linear system theory lec 4第四章线性系统能控性和观测

(++-RR +u-由电路理论知识可知,因为电桥系统是平衡的,电容C2的电 x xx2x u例 x2xxuxx 独控制。可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并量值的能力问题。该电网络模型中,u(t)为输入电压,y(t)=i3(t)为输出变量,通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。++-输出变量y(t)恒为零。因此,由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t) x xx2x y直接得到x1(t)的值,即状态变量x1(t)可由输出唯一确定。而由状态变量x2(t)所满足的状态方程及其运动状态的解可知,x2(t)的运动轨迹由x2(t)的初始状态x2(t0),x1(t)和输入u(t)三者共同决定。因此,y(t)和输入u(t)能唯一确定出状态变量x2(t)的值,即状态x2(t)是状态不能观 yx1x1(t0)和x2(t0)唯一决定,并可表示为 因此,输出变量y(t)y(t)=e-t[x1(0)+x2由y(t)的解可知,由y(t)并不能唯一地分别确定初始状态x1(t0)和x2(t0),进而唯一地确定状态变量x1(t)和x2(t),即和x2(t)是状态不能观的,6个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性和能观性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是xA(t)xB(t)u,t其中，x为n维状态向量；u为r维输入向量；J定义为时间区间；A和B分别为nn和nr阶的元为t的分段连续函数的定义1对于线性时变系统，如果对取定初始时刻t0J的一x0，存在一时刻t1J,t1t0和一个无约束的x0出发的运动轨线经过时间t1t0后由x0转移到xt10，则称此x0是系统在t0时刻的一个能控状态。定义2对于线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0t0J时刻的能控状态，则称系统在时刻t0定义3对于线性时变系统，取定初始时刻t0J，如果状态注1定义中只要求在可找到的输入u的作用下，使t0时刻注2无约束表示对输入的每个分量的幅值不加以限制，即注3各定义中都是相对于J中的一个取定时刻t0来定义的，否和t0时刻的选取无关。注4将其变更为由零状态达到非零状态，则称这种情况为L:yC(t)x其中A(t)、B(t)、C(t)和D(t)nnnr、mn

t,t0x0

C (t,)B()u(

0

(t,)B()u()dy(t)C(t)t,t0

xA(t) xt0x0yC(t)

t0,t定义4对于线性时变系统，如果对取定初始时刻t0J的x0，存在一个有限时刻t1Jt1t0，使得由区间t0,t1上的系统输出y(t)可以惟一地决定系统的初始状态x0，则称x0在时刻t0为能观测的。定义5对于线性时变系统，取定初始时刻t0J及其一个非零初始状态x0，如果对于任何有限时刻t1J,t1t0，均有 是时刻t0t0J的能观测状态，则称系统在时刻测的。如果对于任何t[T,T]，系统均是在t0 定义7对于线性时变系统，取定初始时刻t0J，如果状称系统在时刻t0是不完全能观测的。定理1系统在t0时刻能控的充分必要条件是存在某个有限时刻t1t0，使得矩阵Wt,t 0c1 0)证明充分性t1t0使得Wct1,t00，因而u(t)BT(t)Tt,tW1t,tt

x

t

1 xtt,t 0 0必要 反证法。假设系统完全能控，但不管t1多么大 c 1zTWct*,t0z1即

1zTt*,B()BT()Tt*,zd0 0 zT u0(t)，0t*,tx 1t*,B()u(0 0左乘zT，

取 t,t* tz 1t*,B()u(t0 0z21zTt*,B()u()d0 0由此推出z0，这与z为非零向量。这个表c

xt0u(t)BT(t)Tt,tW1t,tt,tx 0xt1

1 1 这种状态转移的所有控制函数中所消耗的“能量”最小的一 令u(t)是任意一个能把系统的初始状态xt0x0t1u(t)2dtt1u(t)2dtxTTt,tW1t,tt,t

1 1 1 0t,tx 0 0及0t,tx 01 00 0 t1

10()u()u()d0

1u()tt t tt 0 t1u()u()2d t1u()22uTu()u()2 0 t1u()2u()20t 0或t1u(

2d

t1u(00

定理2假设A(t)和B(t)t的连续函数矩阵，则系统在t0时刻能控的充分必要条件是存在某个有限时刻t1t0，使得矩阵t1B(在t0t1上行线性独立，即对任意n零向量z，都有zTt,B()0,t 证明充分性zTt,B(0,tt 0系统在t时刻不能控。那么，对任意t1t0，Wct1t0都是奇异的。因此，对每个t1t0，总存在非零向量z,使得0即0 0zTt,B()0,t 必要性t0时刻是能控的，但对t1t0 0。这一表明至少存在某个t1t0使得成立。从而必要 B1(t)Bi(t)A(t)Bi1(t)Bi1(t),i 令Q(t)B(t)B B 如果存在某个时刻t1t0，使得rankQct1)n，那么系统在t0时证明假设rankQct1n，但系统在t0zTt,tB(t)0,tt zTdt,tB(t)zTt,tB(t)t,tB(t)0,tt

