江苏高考数学历年真题及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（5分xl2=60分）

1.设集合尸={1,2,3,4},e={x||x|<2,xe/?),那么PDQ等于)

A.{1,2}B.{3,4}

C.{1}D.{-2,-1,0,1,2}

2.函数y=2cos2x+l(xeR)的最小正周期为)

TT

A.—B.7iC,2兀D.4兀

2

3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女

生，那么不同的选法共有（）

A.140种B.120种C.35种D.34种

4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,那么该球的体积

是

1007T3208兀

A.---cm'B.3

3

500K3416\Z3TI

C.---cmD.cm3

33

x

5.假设双曲线二=1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,那么双曲线的离心率

8一瓦

为（）

A.41B.2拒C.4D.4亚

6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外

阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天

平均每人的课外阅读时间为（）

7.（2x+«）4的展开式中丁的系数是（）

A.6B.12C.24D.48

8.假设函数y=log〃(x+公(。＞0,。/1)的图象过两点(—1,0)和(0,1),那么()

A.a=2,b=2B.a=\fl,b=2C.a=2,h=\D.a=\[2,b=&

9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)

先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是()

525c3191

216216216216

10.函数=一3X+1在闭区间⑶0]上的最大值、最小值分别是()

A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19

11.设左＞1,/(x)=Z:(x—l)(xeR).在平面直角坐标系xOy中，函数y=/(x)的图象

与x轴交于A点，它的反函数y=/T(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的

图象交于P点.四边形OAPB的面积是3,那么左等于

)

346

A.3B.C.D.-

235

12.设函数/(x)=--J(xwR),区间M=[a,b](a＜b),集合N={=M},

1+国

那么使M=N成立的实数对(a,勿有()

A.0个B.1个C.2个D.无数多个

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题(4分x4=16分)

13.二次函数丁=依2+法+，(》6尺)的局部对应值如下表：

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

那么不等式"2+bx+C〉0的解集是.

14.以点(1,2)为圆心，与直线4x+3y—35=0相切的圆的方程是.

15.设数列仅“}的前〃项和为S“，S"=幺勺相工(对于所有〃ND，且4=54,那么修的

数值是________________________

16.平面向量a,b中，a=(4,-3),\b\=],且a•5=5,那么向量方=.

三、解答题(12分X5+14分=74分)

17.0<a<-^,tan§+cot5=g，求sin(cz—5)的值.

18.在棱长为4的正方体ABCD-A山CiOi中，。是正方形A/iGOi的中心，点尸在棱CG

上，且CG=4CP.

(I)求直线4P与平面8CGS所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);

(II)设。点在平面01Ap上的射影是，，求证:DtHl.AP；

(HI)求点尸到平面A3。的距离.

19.制定投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个工程.根据预测，甲、乙工程可能的最大盈利率分别为100

%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人方案投资金额不超过10万元，要

求确保可能的资金亏损不超过万元.问投资人对甲、乙两个工程各投资多少万元，才能使可

能的盈利最大？

20.设无穷等差数列｛。“｝的前〃项和为S“.

3

(I)假设首项公差d=l,求满足=(S«)2的正整数枳

(H)求所有的无穷等差数列｛a,J,使得对于一切正整数人都有5户=(S«)2成立.

21.椭圆的中心在原点，离心率为；，一个焦点是尸(-/n,0)(m是大于。的常数).

(I)求椭圆的方程；

(H)设Q是椭圆上的一点，且过点F、。的直线/与y轴交于点M.假设|而回=2|所卜求

直线/的斜率.

22.函数/(x)(xeR)满足以下条件：对任意的实数汨，检都有

2

A(x,-x2)<(%,-%2)[/(^,)-/(%2)]

和|/&)一/(/)区后一引，其中％是大于。的常数.

设实数出，”，匕满足/(。0)=0和匕=。一丸/3)

(1)证明4《1,并且不存在%w4,使得/(%)=0；

(II)证明S-a。)？4(1一万)(。一a。)？：

(Ill)证明"S)]2«(1一1)"(助2.

参考答案

一、选择题：此题考查根本知识和根本运算，每题5分，总分值60分.

