江苏地区2021~2022学年高一上期中测试数学卷（解析版）

江苏地区2021〜2022学年高一上

期中测试数学卷

测试时间：120分钟满分：150分

一、单选题

1.若集合A={x|-lWxW2,xGN},集合B={2,3},则AUB等于（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}

【答案】B

【考点】并集及其运算

【解析】【解答】因为集合人=国-1夕02,x£N},集合B={2,3},即集合A={0,l,2},

所以AUB={0,1,2,3}.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而求出集合A,再利用并集的运算法则，从而求出集合A

和集合B的并集.

2.下列各等式中成立的是()

32

A.ct^=\a2(a>0)B.a'=3a2(a>0)

21

C.cJ=±^/a2(a>0)D.a2=-«a(a>0)

【答案】B

【考点】根式与分数指数'幕的互化及其化简运算

3221]

【解析】【解答】序=、导,/=（信，c^=\p,，只有B符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据分数指数嘉的定义判断，可得答案.

3.满足{1,2}c/ic{1,2,345}的集合A的个数为（）

A.8B.7C.4D.16

【答案】A

【考点】子集与真子集

【解析】【解答】因为集合A满足{1,2}U4U{1,2,3,4,5},

所以集合A中必有1,2,集合A还可以有元素3,4,5,

满足条件的集合A有：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},[1,2,3,4].{1,2,3,5],{1,2,4,5）

{1,2,3,4,5）共有8个，

故答案为：A.

【分析】由集合A满足{1,2}UAU{1,2,3,4,5},可得集合A同时含有元素1和2,且至少含有3、4

和5中的一个元素，利用列举法，即可得到结论.

4.设p：l<x<2,q：2x>l,则p是q成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【答案】

【解析】由题意得p：l<x<2,q：x>\,

所以pnq,q#p，

所以p是q成立的充分不必要条件.

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出p是q成立的充分不必要条件.

5.命题“全等三角形的面积都相等”的否定是（）

A.全等三角形的面积都不相等B.不全等三角形的面积都不相等

C.存在两个不全等三角形的面积相等D.存在两个全等三角形的面积不相等

【答案】D

【考点】命题的否定

【解析】【解答】因为命题“全等三角形的面积都相等”为全称命题，

所以否定为：存在两个全等三角形的面积不相等.

故答案为：D.

【分析】因为原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解.

6.己知p:4x-m<0,q:-2<x<2,若p是q的一个必要不充分条件，则m的取值范围为（）

A.m>8B.m>8C.m>-4D.m>-4

【答案】B

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】p的等价条件是%<^.

m

若p是q的一个必要不充分条件，只需满足”>2,解得：m>8.

故答案为：B.

【分析】解出p不等式，根据p是q的一个必要不充分条件，即可得出答案.

7.代数式IO】+妒+(lg2)2+lg2Xlg5+lg5的值是()

A.90B.91C.101D.109

【答案】B

【考点】对数的运算性质

【解析】【解答】原式=101+'§9+(lg2)2+lg2xlg5+lg5

=10x10电9+]g2(ig2+lg5)+lg5

=10x94-lg2xIglO+lg5

=904-lg24-lg5

=90+lgl0

=90+1

=91

故答案为：B.

【分析】应用对数公式和运算性质进行计算，可得答案.

8.已知一元二次方程x2+mx+1=0的两根都在(0,2)内，则实数m的取值范围是()

55

A.(-2»-2]U[2,+8)B.(-2,-2)U(2,+8)

55

C.(-2»-2]D.(-2,-2)

【答案】C

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，一元二次方程

【解析】【解答】设/(x)=x2+mx+l,则二次函数/(x)=x2+mx+l的两个零点都在区间(0,2)

内，

4=m2-4>0

m5

由题意{0<-7<2，解得-$<7nW-2.

/(O)=1>O

/(2)=2m4-5>0

5

因此，实数m的取值范围是(-亍-2].

故答案为：C.