11(t,t)(t,t)(t,t)(t,t) 11t1,tA(t)t,t1t1,tt1,t 故 即zTt,tB(t)0,tt 有

zTt,tB(t)0,tt t1，izTBt i ,i的假设，这个表明系统在t0时刻是能控的。xAxBu,x(t0)x0,t 设定常线性系统在某t0[0,)时刻完全能控，则它必在[0,)上完全能控。系统是定常的，因此状态转移矩阵为eAtt0时刻完全能控，所以对t1t0Wt,tt1eAtBBTeATtc1 **t*t,于是对Wt1 c1是正定的。现在令

1eWt,t t At1t*BBTeAt1t*dWt t*1e 1 0t01控的，因此它在[0,)上完全能控。1 rankB 证明Bi(t)A(t)Bi1(t)Bi1(t),i2, , B Q[B,...,B][B,AB,A2B,...,An1B] 1x0，都有t01义在0,t1上的容许控制u()0eAt1x 0xt1eABu( ee() k()ABu(()ABu(

kk kkzt1()u( z0zx0B An1B1rankB 是k(kn)次的，那么系统能控的充分必要条件是rankB Ak1B 设定常线性系统是单输入的，即(A,B,C)=(A, 定常线性系统xAxBu,x(t)x,tt rankA B证明必要性设能控，但存在某个0A，rankA0I

B

zTA

zTBzTAkB0,k0, ,nzTB An1BzT0

rankB 充分性rankAzTB 0

Bn成立，而系统不能即zTAkB k ,n rankA0InBQcB x xt0x0yC

t0,tt1t0，Wt,tt1T,tCT()C(),t0o1 0证明充分性假设存在某个有限时刻t1t0，使得矩阵

x(t)t,t0y(t)C(t)t,t0两边同时左乘Tt,tCTt，再从t到t对t t1Tt,tCT(t)y(t)dtWt,t0 o1 00 t1T01Tx01T

t1,t0 0

t样，对任意t1t0

Wt,txt1Tt,tCT(t)0o1 0Wot1,t0都是奇异的，则，对任意固定的t1t0y(t) L:x(t)A(ty(t)

L*: 证明线性系统L的状态转移矩阵为t,t0，对偶系统L* t,t 0 Tt,tTt,t dTt,tTt,t0 Tt,tTt,tTt,tTt,t Tt,tTt,tTt,tTt,t t,tAT(t) t,tt,t Tt,tA(t)Tt,t 0 Tt,t0 Tt,tt,t

定理2[对偶原理]L在t0时刻完全能控的充分必要条全能观测的充分必要条件是它的对偶系统L*t0LWt,tt1t,B()BT()Tt,c1

T,tB()BT(),t 1 0t,tt,tT,tB()BT(),tt,tdt,t010t 1 1 1 10Tt,tW*t,tt,t0 1 00定理3LA(t)C(t)的诸元均为连续的，则其在时刻t能观的充分必要条件是，存在某个有限时刻t1，0

C(),t1z0,t0

已知系统L，假设A(t)和C(t)分别是n2次和n1次连C1(t)C

Ci(t)Ci1(t)A(t)Ci1Q(t)C2

i , 如果存在某个时刻t1t0，使得rankQot1nL在t0时刻xAxy rank

n1 Q

CA

n1 rank

cA cAn1 个A都有rankAIn x*(t)ATx*(t)CTz(t)BxnnAIn

0AIn I n rankAInC C

rankA0I 注2：可将定常系统AB,C的对偶系统定义为AT,CT,BTxAxyQkB A2 若系统为能控，则rankQnn min{k:rankQk 系统能控性指数为，并设rankBr，则必成nnrr左边不等式：考虑到Q阵为n

r阵，所以欲使Q的秩为右边不等式：由rankBr，而AB,A2B, ,A1B的每一个矩阵由能控性指数定义知，至少有一个列向量和Q中其左侧所有线性独立的列向量线性无关，因此成立r1n，即nr1。 对于单输入系统，也即r1时，系统的能控性指数n rankQnr1rank

B 令n为矩阵A的最小多项式的次数，则能控性指数nmin(n,nrr证明A的最小多项式为()nan1n1 ，(A)Anan1An1 a1A0aIAnBan1An1B 1aAB0a故AnB的所有列均线性