1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.C8.A9.D10.C

11.B12.A

二、填空题：此题考查根本知识和根本运算，每题4分，总分值16分.

13.(-00,-2)U(3,+oo)14.(x-l)2+(y-2>=25

15.216.

三、解答题

17.本小题主要考查三角函数的根本公式和三角函数的恒等变换等根本知识，以及推理能力

和运算能力.总分值12分.

解：由tan±a+cota±=^2^=5?,得sina=4工.

22sina25

vO<rz<—,/.cosa=71-sin2a--.

25

从而sin(a——)=sinacos---cosa-sin—

333

18.本小题主要考查线面关系和正方体性质等根本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

总分值12分.

解法一：(/)连结BP.

平面BCCB，：.AP与平面BCGBi所成的角就是NAPB,

VCCI=4CP,CCI=4,CP=1.

在•△P8C中，/PCB为直角，BC=4,CP=\,故8P=JF7.

在中，/ABP为直角，tanZAPB=—=,

BP17

4V17

ZAPB=arctan-----

17

19.本小题主要考查简单线性规划的根本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.总

分值12分.

解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个工程.

x+y<10,

0.3x+O.ly<1.8,

由题意知4

x>0,

y>Q.

目标函数2=刈.

上述不等式组表示的平面区域如下图，阴影局部(含边界)即可行域.

作直线4:x+0.5y=0,并作平行于直线L的一组直线x+0.5y=z,zeR,

与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且

与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10

和0.3犬+0.1丁=1.8的交点.

x+y=10,

解方程组<得;c=4,y=6

0.3x+O.ly=1.8,

此时z=lx4+0.5x6=7(万元).

,/7>0.,.当x=4,产6时z取得最大值.

答：投资人用4万元投资甲工程、6万元投资乙工程，才能在确保亏损不超过万元的前

提下，使可能的盈利最大.

20.本小题主要考查数列的根本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.总分值12

分.

解：⑴当6=|,4=1时,

n(n-1),3n(n-1)

na,+------d=-n+--=----n-2+n

'2222

由“=(S«)2,得:/+女尸，

即k\-k-1)=O又k丰。,所以2=4.

4

(II)设数列仅“｝的公差为4,那么在5尸=(S“)2中分别取Q1,2,得

5=6)24=4，⑴

\,即《4x32x1

2

S4=(52)4q+^^d=(2q+£d)2⑵

由⑴得4=0或%=1.

当4=0时，代入(2)得d=0或d=6,

假设4=0,d=0,那么a“=0,S“=0,从而&=(1)?成立

假设q=0,d=6,那么4=6(〃-1),由S3=18,8)2=324,5“=216知

S9H(S3)?，故所得数列不符合题意.

当q=l时，代入(2)得4+6d=(2+d)2,解得d=0或。=2

假设q=1/=0,那么%=1,S“=〃,从而％=(SJ2成立;

假设q=1,4=2,那么。“=2〃-1,5“=1+3+―+(2/1-1)=〃2,从而S=(S.)2成

立.

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{%}:%=0,即0,0,0,...；

②3}：斯=1,即1,1,1,...；

@{a„}:a„=2n—l,即1,3,5,...»

21.本小题主要考查直线、椭圆和向量等根本知识，以及推理能力和运算能力.总分值12分.

22

解：(D设所求椭圆方程是1+与=13＞方＞0).

ab

由，得c=m,—,所以。=2Z?=

a2

22

故所求的椭圆方程是J+上方=1

4m~3m

(II)设Q(%,%),直线/:y=々(％+加)，那么点M(0,Am)

当加=2"时，由于尸(—北0),M(0,切z),由定比分点坐标公式，得

0-2m2mkm+01.

x=------=------=---------------=-km.

oQ1+23°1+23

4/n2k2m2

中j2mkm、+mEi.Qo1

又点Q(------,—)在椭圆上，所以Is一一+—^=1.

333m~

解得左=±2遥,.

当丽=—2丽时，&=°+(［；(一冲=一2g坨=墨=——

42f22

于是丝1+1=1,解得女=0.故直线/的斜率是0,±2A/6.

4m3m

22.本小题主要考查函数、不等式等根本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.总

分值14分.

