB•，因为sinC＞0，所以bcosC＝（2a﹣c）cosB，即bcosC+ccosB＝2acosB，由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB，所以sin（B+C）＝2sinAcosB＝sinA，由sinA＞0得cosB＝，由B为三角形内角得B＝；（2）cos2A+cos2B+cos2C＝＝+cos2A+cos（）＝（）＝，由题意得，解得，所以2A，所以．故cos2A+cos2B+cos2C的取值范围为[，1）．18．（2022•浙江开学）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝1，且（1+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【答案】（I）．（II）．【解答】解：（I）∵a＝1，且（1+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，∴由正弦定理可得，（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，化简整理可得，a2＝b2+c2﹣bc，∴，∵A∈（0，π），∴．（II）由（I）可知，b2+c2﹣bc＝1，则1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤1，当且仅当b＝c＝1时，等号成立，故＝．19．（2022秋•浙江月考）已知△ABC的内的A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．若a＝5，c＝3，O为△ABC的_____，求△OAC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1），（2）若选①，；若选②，；若选③，．【解答】解：（1）∵，∴，则，即，∵sinA≠0，∴，即有，∵，∴．（2）若选①O为△ABC的重心，连接BO并延长AC边于点D，因为O为△ABC的重心，所以，D为AC的中点，且OD＝BD，所以点O到AC的距离等于点B到AC的距离的，所以，S△OAC＝S△ABC＝acsinB＝；若选②O为△ABC的内心，设内切圆半径为r，则有，则有，此时S△OAC＝＝；若选③O为△ABC的外心，∵b2＝a2+c2﹣2accosB＝49，∴b＝7，设外接圆半径为R，则，解得，如图，，此时，．20．（2022•嵊州市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若D是AB边上一点，且AD＝2DB，若CD＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（I）；（II）．【解答】解：（I）因为，所以，又因为sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以，而B∈（0，π）sinB≠0，所以，即，又因为0＜C＜π，所以，故，解得；（II）延长CD至E，使得，因为AD＝2DB，所以AE|CB，且AE＝2CB＝2a，，由于CE2＝AC2+AE2﹣2AC⋅AE⋅cos∠CAE，所以b2+4a2+2ab＝36，因为b2+4a2≥4ab，所以6ab≤b2+4a2+2ab＝36，解得ab≤6，当且仅当时，取“＝”，所以△ABC的面积为，当且仅当b＝2a时，△ABC的面积有最大值为．21．（2019秋•武昌区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，且sinA＝，角C为锐角．（1）求角C的大小；（2）若c＝，且△ABC的面积为，求a2+b2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由，由正弦定理可得：＝，化为sinBcosA﹣2cosCsinB＝2sinCcosB﹣sinAcosB．∴sinC＝sin（A+B）＝2sin（B+C）＝2sinA＝．∵角C为锐角．∴．（2）∵△ABC的面积为，∴，∴ab＝6．∵c＝，∴7＝c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣6，∴a2+b2＝13．22．（2022秋•常德月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ab+a2＝c2．（1）求证：C＝2A；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得到：ab+a2＝c2＝a2+b2﹣2abcosC，又b＞0，所以a＝b﹣2acosC．由正弦定理得到sinA＝sinB﹣2sinAcosC，又B＝π﹣（A+C），则sinB＝sinAcosC+cosAsinC，故sinA＝sin（A+C）﹣2sinAcosC＝sinAcosC+cosAsinC﹣2sinAcosC＝cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A），因为A，C∈（0，π），则C﹣A∈（﹣π，π），所以C﹣A＝A或C﹣A＝π﹣A（舍去），所以C＝2A；（2）由（1）C＝2A得A+C＝3A∈（0，π），所以，，由（1）b＝a（1+2cosC），C＝2A，得＝，令cosA＝t，，设，则，当时，g'（t）＜0，g（t）单调递减，当时，g'（t）＞0，g（t）单调递增，则，当时，g（t）＝8，当t＝1时，g（t）＝7，所以取值范围是．23．（2022秋•湖北月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B﹣cosA＝cos（A+2B）．（1）若A＝，求C；（2）若b2≠a2+c2，求的最小值．【答案】（1）或．（2）．【解答】解：（1）因为A＝，sin2B﹣cosA＝cos（A+2B），所以，整理得，可得，因为，所以或，解得或，可得或．（2）由sin2B﹣cosA＝cos（A+2B），得sin2B+cos（B+C）＝cos（π﹣C+B）＝﹣cos（B﹣C），可得sin2B+cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣cosBcosC﹣sinBsinC，则2sinBcosB＝﹣2cosBcosC，又因为b2≠a2+c2，所以，则sinB＝﹣cosC＞0，因此，且sinC＝cosB，可得sinA＝sin（B+C）＝﹣sin2B+cos2B＝cos2B，可得＝，当且仅当时，有最小值．24．（2022秋•崂山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CD＝6，BC＝2，cos∠CBD＝﹣．