级材料力11复习第8章扭转

第8章

扭转§

8-1

扭矩和扭矩图§

8-2薄壁圆筒扭转时的应力和变形§

8-3圆杆扭转时的应力和变形§

8-4强度条件和刚度条件§

8-5等直圆杆扭转时的应力能§8-6矩形截面杆的扭转MMOO’A§8-1杆件扭转变形时横截面上的内力(扭矩和扭矩图)一，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形b’Bab在两个转向相反的外力偶作用下发生扭转变形时，表面上原有直线ab

变为螺旋线(小变形时可认为是直线)ab’诸横截面绕杆的轴线相对转动nMM•xnM•x分析图示圆轴任一横截面n—n上的内力。仍用截面法。在n—n

截面处假想将轴截开，取左侧为研究对象二，扭矩和扭矩图nnMM•xM•xTT

=

M

e横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上扭矩取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。Mx••TnnMM•xM•xTMx••TnnMM•xM•xT扭矩符号的规定:右手螺旋法则：使卷曲右手的四指转向与扭矩转向相同,若大拇指的指向离开横截面则该扭矩为正;反之为负。++用平行于杆轴线的x

坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的纵坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。例8-1

:作用在传动轴上的外力矩的大小分别为:MA=2kN.m,MB=3.5

kN.m,MC=1kN.m,MD=0.5

kN.m,试作该的扭矩图.ABCDMAMBMCMD用力偶矩的作用面将轴分段该轴

AB

,

BC,

CD

三段ABCDMAMBMCMDACDMAMBMCMD1B1AMAT1AB

段:(假设扭矩为正)M

A

+T1

=

0T1

=

-M

A

=

-2

kN.mABCDMAMBMCMD22AMAMBB

T2BC

段:(假设扭矩为正)M

A

-

M

B

+T

2

=

0T

2

=1.5

kN.mABCDMAMBMCMD33CD

段:(假设扭矩为正)M

D

-T

3

=

0T

3

=

M

D

=

0.5

kN.mDMDT3T1

=

-2

kN.m

T

2

=1.5

kN.m

T

3

=

0.5

kN.mTx21.50.5++-ABCDMAMBMCMD从动轮nM2M1M3三，功率，转速与外力矩之间的关系从动轮主动轮一传动轴，转速为n转/min，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P

千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩M

，可按以下方法求得。P

——轴传递的功率，(kW)n

——轴的转速(r/min)M

——作用在轴上的外力矩，(kN.m)nM=

9.55

P

(kN.m)例题：轴上有三个齿轮。轴的转速为n

=183.5

r/min,齿轮2

的传动功率P2=0.756

kW，齿轮4

的传动功率P4

=2.98

kW

。作轴的

扭矩图。m2m3

m4解:

将功率转速换算成外力矩nPm22=

39.3

N

m183.50.756=

9.55·=

9.55nPm=155

N

m442.98183.5=

9.55·=

9.55m2

=

39.3

N

mm4

=155

N

mm2m3m4DABC该轴分为AB

,BC

,CD

三段m2

=

39.3

N

mm4

=155

N

mAB

段:ATABTAB

=

0BC

段:m2ABTBC-

m

=

0TBC

2m4DTCDT

BC

=

39.3N.mCD

段:TCD+

m4

=

0TCD

=

-155N.mm2m3m4DABC-39.3N.m+155N.mT

max

=155N

mTAB

=

0T

BC

=

39.3N.mTCD

=

-155N.mm2m3m4DABCdR0d

是薄壁圆筒的厚度，R0

是平均半径。10d

£

R0§8-2

薄壁圆筒扭转时的应力和变形一，横截面上的切应力用截面法求任一横截面n—n

上的内力nMMMTnl薄壁圆筒扭转时其任一横截面n-n上的内力为扭矩T。横截面上的应力只能是切应力。MMl1，试验预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。MMl2，观察到的现象圆周线保持不变；纵向线都倾斜一个相同的角度。ggMMlgg3，设想薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。MMggttl横截面上各点处的切应力的方向必与圆周相切。MMlgg圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角，用j

表示。jMMggjl圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为切应变。用g表示。gMMggjgDABCdxABDDgCCdgl圆周表面各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。结论:薄壁筒扭转时,横截面上各点的切应力大小相等,并与该点所在的圆周相切MT4，推导公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的切应力t