证明：⑴任取X1,%2U/?,王/工2，那么由“再一82)24(X1-工2)"区)-/(>2)]

和1/(为)一/。2)国马一/1②

22

可知:(再-x2)<(Xj-x2)[/(%!)-f(x2)]<JXj-x2ll/UJ-f(x2)|<|X,-x2\,

从而2<1.假设有使得/(d)=o,那么由①式知

0<4(%—%)2W(%-%)"(%)-/(%)]=0矛盾.

不存在为力。0,使得/So)=0.

(II)由6=a-/(a)③

2222

可知(b-a0)=[a-a0-^f(a)]=(a-a0)-2A(a-a0)f(a)+^[f(a)]④

由f(%)=。和①式,得(。一旬)/(。)=(。一。0)"(。)一/(。0)124(。一。0)2⑤

由/(4)=0和②式知，"(.)『="⑷一/(4)]243_劭)2@

由⑤、⑥代入④式，得3—a。)〜V(a—。())〜—2元(a—a。)〜+矛(a—a。)-

22

=(l-2)(«-a0)

(in)由③式可知"3)r="(加一/(。)+/(明2

="S)-〃砌2+2/⑷"(力-/(a)]+[/(G)]2

b—Z7

WS-4)2-2・="S)-/(«)]+[/(a)]2(用②式)

2

=■"("一彳(。-a)[f(b)-/(«)]+[/(a)]2

/L

2

<22[/(a)2——2-(fe-a)2+[/(«)]2(用①式)

A

=九2"3)]2—2》"(a)]2+"3)]2

=(1一十)"(。)]2

2005年高考数学*江苏卷试题及答案

一选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为

哪一项符合题意要求的.

A={1,2},B={1,2,3}.C={2,3,4},那么(AnB)UC=()

A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

y=2i+3(xeR)的反函数的解析表达式为()

[21x-313-x.2

A.y=log2--B.y=log——C.y=log——D.^=log--

x-322223-x2

{a“}中，首项6=3,前三项和为21,那么为+出+生=()

A.33B.72C.84D.189

ABC-A冉G中，假设AB=2,=1那么点A到平面ABC的距离为()

不

A.—V3B.V——3C.3——73D.,3

424

TT

5.AA8C中，A=J,BC=3,那么A43c的周长为()

3

A.4岛皿(8+?)+3B.4瓜in(B+2)+3

C.6sin(/?+—j+3D.6sinf/?+—j+3

y=4/上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是()

17157

A.—B.—C.-D.0

16168

7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()

A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.016

%用为两两不重合的平面，/,加，〃为两两不重合的直线，给出以下四个命题：①假

设。,/3工y,那么二||(3；②假设mua,〃ua,尸，n\\/3,那么a||(3；

③假设all/7,/ua,那么/||/；④假设aD/?=/，尸口/=〃?，y^a^n,l\\y,

那么加其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

k=123,4,5，那么(x+2尸的展开式中，的系数不可能是)

P(-3,1)在椭圆［+==1(。＞人＞0)的左准线上，过点P且方向为Z=(2,-5)的光

a'b~

线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为()

12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在

同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打

算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为

()

A.96B.48C.24D.0

二.填写题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案填在答题卡相应位置.

“假设那么2"＞2〃-1"的否命题为.

y=丁+1在点(1,3)处的切线方程是.

y=Jlog05(4x2-3x)的定义域为__________.

3"=0.618,a€卜,左+1),(keZ),那么Z

。功为常数，假设/(乃=/+4》+3,f{ax+Z?)=x24-10^+24,那么

5a-b=.

AABC中，O为中线AM上一个动点，假设AM=2,那么豆•(而+灰)的最小值是

三.解答题：本大题共5小题，共66分~

19.(本小题总分值12分)如图，圆。|与圆仪的

半径都是1,。|。2=4,过动点P分别作圆。「圆Q的切线PM、PN（M.N分别为切点）,

使得PM=试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

20.（本小题总分值12分，每小问总分值4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率

分别是一2和士3.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目

34

标，相互之间也没有影响.