【分析】由二次函数的图象和性质结合零点的定义即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可.

二、多选题

9.已知集合Z={1,2},B={x|mx=UnWR},若BUA,则实数血可能的取值为()

1

A.0B.1C.XD.2

【答案】A,B,C

【考点】集合关系中的参数取值问题

【解析】【解答】当m=O时，B=0U4成立；

当mH0时，则B==1,771WR}={1},

111

■■B&A,：•一=1或一=2,解得m=1或m=可.

mmL

综上所述，实数m可能的取值为0、1、1.

故答案为：ABC.

【分析】分m=0和mHO两种情况讨论，结合BU4可求得实数m的取值.

10.(2020高一上•淮安期中)对任意aCR,n^N*下列结论中不恒成立的是()

A.M=aB.(Va)n=aC.l«lD.(jrO3.14)°=0°

【答案】A,D

【考点】有理数指数基的运算性质

【解析】【解答】对于A选项，如J(-2)2=2A2,所以A选项不恒成立.

1n

1

对于B选项，(〈万广=(屋)=a=a,所以B选项恒成立.

n

对于C选项，1|a『=|a|n=|a|i=|a|,所以C选项恒成立.

对于D选项，0的0次方没有意义，所以D选项不恒成立.

故答案为：AD

【分析】根据指数基的运算性质逐项进行判断，可得答案.

11.卜面命题正确的是（）

A.“a>1”是“1”的充分不必要条件

B.命题“若无<1,则/<1，，的否定是“存在X<1,则X2>1".

C.设x,y&R，则“x>2且y22”是“x2+y2>4”的必要而不充分条件

D.设a,b£R，则“a力0”是“ab0”的必要不充分条件

【答案】A,B,D

【考点】命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】A:根据反比例函数的性质可知：由a>l,能推出《<1,但是由:<1,不能推出a>l,

例如当a<0时，符合：<1,但是不符合a>l,所以本选项是正确的；

B:根据命题的否定的定义可知：命题“若x<l,则/<i，，的否定是“存在,则，，.所以

本选项是正确的；

C:根据不等式的性质可知：由x>2且y>2能推出x2+y2>4，本选项是不正确的：

D:因为b可以等于零,所以由a4O不能推出ab^O，再判断由ab^O能不能推出，最后判断本

选项是否正确.

故答案为：ABD

11

【分析】A:先判断由a>l,能不能推出£<1,再判断由,能不能推出a>l,最后判断本选项是否正

确：

B:根据命题的否定的定义进行判断即可.

C:先判断由X22且y22能不能推出了+y224,然后再判断由x2+y2>4能不能推出x22且y

>2，最后判断本选项是否正确；

D:先判断由a二0能不能推出ab^O，再判断由ab^O能不能推出a#0，最后判断本选项是否正确.

12.若%>0,y>0且满足x+y=xy,则（）

A.x+y的最小值为4B.x+y的最小值为2

C.-----r+一~的最小值为2+4>向D.-----T+—彳的最小值为6+4^门

x-1y-1x-1y-1

【答案】A,D

【考点】基本不等式

【解析】【解答】因为x>0,y>0且满足x+y=xy,

11

所以；+三=1,

xy

11yxlyx

所以X+y=(x+y)(-+-)=2+-+->2+2j---=4,

y%

当且仅当^=-,即x=y=2时取等号，

所以x+y的最小值为4,

2%6xy-2(%+2y)

因为x-1+y-l_%y_(%+y)+l-4%+2y，

112y4%2y4%不

所以4久+2y=(4x+2y)q+］)=6+于+歹N2+2］于•3=6+4/

2V4x泛

当且仅当—=—,即x=^~+l,y=1+时取等号，

所以M+的最小值为6+第

故答案为：AD

^11_2x4y

(分析］由x>0,y>0且满足x+y=xy,得：4--=1利用“乘I法”可得x+y,口+占

xy

6xy-2(x+2y)

」击=4x+2y,的最小值.

xy-(%+y)+1/

三、填空题

33

13.已知x+x-1=3,贝ijJ+x2的值为.