都是相等的，而其方向于圆周相切。τdMTτdR0R0

为薄壁圆筒平均半径T

=

M

=

At

dA

R0=t

R0

AdA

=t

R0

(2p

R0

d)T2pR2

d0t

=MMggj二，剪切胡克定律glt

=

Gg该式称为材料的剪切胡克定律G

称为材料的剪切弹性模量。其单位是Pa。MMggjglt

=

Gg材料在线弹性范围内工作,剪切胡克定律才适用。拉(压)，剪切弹性模量与泊松比的关系2(1+n

)EG

=§8-3

圆杆扭转时的应力和变形一，横截面上的应力预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。MMgg试验结果：圆周线绕杆件的轴线转动，其形状和大小均未改变;在变形微小的情况下，圆周线之间的纵向距离也不改变;纵向线则倾斜了一个相同的角度g。MMgg刚性平面假设：变形前垂直于轴的圆形横截面，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。aabO1O2TTdxb1，几何方面倾角g是横截面圆周上任一点A

处的切应变DAgD1aabO1O2TTdxbgD1DAdjdj

是b-b截面相对于a-a截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。aabO1O2TTdxbgD1DAdjEr经过O1A

上半径为r

的任一点E

作纵向线EG。GaabO1O2TTbgD1DAdjErGdxEG

也倾斜了一个角度grgr

是横截面半径上任一点

E

处的切应变。G1graabO1O2TTdxbgD1DAdjErGG1grrr=

GG1

=

rdjEG

dxg

»

tan

gdxgr=

r

dfdxrg

=

r

df此时式说明：同一半径r

圆周上各点剪应变gr

均相同，且其值与r

成正比。2，物理方面由剪切胡克定律t

=

Ggdxr

rt

=

Gg

=

Gr

dfdxrg

=

r

dfdxr

rt

=

Gg

=

Gr

df同一圆周上各点应力tr

均相同，且其值与r

成正比，tr

垂直于半径。oTdAtr

dA3，静力学方面每个微元力对圆心的矩为(tr

dA)r所有微元力对圆心的矩之和等于横截面上的扭矩T。oTdAtr

dAdxGA2r

dA

=

TdfdφA

ρ

(Gρ

dx

)dA

=

TA

rtrdA

=

Tdxt

=

Gg

=

Gr

dfrrPA

ρ2dA

=

IdxGIPdf

=

T

oTdAtr

dAI

prt

=

T

r上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式dxr

rt

=

Gg

=

Gr

dfdxGIPdf

=

T

AI

p

=

r2dA称为横截面对圆心的极惯性矩式中：T

为横截面上的扭矩；r

为求应力的点到圆心的距离I

prtr=

ToT说明：(1)

横截面周边各点处切应力将达到最大值，圆心处的切应力为零切应力与r

成正比。且垂直于半径。指向与T

的转向一至。maxI

ptr=

T rWIPIPP=

T

Rt=

T

rmax

=

TmaxW

P

=

I

pRWP

称作抗扭截面系数，单位为mm3

或m3。二，极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩公式AI

p

=

r2dA抗扭截面模量公式W

P

=

I

pRdo实心圆截面dA

=

2pr(dr)rdrdAAPI

=r22IPpd

4=

r2dA

=

d

2

r

(2prdr)

=A

0

32RIWP=

p2232dpd

3pd

4=

16W

=

IP

=

IP

=P

R

dpd

4IP

=

3216pd

3WP

=Ddo空心圆截面)4a(1-=pD4IP1632pD3W

P

=

(1-a

4)Da

=

ddrrdA

=

2pr(dr)32(1-a

4)pD4r

(2prdr)=2

D

2

2d

2AIP

=

r

dA

=

162(1-a

4)=DRI

I

pD3WP

=

P

=

P圆轴扭转时的变形是用相对扭转角f

来度量的dxGIPdj

=

T三，扭转角其中df

代表相距为dx

的两横截面间的相对扭转角。dxTll

GI

pf

=

df

=

长为l

的一段杆两端面间的相对扭转角j

可按下式计算GIPdxdf

=

T对于同一材料制成的等直圆轴（G

，Ip为常量），当只在两端受一对外力偶作用时（

T

为常量

）

，从上式可得f

=

TlGIPGIP

称作抗扭刚度例题

：实心圆轴１和空心圆轴２,

材料,

扭转力偶矩

M

和长度

l

均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比为

a

=0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比

.llll解：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为d2

,D2已知两轴扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T

。d1d2D2max

2max

1t

=

t已知：WP1

=WP2所以WP2Tt2

max

=ld1ld2D21maxWP1T=t16pd

3WP1

=

1

16pD3

(1-a

4

)WP2

=

2

ld1ld2D21616

1

=

2

pd

3

pD3

(1-a

4

)11=1.1941-

0.84=

3dD2解得ld1d2D2l两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比1221=1.1942

(1-

0.82

)

