高数同济§. 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数在点x0也连续

例1

因为sinx和cosx都在区间(-

+)内连续所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的

三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定义的区间内都是连续的首页>>>CompanyLogo二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y|yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的下页

例2

同样y=arccosx在区间[-11]上是连续的

y=arctanx在区间(-

+)内是连续的

y=arccotx在区间(-

+)内是连续的CompanyLogo反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y|yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的

例2

即：

单调连续的函数有单调连续的反函数.CompanyLogo定理3下页设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

>>>意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如,CompanyLogo注:(1)把定理中的xx0换成x可得类似的定理提示:

例3

解

下页定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

>>>CompanyLogo设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4注意

定理4是定理3的特殊情况.定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

>>>CompanyLogo设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4例如,CompanyLogosinu当-<u<+时是连续的

例4

解内是连续的

CompanyLogo三、箩初等狂函数砌的连累续性结论基本络初等疯函数捎在它珠们的衡定义中域内臂都是暖连续喝的一切敏初等摘函数劈燕在其定义救区间内都弦是连佩续的下页1.三角禾函数2.反三社角函惑数在其芒定义愁域内超是连芝续的.(均在锄其定剪义域品内连概续)定义抢区间是指校包含菊在定至义域制内的经区间.Co配mp同an触y叛Lo泄go

例6

例5

解解下页利用把连续者性求顿极限塌举例特别柄地Co芦mp粘an替y液Lo展go例证明证特别俘地Co盐mp历an茫y扔Lo滩go例7求令ax-1=t解则x=lo垃ga(1+t)x0时t0于是利用迅连续虫性求甲极限谜举例另解:特别寺地=lnaCo毯mp遵an杯y锅Lo敬go思考:求解:原式说明:若则有Co惊mp饿an疤y谢Lo用go练习Co轿mp惨an肺y布Lo鸡go练习Co删mp华an阴y千Lo妈go小结连续悬函数雾的和串差积近商的眉连续劝性.复合影函数脑的连另续性.初等栏函数禁的连托续性.定义笔区间涌与定雹义域悲的区妄别;求极虏限的横又一割种方肉法.两个冰定理;两点赴意义.反函斥数的天连续勺性.Co曲mp枪an添y鹿Lo计go续?反例

x为有理数

x为无理数处处鞭间断,处处耕连续.反之商是否丧成立?作业P6贤8材3(5节)字,绍(估6)巾,轻(7凶)蜡;4(4新)些,舒(5擦)梢,