【答案】2%/5

【考点】根式与分数指数幕的互化及其化简运算

11211

【解析】【解答】题意(/+%-2)=%+2+%T=5,二3+=而，

3311

/+%"=(/+%2)(%-1+%-1)=、弓(3-1)=2、后,

故答案为：2\，5.

33

【分析】利用完全平方公式和立方差公式进行计算，即可得出/+%”的值.

14.若命题BxeR,使得%2+(a-l)x+l<0成立是真命题，则实数a的取值范围是.

【答案】(-oo,-l)u(3,+oo)

【考点】存在量词命题，命题的真假判断与应用

【解析】【解答】若命题BxER,使得％2+但一1)%+1<0成立是真命题，则》2+(。一1)%+1<0

在R上有解,即4=(Q-1)2-4>0,解得Q>3或QV-1,

故答案为：(-8,一1)U(3,+00).

【分析】利用特称命题mx6R,使得/+(a-l)x+1<0成立是真命题，则%24-(a-1)%4-1<0在

R上有解，再利用判别式法求出实数a的取值范围.

15.已知log3[log4(logsx)]=log5[log4(log3y)]=0,则X+y=_(请用数字作答).

【答案】706

【考点】对数的运算性质

【解析】【解答】因为log3[log4(log5x)]=log5[log4(log3y)]=0,

所以Iog4(log5%)=l且log4(Iog3y)=1,

所以log5x=4且log3y=4,

44

所以X=5=625,y=3=81,

所以x+y=625+81=706,

故答案为：706.

【分析】利用对数的运算性质直接进行计算即可.

16.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，

通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设a>0,b>0

2ab

,称—T为a,b的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a,CB=b,O为AB中点，以AB

a+b

为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D,连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线，垂足为

a+bi—

E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数-y-,线段CD的长度是a,b的几何平均数强,线

2ab

段—的长度是a,b的调和平均数不前,该图形可以完美证明三者的大小关系为—.

2aba+b

【答案】DE；<®<

Q+b2

【考点】直角三角形的射影定理，平均值不等式

【解析】【解答】依题意三角形ABD是直角三角形，CD1AB；

在直角三角形OCD中，CCJLOC.

由射影定理得CD2=ACCB=ab^CD=ylab,

oa+b2ab

由射影定理得=DE-OD,即ab=DE・『一nDE=--r,

2a+b

所以线段DE的长度是a,b的调和平均数—v.

a+b

,,2ab/—=-a+b

在Rt△OCD中，DE〈CD<OD,即--r<7ah<——,

a+bL

2abr—Q+b

当a=b时，DE,CD,OD重合，即=7ab=―--,

2abra+b

所以不吃丁"三亍.

2aba+b

故答案为：DE；--^<yiab<^-

【分析】利用射影定理判断出调和平均数对应的线段，根据图像判断算术平均数，儿何平均数和调和平均

数的关系.

四、解答题

17.设全集U—R,已知集合={x|-2<x<5},B={x|2<%<8},C={x|x<a或x>10}

⑴.求4UB,AClCyB；

（2）.若4DC=0,求a的取值范围.

【答案】（1）解：因为集合Z={x|-2W%W5},B={x|2<x<8],

所以AVB=[x]-2<x<8].

C（jB=£x|xW2或％28},

所以A0CuB={x\-2<x<2}

（2）解：因为anc=0,

所以aW-2,

即实数a的取值范围为（-8,-2]

【考点】并集及其运算，交集及其运算，补集及其运算

【解析】【分析】（1）由A,B,求出A与B的并集，求出A补集与B的交集即可;

（2）由A与C的交集为空集，确定出a的范围即可.

11

,/25831~2

18.（1）.求-（27）-（兀+e）°n+（4）的值；

X

（2）.已知lg（x+2y）+lg（x-y）=lg2+Igx4-Igy,求log8-的值.