=

0.512=p4p4=d

2D2

(1-

a

2

)d(D2

-

d

2

)2

2

2A1A在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。例8-2：图示实心圆轴外径

d

=

60mm

，在横截面上分别受外力矩

mB

=

3.8

KN.m,

mC=

1.27KN.m

作用，已知材料的剪切弹性模量

G

=

8·104

MPa。求

B

截面对于A

截面的相对扭转角

fBA

，

C

截面对于

B

截面的相对扭转角

fCB

，

C

截面对于A

截面的相对扭转角

fCA

，并求

C

截面的绝对扭转角

fCmBmCABC0.7m1m解：画扭矩图(-)(+)1.27kN.m2.53kN.mmBmCABC0.7m1mT

AB

=

2.53kN.mT

BC

=

-1.27kN.m需分段计算相对扭转角CBGI

P

GI

PBAff=

T

AB

l

AB

,

=

T

BC

l

BCpd

4I

P

=

32mBmCABC0.7m1mT

AB

=

2.53kN.mT

BC

=

-1.27kN.mGI

PT

AB

l

AB32=

+0.0174

rad8·104

·106

·2.35·103

·0.7=·604

·10-12pfBA

=GI

PT

BC

l

BC32=

-0.0125

rad8·104

·106

·-1.27

·103

·1=·604

·10-12pfCB

=mBmCABC0.7m1mfCA

=

fBA

+fCB

=

0.0174

-

0.0125

=

+0.0049

radmBmCABC0.7m1mradfC

=fCA

=

+0.0049因A

截面固定，C

截面的绝对扭转角fC

，等于C

截面相对于A截面的相对扭转角fCAmBmCABC0.7m1m例8-3：一水轮机的功率为P

=7350

kW，其竖轴是直径为d

=650Mm,而长度为l

=6000

mm

的等截面实心钢轴，材料的切变模量为

G

=0.8·105MPa

，求当水轮机以转速n

=57.7

r/min

匀速转动时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角j

。{n}

57.7{M

}r

/

minkN

.m=

9.55

{P}kW

=

9.557350

kN.m

=1.217kN.m解:T

=

M

=1.217KN

.m

=1.271·106

N.mT

=

M

=1.217kN.m

=1.271·106

N.m最大切应力=

22.6MPa=

TW

P

pd

3tmax

=

T16相对扭转角Tl=

0.00523

rad=GI

P

G

pd

432f

=

TlTrIpT

rtr

=W

P=

Tmaxt实心圆截面pd

4IP

=

32pd

3WP

=

16空心圆截面)324a(1-=pD4IP)164a=

(1-pD3WPda

=

DGIPf

=

Tl两端面的相对扭转角复习例8-4两端固定的圆截面等直杆AB,在截面C处受一个矩为M的扭转力偶作用,已知扭转刚度为GIp

,试求杆两端的约束力偶矩

MA和MB

.lMCabBA12M解:列平衡方程MBMAM

A

+

M

B

-

M

=

0这是一次超静定问题lMCabBA12变形相容条件:由于两端固定,所以C

截面相对于固定端A

和B的扭转角大小相等.几何方程fCA

=

fCB物理方程GI

GIp

pCA=

T1

a

=

-M

A

afMMBMAGI

GIp

pCB=

T

2

b

=

M

B

bf补充方程bMAB=

a

MlMCabBA12MMBMAbMAB=

a

M联立平衡方程和补充方程求解M

A

+

M

B

-

M

=

0lMA=

b

MlMB=

a

MlMCabBA12四,斜截面上的应力MTxA单元体:微小的正六面体在圆杆的表面A点取出一个单元体,单元体左,右侧面属于杆的横截面,顶面和底面属于杆的径向截面,前,后面属于杆的切向平面MTxAdabcdabcttdabcttanxnxdceaaeatsaatt研究于前后面垂直的任意斜截面de上的应力设de面的面积为dAdc

面的面积为dAcosace

面的面积为dAsinanxdceatattsaanxdceatatdAcosasa

dAa

dAtdAsina

a

Fn

=

0,

Ft

=

0,(tdAcosa

)sin

a

+

(tdAsin

a

)

cosa

+sa

dA

=

0ta

dA

-

(tdAcosa

)

cosa

+

(tdAsin

a

)sin

a

=

0sa

=

-tsin

2aa

=tcos

2asa

=

-tsin

2aa

=tcos

2adabctt讨论=

0t–450s

min

=

s

450

=

-t(1)

在a

=-450

和a

=+450

的两斜截面上正应力分别为sa

中的最大值和最小值，它们的绝对值都等于t，但一个为拉应力，一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。s

max

=

s

-450

=ta

=

-

450a

=450s

max

=ts

min

=

-tsa

=

-tsin

2adabca

=tcos

2att(2)