⑴求甲射击4次，至少1次本市中目标的概率；

⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

⑶假设某人连续2次本市中目标，那么停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击

的概率是多少？

21.（本小题总分值14分，第一小问总分值6分，第二.第三小问总分值各4分）

如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA_L底面ABCDE,SA=AB=AE=2,BC=DE=6

ZBAE=NBCD=ZCDE=120P.

⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

（2）证明：BC±¥®1SAB；

⑶用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小.（本小问

不必写出解答过程〕

22.（本小题总分值14分，第一小问总分值4分，第二小问总分值10分）aeR,函

数/（X）=/|x一。|.

⑴当。=2时，求使/(x)=x成立的x的集合;

⑵求函数y=/(x)在区间［1,2］上的最小值.

23.(本小题总分值14分，第一小问总分值2分，第二.第三小问总分值各6分)

设数列｛%｝的前〃项和为S“，a1=1,生=6,%=11，且

(5〃-8)5„+|-(5〃+2)S„-An+B,n-1,2,3,….

⑴求A与B的值：

⑵证明：数列｛。“｝为等差数列：

⑶证明：不等式庖1—瓦£>1对任何正整数机,〃都成立.

2005年高考数学*江苏卷试题及答案

参考答案

(1)D(2)A(3)C(4)B(5)D(6)B(7)D(8)B(9)C(10)A(11)A(12)B

(13)假设那么2〃>2)-1(14)4x-y-1=0

13

(15)[---,0)U(—J][16)-1(17)2(18)-2

44

(19)以Q的中点O为原点，。1。2所在的直线为x轴

建立平面直角坐标系，那么01[-2,0),02(2,0),

由PM=V2PN,得PM?=2PN2.

/\I

因为两圆的半径均为1,所以*o1o

22

PO|-1=2(P(92-1).

设P(x,y),那么(x+2>+V_1=2Kx—2尸+/-1],

即(x-6)2+V=33,

所以所求轨迹方程为(x—6>+/=33.[或/+/一12%+3=0).

(20)(I)记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标“为事件A”由题意，射击4次,

-265

相当于4次独立重复试验，故P(AJ=1-P(&)=1-(-)4=—.

381

答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为"；

(II)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2,“乙射击4次，恰好击中目标3

次”为事件B?,那么

尸(4)=第(|>(1一步吟,P(B2)=一令(1,2)4-.=|Z,

由于甲、乙设计相互独立，故

答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为工;

(III)记“乙恰好射击5次后，被中止射击"为事件A3,“乙第i次射击为击中"为

事件D”(i=l,2,3,4,5),那么A3=DsD4仄(瓦万)，且P(DJ=；,由于各事件相互

独立，

---------1131145

故P(A3)=P(Ds)P(D)P(DJD.D,))=—X—X—X(1—X-)=----

43'2"444441024

答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是「4匕5

1024

(21)1I)连结BE,延长BC、ED交于点F,那么NDCF=NCDF=60°,

ACDF为正三角形，，CF=DF.

又BC=DE,；.BF=EF.因此，ABFE为正三角形，

AZFBE=ZFCD=60",ABE//CD

所以/SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角.

SA_L底面ABCDE,SA=AB=AE=2,

.,.SB=2V2,同理SE=2后，

又/BAE=120°,所以从而，cosNSBE=，§,

4

V6

/.ZSBE=arccos-----・

4

所以异面直线CD与SB所成的角是arccos—.

4

(II)由题意，AABE为等腰三角形，ZBAE=120°,

.♦.NABE=30°,又/FBE=60°,

AZABC=90°,ABC±BA

底面ABCDE,BCu底面ABCDE,

ASAXBC,又SAnBA=A,

；.BC_L平面SAB.

7^/82

(III)二面角B-SC-D的大小万一arccos

82

(22)(I)由题意，f(x)=x2\x-2\

当x<2时，由/(无)=x“2-x)=x,解得x=0或x=l；

当xN2时，由/(x)=x2(x—2)=x,解得*=1+直.

综上，所求解集为｛(),1,1+痣｝

(II)设此最小值为m.