（1）求∠BDC；（2）若∠A＝，S△ABD＝16，求△ABD的周长．【答案】（1）．（2）24．【解答】解：（1）cos∠CBD＝﹣，则sin∠CBD＝＝，∵，∴＝，∵∠CBD为钝角，∴∠BDC为锐角，∴．（2）由余弦定理可知，CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos∠CBD，则，化简整理可得，BD2+2BD﹣80＝0，解得BD＝8，∵∠A＝，S△ABD＝16，∴，解得AB•AD＝64，∵＝，化简整理可得，AB2+AD2＝128，∴（AB+AD）2＝AB2+AD2+2AB•AD＝256，即AB+AD＝16，∴△ABD的周长AB+AD+BD＝8+16＝24．25．（2022秋•岳阳月考）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝b﹣a．（1）求C；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积S的取值范围．【答案】（1）C＝．（2）（2，8）．【解答】解：（1）由＝b﹣a．结合正弦定理得﹣＝b﹣a，得b2﹣c2＝ab﹣a2，整理得b2+a2﹣c2＝ab，所以cosC＝＝，又C∈（0，π），可得C＝．（2）因为＝＝，由（1）知，S△ABC＝×absinC＝×4b×＝b，由正弦定理可得b＝＝＝＝+2，由△ABC为锐角三角形可知，得＜A＜，故tanA＞，可得2＜b＜8，故△ABC面积的取值范围为（2，8）．26．（2022秋•栖霞市校级月考）在锐角△ABC三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若a＝2，b＝3，求sinC；（2）若A为△ABC的最大内角，求sinA+sinC的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，∴，∵，∴，；（2）∵，∴，∴令，∵，∴，∴，∴，∴．27．（2022秋•璧山区校级月考）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＝cosC（sinB+cosB）．（1）求C的值；（2）若c＝，求△ABC面积S的最大值．【答案】（1）C＝；（2）（，]．【解答】解：（1）由sinA＝cosC（sinB+cosB），得sin（B+C）＝cosCsinB+cosCcosB），即sinCcosB＝cosBcosC，因为△ABC为锐角三角形，cosB≠0，所以tanC＝，∵0＜C＜π，C＝；（2）由c＝，C＝得＝＝＝2，得a＝2sinA，b＝2sinB，所以△ABC面积S＝absinC＝sinAsinB＝+sin（2A﹣），因为△ABC为锐角三角形且C＝，所以＜A＜，所以2A﹣∈（，），sin（2A﹣）∈（，1]，所以S∈（，]，∴△ABC面积S的取值范围为（，]．28．（2022秋•广州月考）在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角B；（2）已知点D在AC边上，且AD＝2DC，BC＝6，，求△ABC的面积．【答案】（1），（2）9．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理得sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC＝0，∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，∴sinBsinC＝sinC+cosBsinC，∵sinC≠0，∴sinB＝1+cosB，∴2sin（B﹣）＝1，∴0＜B＜π，B＝，（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边AC上，且AD＝2DC，∴AD＝b，CD＝b，∵∠ADB+∠CDB＝π，所以cos∠ADB+cos∠CDB＝0，在△ABD中，AD＝b，BD＝2，cos∠ADB＝＝，在△BDC中，CD＝b，BD＝2，cos∠CDB＝＝＝，所以+＝0，∴2b2﹣3c2+36＝0，又∵b2＝36+c2﹣6c，∴c2+12c﹣108＝0，解得c＝6或c＝﹣18（舍去），∴S△ABC＝×6×6×＝9，∴△ABC面积为9．29．（2022秋•沙坪坝区校级月考）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA，b＝2．（1）求角B的大小；（2）求2a﹣c的取值范围．【答案】（1），（2）（0，6）．【解答】解：（1）∵A+C＝π﹣B，asin＝bsinA，∴asin＝bsinA，∴acos＝bsinA，∴sinAcos＝sinBsinA，∴cos＝sinB＝2sincos，∴sin＝，∴B＝，（2）由正弦定理得＝＝＝＝4，∴2a﹣c＝8sinA﹣4sinC＝8sinA﹣4in（﹣A）＝8sinA﹣4（cosA+sinA）＝6sinA﹣2cosA＝4（sinA﹣cosA）＝4sin（A﹣），当且仅当＜A＜，sin（A﹣）∈（0，），∴2a﹣c∈（0，6）．30．（2022秋•普宁市校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面积．【答案】（1）或．（2）．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴或．（2）∵△ABC为锐角三角形，∴．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得27＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝3，∴a＝6．∴．31．（2022秋•襄州区月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+2c2＝2b2．（1）证明：sinBcosC＝3sinCcosB；（2）求B﹣C最大值．【答案】（1）见证明过程．（2）．【解答】解：（1）证明：因为在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以a2+2c2＝2（a2+c2﹣2accosB），所以a＝4ccosB，所以sinA＝4sinCcosB，所以sin（B+C）＝4sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB＝4sinCcosB，所以sinBcosC＝3sinCcosB；（2）由（1）可知sinBcosC＝3sinCcosB，则tanB＝3tanC，故可得tanC＞0，tanB＞0，所以tan（B﹣C）＝＝＝，当且仅当，即时取等号，所以，即B﹣C的最大值为．