在a

=00

(横截面)和a

=900

(纵向截面)上切应力的绝对值最大,该截面上正应力为零.tmax=t00

=

t900

=ts

max

=

s

00

=s

900

=

0§8-4强度条件和刚度条件一，强度条件对于等截面杆，切应力最大的点（危险点）在扭矩最大的横截面的边缘处。强度条件为危险点的切应力，即杆中最大的工作应力不超过材料的许用应力。max

£

[t]对于等截面杆强度条件为T

max

£

[t]W

PT

max

£

[t]W

P强度条件可以解决三方面的问题强度校核选择截面计算许可荷载二，刚度条件刚度要求扭转角沿杆长变化率q（

q

=df/dx

,单位长度扭转角)的最大值qmax

不超过某一规定的许用值[q

]。(许用单位长度扭转角)刚度条件为max(

0

/

m)GIPpq=

T

max

·180

£

[q]dxGIPdj

=

T例8-5：一实心圆截传动轴，其直径d

=40

mm

，所传递的功率为30

kW，转速为n

=1400r/min，该轴由45

号钢制成，许用切应力[t]=40MPa，切变模量G=80·104MPa，单位长度轴的许用扭转角[q

]=2(0)

/m。试校核轴的强度和刚度。解：先计算扭转力偶矩{n}r

/

mink

.m{M

}

=

9.55

{P}kW

=

204

N.mT

=

M

=

204

N.m16=16.3MPa

<

[t]=

Ttmax

=

TW

P

pd

3T

=

M

=

204

N.mppqmax

=·180

=

0.58(0)

m

<

[q]G

pd

4T

·180

=

TGI

P32此轴对强度条件和刚度条件均满足例题,一电机传动轴,传递功率为40

kW,转速n=1400r/min,轴由钢材制成,材料的切变模量G

=8·104

MPa,

扭转许用切应力[t]=

40MPa,许用单位长度扭转角[q

]=1.50/m.求轴的直径.解:

1,

计算外力偶矩=

273N.mM

=

9.55

P

=

9.55

40n

14002,

横截面上的扭矩为T

=

273N.m3,由强度条件maxt£

[t]=pD3

16TW=

Tp16TD

‡

3=

32.6

mmp[t]·180

£

[q]p

GpD4

32

p·180

=

T4,由刚度条件q

=

TGIPT

·180·32D

‡

4=

33.9

mmGp

2[q]取

D

=

34

mm例题,

将上例轴改为内,外直径比值为

0.6的空心圆轴.试按原强度和刚度条件求轴的直径.

并比较两种情况下实心轴和空心轴的用料.解:由已知条件a

=

d1

=

0.6D1(1),

由强度条件16maxt£[t]1

(1-a

4)=pD3TW=

Tp16TD

‡

31=

34.2

mmp[t](1-a

4)(1

)3241pp·180

£[q]-a

4·180

=pDGTGI(2),由刚度条件q

=

TP·180·32TD

‡

41=

35.1

mmGp

2[q](1-a

4)取

D1

=

36

mm,

d1

=

21

mm(3),

实心轴和空心轴用料之比等于相应的横截面面积之比2

21=

0.718(1-

)Dp

D2aA实pA空=44空心轴比实心轴省料且减轻了重量例8-6：一传动轴如图所示，其转速n

=300/min,主动轮A

输入的功率为

P1

=500

kW

。若不计轴承摩擦所耗的功率,

三个从动轮

B,C,

D

输出的功率分别为

P2

=

P3

=

150

kW,

P4

=

200

kW。该轴是用45号钢制成的空心圆截面杆，其内外径之比

a

=½,材料的许用切应力

[t]

=

40

MPa

，切变模量

G

=

8·104MPa,

单位长度的许用扭转角

[q

]=0.3(0)/m,试做轴的扭矩图,并按强度条件和刚度条件选择轴的直径。ABCDnP1P2P3P4解：计算轴上的外力偶矩M1

=

9.55

P1

=15.9kN.mnM

2

=

M

3

=

4.78kN.mM

4

=

6.37kN.mM2ABCDM2M3M1M411T1B一，画扭矩图在BC

段内，假设T1

为正值T1

=

-M

2

=

-4.78KN

mM

1

=15.9kN.mM

2

=

M

3=

4.78kN.mM

4

=

6.37kN.mABCDM2M3M1M4M

1

=15.9kN.mM

2

=

M

3=

4.78kN.mM

4

=

6.37kN.mBCM2M3CA

段：假设T2

为正值。M

2

+

M

3

+T

2

=

0T

2

=

-9.56kN.mT2AB