①当“W1时，在区间[1,2]±,f(x)=x3-ax2,

,,2

因为/'(x)=3x2-2ax=3x(x-§a)>0,xG(1,2),

那么/(x)是区间［1,2］上的增函数，所以机=/(l)=l—a.

②当1<。<2时，在区间［1,2］上，f(x)=x2|x-a|>0,由/(a)=0知

m=f(a)=0.

③当a>2时，在区间［1,2］上，/(x)=ax2-x3

f'(x)-lax—3x2=3x(1a—x)

假设a23,在区间(1,2)上，/'(x)>0,那么f(x)是区间［1,2］上的增函数,

所以/〃=/(I)=«-1.

2

假设2<a<3,那么l<±a<2

3

22

当l<x<(a时，/'(x)>0,那么/(x)是区间［1,铲］上的增函数,

22

当3a(尤<2时，/'(x)<0,那么/(x)是区间,2］上的减函数,

因此当2<a<3时，=或根=/(2)=4(。-2).

7

当2<a4§时，4(«-2)<a-l,故m=/(2)=4(。—2),

7

当q<a<3时，4(a—2)<a—1,故加=/⑴-a—1.

1—CLa<\

0l<a<2

7

总上所述，所求函数的最小值小=,4(a—2)2<a<—•

3

7

a-\a>—

3

(23)(I］由，得5］=%=1,$2=a1+a2=7，S3=%+2+。3=18

由(5n-8)S“+］—(5〃+2)5“=An+B,知

-3S-7S,=A+BA+B=-2S

2即4

2S3-12S2=2A+32A+B-48

解得A=—20,8=—8.

(ID由(I)得(5〃-8)Se—(5〃+2)S“=一20〃-8①

所以(5〃一3)S,,+2-(5〃+7)S„+1=-20n-28②

②-①得(5〃-3电+2-(1。〃-1电+1+(5〃+2电=-20③

所以(5〃+2)S„+3-(10n+9)S,,+2+(5〃+7)S,I+I=-20④

④-③得(5n+2电+3-(15〃+6电+2+(15〃+6电T-(5〃+2电=0.

因为an+l=Sn+l-Sn

所以(5〃+2)。“+3-(10〃+4)«„+2+(5n+7)a„+1=0

因为(5H+2)^0

所以许+3一2a,-2+a,,+i=0

所以氏+3一%+2=%+2-6山，”21

又a3-a2=a2-ax=5

所以数列｛%｝为等差数列.

(III)由(II)可知，凡=1+5(〃-1)=5〃-4,

要证庖「一瓦77〉】

只要证5amn>1+aman+2也/“，

因为生〃“=5加八一4,

ciman=(5加一4)(5〃-4)=25mn-20(m+〃)+16,

故只要证5(5mn—4)>1+25mn—20(m+〃)+16+2Ja〃"〃,

即只要证20m+20〃-37>2，q〃a〃,

因为21aMi<am+。“=5瓶+5〃一8<5m+5/z-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37

所以命题得证.

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学

参考公式:

一组数据的方差S2='[(项-42+5一分2+…+每一分2]其中7为这组数据的平

n

均数

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，惜有一暝

为哪一项符合题目要求的。

(1)awR,函数f(x)=sinx-|a|,xwR为奇函数，那么。=

(A)0⑻1(C)-1(D)±1

⑵圆。-1)2+(〉+6)2=1的切线方程中有一个是

(A)x—y=0(B)x+y=0(C)x=0(D)y=0

13)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,»10,11,9.这组数据的平

均数为10,方差为2,那么Ix—yI的值为

(A)1(B)2(C)3(D)4

(4)为了得到函数y=2sin(2+工),xwR的图像，只需把函数y=2sinx,xeR的图像上所有

36

的点

(A)向左平移工个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)

63

(B)向右平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的工倍(纵坐标不变)