32．（2022•淮北一模）在△ABC中，已知sinAsinB+cos2A＝sin2B+cos2C，D是AB的中点．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB＝2，CD＝，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）因为sinAsinB+cos2A＝sin2B+cos2C，所以sinAsinB+1﹣sin2A＝sin2B+1﹣sin2C，可得sinAsinB＝sin2B+sin2A﹣sin2C，由正弦定理可得ab＝b2+a2﹣c2，由余弦定理可得cosC＝＝＝，又C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）因为c＝AB＝2，CD＝，C＝，因为AB2＝a2+b2﹣2abcosC，所以12＝（a+b）2﹣3ab，①又＝（+），两边平方，可得||2＝（||2+||2+2），所以28＝a2+b2+2abcosC＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab，②由②﹣①可得ab＝8，所以S△ABC＝absinC＝2．33．（2022•蒸湘区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC上一点．（1）若BD为∠ABC的角平分线，求CD的长；（2）若，求sin∠DBC的值．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵DH⊥AB，∴AH＝DH，设AH＝x，则DH＝x，∴，∵BD为∠ABC的角平分线，∴CD＝DH＝x，∴AD+CD＝+x＝4，解得，∴．（2）同（1）过点D作DH⊥AB于点H，由（1）可知AH＝DH，设AH＝a，则DH＝a，∵，∴BH＝5a，∴AB＝AH+BH＝6a，由勾股定理可知，AB＝，∴a＝，即AH＝DH＝，∴AD＝＝，∴CD＝ACAD＝，∵BD2＝BC2+CD2，∴BD＝，∴sin∠DBC＝＝．34．（2022春•大祥区校级期末）△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a＝ccosB+bsinC．（1）求C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形且c＝，求a2+b2的取值范围．【答案】（1）．（2）（5，6]．【解答】解：（1）由正弦定理及a＝ccosB+bsinC，得sinA＝sinCcosB+sinBsinC，因为sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以sinBcosC＝sinBsinC，又sinB≠0，所以tanC＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（2）∵A与B为锐角，且A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，∴＜A＜，＜2A﹣＜，∵c＝，sinC＝，∴由正弦定理＝＝2，得：a＝2sinA，b＝2sinB，∴a2+b2＝4（sin2A+sin2B）＝4[sin2A+sin2（﹣A）]＝4+sin2A﹣cos2A＝4+2sin（2A﹣），∵＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，即5＜4+2sin（2A﹣）≤6，则a2+b2的范围为（5，6]．35．（2022春•沈阳月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A角的值；（2）若△ABC为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由于，整理得，故，由于0＜A＜π；所以A＝；（2）△ABC为锐角三角形，故；利用正弦定理＝＝；所以；即．36．（2022春•鄂州期末）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosA+2acosC＝b+2asinB．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，求a的最小值．【答案】（1）或．（2）．【解答】解：（1）∵2ccosA+2acosC＝b+2asinB，∴由正弦定理得2（sinCcosA+cosCsinA）＝sinB+2sinAsinB，∴2sin（C+A）＝sinB+2sinAsinB，∵A+B+C＝π，∴sin（C+A）＝sinB，∴sinB＝2sinAsinB．在△ABC中，sinB≠0，∴，又∵0＜A＜π，∴或．（2）∵△ABC的面积为，∴，∴bc＝2，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣4cosA≥2bc﹣4cosA＝4﹣4cosA（当且仅当b＝c时取等号），①若，则（当且仅当时取等号），②若，则（当且仅当时取等号），综上所述，a的最小值为．37．（2022春•铁西区校级期末）请在①（bsinC+csinB）＝4asinCsinB，②bsinA﹣acosAcosC＝ccos2A，③sinC+cosC＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并求解该问题．已知锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，c＝4，且______．（1）求角A的大小；（2）求边b的取值范围．【答案】（1）选条件①②③时，；（2）b∈（2，8）．【解答】解：若选条件①：（1）由正弦定理得，，即，故，因为A为锐角，所以；若选条件②：（1）由正弦定理得，，即，因为，所以sinB＞0，则，因为A为锐角，所以；若选条件③：（1）由题知，，，即，因为，所以sinC＞0，则，即，，则，所以；（2）由（1）知，，即，在锐角△ABC中，，由正弦定理得：，由，得b∈（2，8）．38．（2022•鞍山开学）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc＝a2﹣c2．（1）若，且，求△ABC的面积；（2）求cosA+sinC的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵，∴，∴b2+c2﹣a2＝bc，又bc＝a2﹣c2，且，∴，，两式相加得b＝，又，，∴△ABC的面积为＝＝；（2）∵bc＝a2﹣c2，∴cosA＝，由正弦定理可得：cosA＝，∴2cosAsinC＝sinB﹣sinC，又sinB＝sin（A+C），∴2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC﹣sinC，∴cosAsinC＝sinAcosC﹣sinC，∴sinC＝sin（A﹣C），又A，C∈（0，π），∴C＝A﹣C，∴A＝2C，∴cosA+sinC＝cos2C+sinC＝1﹣2sin2C+sinC＝≤，当且仅当时，取得等号，∴cosA+sinC的最大值为．