11

[2583n1~2

【答案】（1）解：不一（苏）-S+e）°+q）

5ZX22dX3-2x(-^)

=(3)-(3)-(7T+e)°n4-2

52

=3-3-1+2=2

(2)解：因为lg(x+2y)+lg(x-y)=lg2+Igx+Igy

所以lg(x+2y)(x-y)=lg(2xy),

(x+2y)(x-y)=2xy

%+2y>0

所以｛x^o°，可得｛(x+2：)(Ly)n=2盯，

y>o

由(%+2y)(x-y)=2xy可得x2-xy-2y2=0,

X2xxX

所以(p-1-2=0,解得：1=2或1=-l(舍)，

x1

2

所以logs-=logs=log2s2=2

【考点】根式与分数指数哥的互化及其化简运算，有理数指数嘉的运算性质，对数的运算性质

【解析】【分析】(1)根据指数幕的运算性质计算即可；

xX

(2)由lg(x+2y)+lg(x-y)=lg2+Igx+Igy,利用对数方程的解法求得，，进而求出log叼的

值.

19.给定两个命题，P:对任意实数x都有a/+ax+l>0恒成立；Q:关于x的方程x2-x+a

=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.

【答案】解：对任意实数久都有aU+球+1>o恒成立

oa=0或总<0»0<a<4；

1

关于x的方程x2-x+a=0有实数根=l-4a20oa<4；

1

<a<4

如果p正确，且q不正确,4-

1

如果q正确，且p不正确，有a<0或a24,且aS彳.••a<0.

所以实数a的取值范围为(-8,0)U(J,4)

【考点】命题的真假判断与应用

【解析】【分析】根据题意由命题的真假判断结合题意即可求出a的取值范围.

20.某单位在对一个长800m、宽600m的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的

花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛

宽度为多少时，绿草坪面积最小？

【答案】解：设花坛宽度为xm,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2%)m,(0<%<300).

1

根据题意得(800-2x)(600-2x)22X800x600,

整理得x2-700x+60000>0,

解不等式得x>600(舍去)或x<100,

因此0cxW100.

故当花坛的宽度在0<xW100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

绿草坪的面积S=(800-2%)(600-2%)=4%2-2800%+480000,

-2800

对称轴为x=-=350,开口向上的抛物线，所以在(0,100]上单调递减，

ZX4-

所以当久=100时，Smin=(800-2x100)(600-2x100)=600x400=240000,

所以当花坛宽度为100小时，绿草坪面积最小.

【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型

【解析】【分析】设花坛宽度为久m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,(0<x

1

<300),由题列不等式(800-2x)(600-2%)2]x800x600,解不等式可得x的范围，再由二次函

数的性质求(800-2x)(600-2%)最值即可.

11

21.设x+y=6(x>0,y>0),且%+j+1的最小值为m.

(1).求m；

(2).若关于x的不等式ax2-ax+m>0的解集为R,求a的取值范围.

【答案】(1)解：因为x+y=6(%>0,y>0),所以x+1+y=7,尤+1>1,y>0,

111111x+1y

所以—rr+-=?(—rr+-)^+i+y)=?(2+-------+*r)

x+1ylx+1y八77yx+1

14

>y(2+2)=y,

_5

当且仅当彳=乩，即｛江"?，｛">时等号成立.

y=5

4

故m=^

4

(2)解：当。=0时，不等式ax2-ax+m>0为730,成立，贝Ia=0满足题意;

ra>1A16

当心0时，｛』=。2一学三0，解得°<a〈不•

16

综上，a的取值范围为[0,y]

【考点】其他不等式的解法，基本不等式

11111

【解析】【分析】⑴首先根据题意得到％+l+y=7,从而得到不巨+,=Xki+p(x+l+y

1x+1y

)=^(2+-y-+^y),再利用基本不等式即可得到答案；