63

(C)向左平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

6

(D)向右平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

6

(5)(五--1■严的展开式中含x的正整数指数幕的项数是

3%

(A)0(B)2(C)4(D)6

(6)两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点，满足|砺|”而|+而口而

=0,那么动点尸(%,y)的轨迹方程为

(A)y2=8x(B)y2=-8x(C)y2=4x(D)y2=-4x

(7)假设A、B、C为三个集合，Au8=8cC,那么一定有

(A)AcC(B)CcA(C)AwC(D)A=</>

(8)设a、b、c是互不相等的正数，那么以下等式中不怛或兵的是

(A)\a-b\^a-c\+\b-c\(B)a2+-^―>a+—

cra

(C)|ci-b|H--------22(D)Jq+3-Ja+14Ja+2-

a-b

(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方侏内，使正四棱锥

的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各

项点均在正方体的面上，那么这样的几何体体积

的可能值有

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)无穷多个

(10)右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信号源在同一个串联线路中时.，就能接收到

信号，否那么就不能接收到信号。假设将图中左端的信号源

六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线

点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两

个接线点用导线连接，那么这五个接收器能同时接收

到信号的概率是

二、填空题：本大题共6小题每题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接

填空在答题卡相应位置上。

(11)在AABC中，BC=12,A=60°,B=45°,那么AC=

2x-y<2

(12)设变量x、y满足约束条件x-y2-l,那么z=2尤+3y的最大值为

x+y>]

(13)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有—

种不同的方法〔用数字作答)。

(14)cot20°cos10。+石sin10°tan70°-2cos40°=

(15)对正整数〃，设曲线y=x"(l-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为明,那么数

歹Ij｛一2-｝的前“项和的公式是

n+1

(16)不等式log(x+-+6)<3的解集为

2X

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题总分值12分，第一小问总分值5分，第二小问总分值7分)

三点P[5,2)、K(-6,0)、F2(6,0).

(I)求以K、尸2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(II)设点P、耳、尸2关于直线y=X的对称点分别为P、£、尸2,求以F；、尸2为

焦点且过点尸的双曲线的标准方程。C

(18)(本小题总分值14分)

请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正

六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心。।的距离为多少时，帐篷的

体积最大？

(19)(本小题总分值14分，第一小问总分值4分，第二小问总分值5分，第三小问总分值

5分)

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB

=1:2(如图1)。将4AEF沿EF折起到的位置，使二面角A|一EF-B成直二

面角,连结AiB、AiP(如图2)

(I)求证：AiEJ_平面BEP；

(II)求直线AiE与平面AiBP所成角的大小;

(Ill)求二面角B-AiP-F的大小(用反三角函数表示)

(20)(本小题总分值16分，第一小问4分，第二小问总分值6分，第三小问总分值6分)

设a为实数，设函数/(x)=ayk-x2+Jl+x+y/l-x的最大值为g(a)»

(I)设t=Jl+x+Jl-x,求，的取值范围，并把人犬)表示为，的函数zn(f)

(II)求g(a)

(HI)试求满足g(a)=gd)的所有实数。

a

(21)(本小题总分值14分)

设数列仅“｝、也J、｛<?“｝满足:bn=a,,-an+2,c„=an+2a„+l+3an+2(“=1,2,3,…),

证明｛%｝为等差数列的充分必要条件是｛%｝为等差数列且勾<^,+1]〃=1,2,3,…)

数学试题参考答案

(1)A(2)C(3)D(4)C(5)B(6)B(7)A(8)C(9)D(10)

D

(11)4A/6(12)18(13)1260(14)2(15)2n+l(16)

(-3-2V2,-3+2V2)o{l}

22

(17)解：〔I〕所以所求椭圆的标准方程为±+t=L

459

(II)所以所求双曲线的标准方程为=1.

2016

(18)解：设OOi为xm,那么1cx<4

设题设可得正六棱锥底面边长为[单位：m)

732-(X-1)2=78+2X-X2

V(x)=乎(8+2x—x2)[|(x—1)+1]=曰(16+12x-x3).

求导数，得丫'(幻=苧(12-3/).令V'(x)=0,解得x=-2(不合题意，

舍去)，x=2

当1<%<2时,V'(x)>0,V(x)为增函数；当2<x<4时,V'(x)<0,V(x)为

减函数。

所以当后2时，V(x)最大。

(19)(II)在图2中，•••AiE不垂直于AiB,，AiE是平面AiBP的斜线。

又A|E_L平面BEP,，AiE_LBP,

从而BP垂直于A.E在平面AiBP内