39．（2022春•公安县校级月考）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C的大小；（2）若边长，求△ABC的周长取值范围．【答案】（1）．（2（3+，3]．【解答】解：（1）因为，由正弦定理得：（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，整理得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得：cosC＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（2）因为c＝，C＝，所以由正弦定理得a+b+c＝2sinA+2sinB+＝2（sinA+sinB）+＝2[sinA+sin（﹣A）]+2＝2sin（A+）+，因为＜A＜，所以＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，3＜2sin（A+）≤2，即3+＜a+b+c≤3，所以△ABC周长的取值范围是（4，6]．故△ABC的周长取值范围（3+，3]．40．（2022春•开福区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，且．（1）求角C的大小；（2）若b＝3，点D为AB边的中点，CD＝，求sinA的值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵在△ABC中cos2A﹣cos2B＝sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣＝sin2A﹣sin2B，∴sin2A﹣cos2A＝sin2B﹣cos2B，∴sin（2A﹣）＝sin（2B﹣），由a≠b得A≠B，又A+B∈（0，π），∴2A﹣+2B﹣＝π，即A+B＝，∴C＝π﹣（A+B）＝；（2）b＝3，点D为AB边的中点，CD＝，∴＝（+），所以2＝（2+2•+2），∴＝（9+3a+a2），解得a＝1，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴c2＝a2+9﹣3a，∴c＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝．41．（2022春•苏州期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角C；（2）CD是∠ACB的角平分线，若的面积为，求c的值．【答案】（1）；（2）2．【解答】解：（1）由正弦定理及，知+＝1，化简得，a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理知，cosC＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（2）因为△ABC的面积S＝absinC＝ab×＝2，所以ab＝8，由角分线定理知，，因为A，D，B三点共线，所以＝+，所以2＝（）2+（）2+2••，即＝++2••ab•，化简得，＝＝，解得a+b＝6，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣2×8＝20，由（1）知，c2＝a2+b2﹣ab＝20﹣8＝12，所以c＝2．42．（2022春•襄阳月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣c2＝2b（bcosB+acosC）．（1）求角B；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵a2﹣c2＝2b（bcosB+acosC），∴a2﹣c2＝2b2cosB+2abcosC，由余弦定理可知，a2﹣c2＝2b2cosB+a2+b2﹣c2，∴2b2cosB＝﹣b2，∴，又0＜B＜π，∴；（2）由得，∴，由正弦定理可知，，又，∴a+c＝4，则a2+c2+2ac＝16…………①由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，∴12＝a2+c2+ac…………②，∴由①②可得ac＝4，∴．43．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）B＝．（2）4﹣5．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．44．（2022春•岳麓区校级月考）在△ABC中，已知sin2A﹣sin2B＝sinC（sinB+sinC）．（1）求角A的值；（2）设∠BAC的平分线交BC边于D，若AD＝1，BC＝，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由sin2A﹣sin2B＝sinC（sinB+sinC，结合正弦定理可得，a2﹣b2＝bc+c2，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝；（2）由正弦定理可得S△ABC＝bcsinA＝，又S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝•1•c•sin+•1•b•sin＝（b+c）＝bc，即bc＝b+c，由余弦定理可得＝＝，解得bc＝9（负值舍去），∴S△ABC＝．45．（2022春•宜昌期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且且b＝5．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）[2，）．【解答】解：（1）因为bcosC+c＝a．由正弦定理得sinBcosC+sinC＝sinA，所以sinBcosC+sinC＝sin（B+C）＝（sinBcosC+cosBsinC），即sinC（cosB﹣1）＝0．因为sinC≠0，所以cosB＝，又B∈（0，π）．所以B＝；（2）由正弦定理可得2R＝5；＝＝＝+2cosB＝+＝+＝+，∵＜A＜，∵＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，∴+∈[2，